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1.2.2(2)学案

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2013-2014 学年高一

1.2.2 同角三角函数的基本关系(二) 命题人:王月英 审题人:吴肖楠 班级 姓名 组号

数学学案
总第( )期 学习目标:

【学习要求】 1.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的化简和恒等式的证明. 2.通过同角三角函数的基本关系的学习,培养三角函数恒等变形的能力,体验化归的思想. 【学法指导】 1.三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形.化简时,要善于观察待化简式子 的结构特征,如果待化简的三角函数是分式,应想办法去掉分母;如果出现高次,则应设法灵 活运用平方关系化高次为低次;如果待化简式子中含有根号,则应将根号下化为完全平方式, 再去掉根号. 2.在三角恒等式证明的过程中,要注意三角公式的灵活运用.由于三角公式多,因此要“盯 住目标”选择恰当公式.在同时含有弦函数和切函数的三角函数式中,常“化切为弦” ,统一 为弦函数后,再化简. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系: =1. 变形:1-sin2α= ;1-cos2α= . sin α (2)商数关系:tan α= . 变形:sin α= ;cos α= . cos α 2.(sin α+cos α)2= ;(sin α-cos α)2= . 3.若设 sin α+cos α=t,则 sin αcos α= ;若设 sin α-cos α=t,则 sin αcos α= . 4.若设 sin α+cos α=t,则 sin3α+cos3α= ;若设 sin α-cos α=t,则 sin3α-cos3α= . 探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式,其基本要求: 尽量减少角的种数,尽量减少三角函数的种数,尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数 式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它 不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式, 还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式. 同时, 这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的运用也具有较高的要求,因此在平常学习 时要注意经验的积累. 化简三角函数式时,在题设的要求下,应合理利用有关公式,常见的化简方法:异次化同次、 高次化低次、切化弦、特殊角的三角函数与特殊值互化等. 请按照上述标准化简下列三角函数式: 已知 α 是第三象限角,化简: 1+sin α - 1-sin α 1-sin α . 1+sin α

探究点二 三角恒等式的证明 证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程, 证明的方法在形式上显 得较为灵活,常用的有以下几种: ①直接法:从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到 另一边,其依据是相等关系的传递性; ②综合法:由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转 化的思想; ③中间量法:证明等式左右两式都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等,即 “a=c,b=c,则 a=b” ,它可由等量关系的传递性及对称性推出; ④分析法: 从结论出发, 逐步向已知找条件, 其证明过程的书写格式为 “要证明??, 只需??” , 只要所需的条件都已经具备,则结论就成立; 左边 ⑤比较法:设法证明: “左边-右边=0”或“ =1” . 右边 1+sin α cos α 请选用上面的方法,证明三角恒等式 = ,并体会上述方法的应用. cos α 1-sin α

【典型例题】 sin α 例 1 化简 · 1-cos α tan α-sin α (其中 α 为第二象限角). tan α+sin α

1-cos4α-sin4α 跟踪训练 1 化简: . 1-cos6α-sin6α

2sin xcos x-1 tan x-1 例 2 求证: = . cos2x-sin2x tan x+1

跟踪训练 2 证明:

tan α· sin α tan α+sin α = . sin α tan α-sin α tan α·

例 3 已知下列等式成立.

sin2θ cos2θ 1 (1)asin θ-bcos θ= a2+b2;(2) 2 + 2 = 2 . m n a + b2 a2 b2 求证: 2+ 2=1. m n

跟踪训练 3 已知 tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.

课堂练习 1.化简 sin2β+cos4β+sin2βcos2β 的结果是________. 2.若 α 是第三象限角,化简 1+cos α + 1-cos α 1-cos α . 1+cos α

3.求证:

tan θ· sin θ 1+cos θ = . sin θ tan θ-sin θ

π ? 4.已知 6tan αsin α=5,α∈? ?-2,0?,求 tan α 的值.

课堂小结:
1.在进行三角函数式的化简或求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当的选用 公式,统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同 角三角函数的基本关系主要是统一函数,要掌握“切化弦”和“弦化切”的方 法. 2.在化简或恒等式证明时,注意方法的灵活运用,常用的技巧有: ①“1”的代换; ②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等); ③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等); ④对条件或结论的重新整理、变形,以便于应用同角三角函数关系来求解.


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