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创新方案2017届高考数学一轮复习第八章立体几何第五节空间向量及其运算和空间位置关系课件理

时间:2017-01-10

考纲要求: 1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. 2.会推导空间两点间的距离公式. 3. 了解空间向量的概念, 了解空间向量的基本定理及其意义, 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量 积判断向量的共线与垂直. 6.理解直线的方向向量与平面的法向量. 7.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面 的垂直、平行关系. 8.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括 三垂线定理).

1.空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 ①空间向量:在空间中,具有 大小 向量. ②相等向量:方向 相同 且模 相等 的向量. ③共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相
平行或重合 的向量.

和 方向

的量叫做空间

④共面向量: 平行于同一个平面

的向量.

(2)空间向量中的有关定理 ①共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b?存 在唯一一个 λ∈R,使 a=
λb

.

②共面向量定理: 若两个向量 a、 b 不共线, 则向量 p 与向量 a, b 共面?存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=
xa+yb

.

③空间向量基本定理:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对 空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得 p=
xa+yb+zc

.

2.两个向量的数量积 (1)非零向量 a,b 的数量积 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c.

3.空间向量的坐标表示及其应用 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
向量表示 数量积 共线 垂直 模 a· b a=λb(b≠0) a· b=0(a≠0,b≠0) |a| 坐标表示
a1b1+a2b2+a3b3

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
2 2 a2 1+a2+a3

cos〈a,b〉= 夹角 〈a,b〉(a≠0,b≠0) a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a2 1+a2+a3· b1+b2+b3

4.向量法证明平行与垂直 (1)两个重要向量 ①直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行 (或重合)的非零向量,一 条直线的方向向量有 ②平面的法向量 直线 l⊥平面 α,取直线 l 的方向向量,则这个向量叫做平面 α 的法向量. 显然一个平面的法向量有 无数 个, 它们是共线向量.
无数

个.

(2)空间位置关系的向量表示 位置关系 直线 l1, l2 的方向向量分 别为 n1,n2 直线 l 的方向向量为 n, 平面 α 的法向量为 m 平面 α、 β 的法向量分别 为 n,m l1∥l2 l1⊥l2 l∥ α l⊥ α α∥ β α⊥ β 向量表示 n1∥n2?n1=λn2 n1⊥n2?n1· n2=0 n⊥m?m· n=0 n∥m?n=λm n∥m?n=λm n⊥m?n· m=0

[自我查验] 1. 判断下列结论的正误. (正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)若 A,B,C,D 是空间任意四点,则有 ( ) (2)|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件.( ) = )

(3)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A,B,C,若 (其中 x, y, z∈R), 则 P, A, B, C 四点共面. ( (4)对于空间非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0.( )

(5)在向量的数量积运算中满足(a· b)· c=a· (b· c).( (6)直线的方向向量是唯一确定的.( )

)

(7)两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1=(1,0,-1), v2=(-2,0,2),则 l1 与 l2 的位置关系是平行.( (8)已知
?1 2 2? ? ,- , ?.( n0=± 3 3? ?3

)

则平面 ABC 的单位法向量是 )
(2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)√

答 案 : (1)√ (8)√

2.在下列命题中: ①若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; ②若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不 共面; ③若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; ④已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向 量 p 总存在实数 x,y,z 使得 p=xa+yb+zc. 其中不正确命题的序号是________.

解析:a 与 b 共线,a,b 所在直线也可能重合,故①不正 确;据空间向量的意义知,a,b 所在直线异面,则 a,b 必共 面,故②错误;三个向量 a,b,c 中任两个一定共面,但它们 却不一定共面,故③不正确;只有当 a,b,c 不共面时,空间 任意一向量 p 才能表示为 p=xa+yb+zc,故④不正确.
答案:①②③④

1 答案:- b-c 2

4.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a, b,c 三向量共面,则实数 λ 等于________.

答案:

65 7

5.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 n =(-2,0,-4),则直线 l 与平面 α 的位置关系为________.

答案:l⊥α

6.若平面 π1,π2 垂直,则下面可以是这两个平面的法向量 的是________. ①n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) ②n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) ③n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) ④n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)
答案:①

1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 1 1 1 C. a+ b- c 2 2 2

2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2

答案:B

[探究] 若本例中将“点 M 在 OA 上,且 OM=2MA”改 为“M 为 OA 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 =____________. ”,则

用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是 解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾 向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则 仍然成立.

[典题 2] 已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB, BC,CD,DA 的中点. (1)求证:E,F,G,H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; (3) 设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O ,有

[典题 3]

如图所示, 在平行四边形 ABCD 中, AB=AC=CD=1,

∠ACD=90° ,把△ADC 沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60° 角, 求 BD 的长.

(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用 垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置; (2)利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二 面角; (3)可以通过|a|= a2,将向量的长度问题转化为向量数量积 的问题求解.

如图所示, 已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a, 点 M、N 分别是 AB、CD 的中点.

(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长; (3)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值.

解:(1)证明:设 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60° .

1 = (q· p+r· p-p2) 2 1 2 = (a cos 60° +a2cos 60° -a2)=0. 2 即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.

[典题 4]

已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角

形,∠BAC=90° ,且 AB=AA1,D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的 中点.

(1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求证:B1F⊥平面 AEF.

[听前试做]

以 A 为原点,AB,AC,AA1 所在直线为 x 轴,y 轴,

z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ,令 AB= AA1 = 4,则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4).

1.用向量证明平行的方法 (1)线线平行:证明两直线的方向向量共线. (2)线面平行: ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量 垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行. (3)面面平行: ①证明两平面的法向量为共线向量; ②转化为 线面平行、线线平行问题.

2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证 它们的数量积为零. (2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线, 或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直 的判定定理用向量表示.

3 .运用向量知识判定空间位置关系,仍然离不开几何定 理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行, 仍需强调直线在平面外.

如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2,在 四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90° ,AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上, PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30° 的角.求证:

(1)CM∥平面 PAD; (2)平面 PAB⊥平面 PAD.

证明:以 C 为坐标原点,CB 为 x 轴,CD 为 y 轴,CP 为 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.

∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角,∴∠PBC=30° . ∵PC=2,∴BC=2 3,PB=4, ∴D(0,1,0), B(2 3, 0,0), A(2
? 3, 4,0), P(0,0,2), M? ? ?

3 3? ? ,0, ?, 2 2?

(1)设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量,

令 y=2,得 n=(- 3,2,1).

∴CM∥平面 PAD.

(2)如图,取 AP 的中点 E,连接 BE,

则 E( 3,2,1), 又∵

=(- 3,2,1).∵PB=AB,∴BE⊥PA.

=(- 3,2,1)· (2 3,3,0)=0,

又 PA∩DA=A,∴BE⊥平面 PAD. 又∵BE?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PAD.

[方法技巧] 1.利用空间向量解决立体几何问题的两种思路 (1)选好基底,用向量表示出几何量,利用空间向量有关定理 与向量的线性运算进行判断. (2)建立空间坐标系,进行向量的坐标运算,根据运算结果的 几何意义解释相关问题. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、 共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.

[易错防范] 用向量知识证明立体几何问题, 仍然离不开立体几何中的定 理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线 a∥b,只需证明向量 a=λb(λ∈R)即可.若用直线的方向向量与 平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.


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