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2011年江苏省高中数学联赛复赛试卷及其评分标准

时间:2015-04-08


2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷
一 试 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分 总 分 加 试 总成绩

评卷人 复核人 考生注意:1.本试卷共四大题(11 小题) ,全卷满分 120 分.考试时间:1 小时 20 分. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3.解题书写不要超出装订线. 4.不能使用计算器. 一、填空题(本题共 8 小题,满分 64 分,每小题 8 分.要求 直接将答案写在横线上. )





评卷人

1 1.已知集合M={x| |x-1|<3},N={x|(2)x<1,x∈Z},则M∩N的子集的个数是 2.已知函数f(x)= x ,则f(x)的值域为 x2+2x+4 .



3 . 在 △ ABC 中 , 已 知 AB = 2 3 , BC = 7 + 1 , AC = 7 - 1 , 则 AB 边 上 高 的 长 度





4.设 ai∈{0,1,2,…,9},其中 i=1,2,3,4,则排列 a1,a2,a3,a4 中,至少有

两个 9 相邻的排列的个数为



→ → → x 2 y2 5.已知A、B、C是椭圆 25 + 16 =1 上的三点,点F(3,0),若 FA + FB + FC =0,则 → → → | FA |+| FB |+| FC|= .

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷第 1 页 共 4 页

?ab,ab≤a +4b , 6.设a、b为正实数,记M=? 4 则M的最大值是 4 ,ab> , a +4b ?a +4b
4
2 2 2 2 2 2



7.已知 a2(b+c)=b2(a+c)=2011 且 a≠b,则 abc=



8.若直线系 C:xcost+(y+1)sint=2 中的三条直线围成正三角形区域 D,则区域 D 的面积









评卷人

二、解答题(本题满分 16 分)

1 设数列{a n }的前n项和为S n .如果a 1 = 2 ,a n =-5S n S n - 1 (n≥2),求数列{a n }的通项 公式 an.

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷第 2 页 共 4 页





评卷人

三、解答题(本题满分 20 分)

x 2 y2 设M是椭圆C:48+16=1 上的一点,P、Q、T分别为点M关于y轴、原点、x轴的对称点, N为椭圆C上异于M的点,且MN⊥MQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时,求动点E 的轨迹方程.

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷第 3 页 共 4 页





评卷人

四、解答题(本题满分 20 分)

三次函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图像如图所示,直线 BD∥AC,且直线 BD 与函数 f(x) 的图像切于点 B、交于点 D,直线 AC 与函数 f(x)的图像切于 C、交于点 A.设 xA,xB,xC, xD 分别为点 A、B、C、D 的横坐标,求证:(xA-xB)∶(xB-xC)∶(xC-xD)=1∶2∶1. D

y B

O

x

C A

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷第 4 页 共 4 页

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分细则 一
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1 1.已知集合M={x||x-1|<3},N={x|(2)x<1,x∈Z},则M∩N的子集的个数是 答案:8. 2.已知函数f(x)= x ,则f(x)的值域为 x +2x+4
2







2 3 答案:[- 3 ,1). 3.在△ABC中,已知AB=2 3 ,BC= 7 +1,AC= 7 -1,则AB边上高的长度 为 2 6 答案: 5 . 4.设 ai∈{0,1,2,…,9},其中 i=1,2,3,4,则排列 a1,a2,a3,a4 中,至少有 两个 9 相邻的排列的个数为 答案:280. → → → → → x2 y 2 若 则| 5.已知A、B、C是椭圆25+16=1 上的三点,点F(3,0), FA + FB + FC=0, FA |+| FB → |+| FC|= 48 答案: 5 . . . .

?ab,ab≤a +4b , 则M的最大值是 6.设a、b为正实数,记M=? 4 4 ,ab> , a +4b ?a +4b
4
2 2 2 2 2 2



答案:1. 7.已知 a2(b+c)=b2(a+c)=2011 且 a≠b,则 abc= 答案:-2011. 8.若直线系 C:xcost+(y+1)sint=2 中的三条直线围成正三角形区域 D,则区域 D 的面积 为 . .

4 3 答案: 3 或 12 3.(得到一个答案给满分)

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 1 页 共 4 页

二、解答题(本题满分 16 分) 1 设数列{a n }的前n项和为S n .如果a 1 = 2 ,a n =-5S n S n - 1 (n≥2),求数列{a n }的通项 公式 an. 解:设 n≥2. 因为 an=Sn-Sn-1,所以 Sn-Sn-1=-5SnSn-1. 先证明 Sn≠0(n≥1). 1 ①S1=a1=2≠0. ②假设 Sn-1≠0. 如果 Sn=0,则由 Sn-Sn-1=-5SnSn-1 知 Sn-1=0,矛盾. 由归纳法原理,知对一切 n≥1,都有 Sn≠0. 将等式 Sn-Sn-1=-5SnSn-1 两边除以 SnSn-1,得 1 1 Sn- Sn-1=5, 1 所以{S }是首项为 2,公差为 5 的等差数列. n 1 因此S =2+5(n-1)=5n-3,
n

………………………………2 分

………………………………6 分

………………………………9 分

1 ,n≥1. 从而Sn= 5n-3

………………………………12 分

1 1 5 于是an=Sn-Sn-1= - =- ,n≥2, 5n-3 5n-8 (5n-3)(5n-8) n=1, ?2, 即a =? 5 ?-(5n-3)(5n-8),n≥2. 1
n

………………………………16 分

三、解答题(本题满分 20 分) x 2 y2 设M是椭圆C:48+16=1 上的一点,P、Q、T分别为点M关于y轴、原点、x轴的对称点, N为椭圆C上异于M的点,且MN⊥MQ,QN与PT的交点为E,当M沿椭圆C运动时,求动点E 的轨迹方程. ,N(x2,y2),动点 E 的坐标为(x,y) , 解:设 M(x1,y1)为椭圆 C 上的任意一点(x1y1≠0) 则 P (-x1,y1),Q (-x1,-y1),T(x1,-y1). x12 y12 所以 48 + 16 =1,……① ①-②,得
2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 2 页 共 4 页

x22 y22 48 + 16 =1. ……②

…………………………3 分

(x1-x2)( x1+x2) (y1-y2)( y1+y2) + =0. 48 16 (y1-y2)( y1+y2) 1 1 所以 =-3,从而kMN·kQN=-3. (x1-x2)( x1+x2) 因为 MN⊥MQ,所以 kMN·kQM=-1. y1 x1 y1 又kQM=x ,所以kMN=-y ,从而kQN=3x .
1 1 1

…………………………8 分

y1 因此直线QN的方程为y=3x (x+x1)-y1. 1 y1 因为直线PT的方程为y=-x x, 1

…………………………12 分

?y=3x (x+x )-y , ?x=2x , 解得? 由? y 1 y=-x x, ? ?y=-2y ,
1
1 1 1 1 1 1 1

y1

所以 x1=2x,y1=-2y.

…………………………16 分

x2 y2 x12 y12 因为点(x1,y1)在椭圆C:48+16=1 上,所以 48 + 16 =1, 4x2 4y2 x2 y 2 = 1( xy ≠ 0) ,此即为所求点E的轨迹方程. 所以 48 + 16 =1,即 + 12 4 …………………………20 分 四、解答题(本题满分 20 分) 三次函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图像如图所示,直线 BD∥AC,且直线 BD 与函数 f(x) 的图像切于点 B、交于点 D,直线 AC 与函数 f(x)的图像切于 C、交于点 A.设 xA,xB,xC, xD 分别为点 A、B、C、D 的横坐标,求证:(xA-xB)∶(xB-xC)∶(xC-xD)=1∶2∶1. y B D

O

x C

A

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 3 页 共 4 页

解:设函数 f(x)在点 B(xB,f(xB))的展开式为 f(x)=(x-xB)3+a1(x-xB)2+b1(x-xB)+f(xB), 则 f′(x)=3(x-xB)2+2a1(x-xB)+b1, 所以 f′(xB)=b1, 所以切线 BD 的方程为 y=b1(x-xB)+f(xB). ② …………………………4 分 ①

由①、②解得 x=xB,或 x=xB-a1,所以 xD=xB-a1.………………………8 分 又设函数 f(x)在点 C(xC,f(xC))的展开式为 f(x)=(x-xC)3+a2(x-xC)2+b2(x-xC)+f(xC), 则 f′(x)=3(x-xC)2+2a2(x-xC)+b2, 所以 f′(xC)=b2,xA=xC-a2. 又因 BD∥AC,所以 f′(xB)=f′?(xC)=b1=b2, 所以 3(xC-xB)2+2a1(xC-xB)=0. 2 又xC≠xB,故有 3(xC-xB)+2a1=0,即xC=xB-3a1. 2 同理,xB=xC-3a2,所以a1=-a2. 2 1 所以xA-xB=xC-a2-xB=xB-3a1+a1-xB=3a1, 2 1 又xD=xB-a1,xC=xB-3a1,所以xC-xD=3a1. 综上所述得:(xA-xB)∶(xB-xC)∶(xC-xD)=1∶2∶1.………………………20 分 …………………………16 分 …………………………12 分

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 4 页 共 4 页

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛加试试卷
题 得 号 分 一 二 三 四 合 计

评 卷 人 复 核 人 考生注意:1.本试卷共四大题,全卷满分 180 分.考试时间:2 小时 30 分. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3.解题书写不要超出装订线. 4.不能使用计算器. 得 分 评卷人

一、 (本题满分 40 分)

在四边形 ABCD 中, N 分别为边 AB、 上的点. M、 CD 若∠BAN=∠CDM, BN∥MD, CM∥NA,求证:AD∥BC. A D N M

B

C

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)第 1 页 共 4 页





评卷人

二、 (本题满分 40 分)

设整数n≥2.若 0<a1≤a2≤a3≤…≤an,a1a2a3…an≤x,求证:a1a2a3…an-1≤x1 n.



1

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)第 2 页 共 4 页





评卷人

三、 (本题满分 50 分)

n (n≥5)个球队进行足球比赛,任意两个队比赛一场,每天安排一场比赛.一个队相邻 两场比赛之间的间隔天数称为该队这两场比赛的 “间隔数” 例如某队前两场比赛安排在第 , 一天和第三天,则间隔数为 1. (1)对 n=5,设计一个赛程,使各队所有的间隔数均不小于 1; n-3 (2)证明:间隔数的最小值不超过 [ 2 ].

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)第 3 页 共 4 页





评卷人

四、 (本题满分 50 分)

设整数 a,b,c 满足 1≤a≤b≤c,且 a|b+c+1,b|c+a+1,c|a+b+1.求出所有的 三元数组 (a,b,c).

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2011 年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准

一、 (本题满分 40 分) 在四边形 ABCD 中,M、N 分别为边 AB、CD 上的点.若∠BAN=∠CDM,BN∥MD, CM∥NA,求证:AD∥BC. D N M M



A

A

D N

B

C

B

C

证明:连接 MN. 因为 CM∥NA,所以∠BAN=∠BMC. 因为 BN∥MD, 所以∠BNC=∠CDM,∠ABN=∠AMD. 因为∠BAN=∠CDM,所以∠BMC=∠BNC. 所以 A、M、N、D 四点共圆,B、M、N、C 四点共圆. ……………………20 分 所以∠DAN=∠DMN,∠CBN=∠CMN. 因此∠DAB+∠CBA=∠DAN+∠BAN+∠CBN+∠ABN =∠DMN+∠BMC+∠CMN+∠AMD =180°, 故 AD∥BC. ……………………40 分 ……………………30 分

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案第 1 页 共 4 页

二、 (本题满分 40 分) 设整数n≥2.若 0<a1≤a2≤a3≤…≤an,a1a2a3…an≤x,求证:a1a2a3…an-1≤x1 n. 证明: (方法一)令 y=a1a2a3…an,则 y≤x. ……………………10 分


1

由于 0<a1≤a2≤a3≤…≤an,故 y=a1a2a3…an≤ann. ……………………20 分 因此an≥y .
1 1- y y - 这样a1a2a3…an-1=a ≤ 1=y n≤x1 n. n yn 1 1 n

……………………30 分 ……………………40 分

(方法二)因为 0<a1≤a2≤a3≤…≤an, 所以 a1a2a3…an-1≤ann 1. 所以(a1a2a3…an-1)n=(a1a2a3…an-1)n 1×(a1a2a3…an-1) ≤(a1a2a3…an-1)n 1×ann 1. =(a1a2a3…an) n 1≤x n 所以a1a2a3…an-1≤x1 n.
- - -1 - - - -

……………………10 分

……………………30 分

1

……………………40 分

三、 (本题满分 50 分) n (n≥5)个球队进行足球比赛,任意两个队比赛一场,每天安排一场比赛.一个队相邻 两场比赛之间的间隔天数称为该队这两场比赛的“间隔数” ,例如某队前两场比赛安排在第 一天和第三天,则间隔数为 1. (1)对 n=5,设计一个赛程,使各队所有的间隔数均不小于 1; n-3 (2)证明:间隔数的最小值不超过 [ 2 ]. 解: (1)设队号依次为 1,2,3,4,5. 设计一个赛程如下:

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷(加试)参考答案第 2 页 共 4 页

场次

1 1

2 3 4

3 5 1

4 2 3

5 4 5

6 3 1

7 2 4

8 5 3

9 1 4

10 5 2

参赛队号 2

……………………10 分 (2)由条件知,要安排 ①设 n 为奇数. n-1 n-3 若某队所有的间隔数至少为[ 2 ]+1= 2 , 则从该队的第一场到第 n-1 场比赛需要的天数至少为 n(n-1) n-1 ( 2 +1)(n-2)+1= 2 . n-3 故最多只能有一个队的间隔数均大于[ 2 ]. 结论成立. ②设 n 为偶数. n 此时至少有两个队(设为A和B)在前2-1 天不参赛. n-3 n 若它们所有的间隔数至少为[ 2 ]+1=2-1, 则赛程的总天数至少为 n(n-1) n n 2-1+(2-1+1)(n-2)+1= 2 . 故 A 和 B 只能同时参赛,矛盾. n-3 n-3 所以至少有一个间隔数不超过[ 2 ],从而间隔数的最小值不超过 [ 2 ]. ……………………50 分 四、 (本题满分 50 分) 设整数 a,b,c 满足 1≤a≤b≤c,且 a|b+c+1,b|c+a+1,c|a+b+1.求出所有的 三元数组 (a,b,c). 解:情形 1 a≤b<c,此时 a+b+1≤a+c<2c.
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n(n-1) 2 场比赛.

……………………30 分

又 c|a+b+1,故 a+b+1=c. 将 c=a+b+1 代入 a|b+c+1 及 b|c+a+1, 得 a|a+2b+2,b|2a+b+2. 即 a|2b+2,b|2a+2. 由 2a+2≤4a≤4b 知 2a+2=b,2b,3b,4b. 由 2a+2=b 及 a|2b+2 知 a|4a+6,即 a|6. 此时(a,b,c)=(1,4,6),(2,6,9), (3,8,12)(6,14,21) , . 由 2a+2=2b 及 a|2b+2 知 a|2a+4,即 a|4. 此时(a,b,c)=(1,2,4),(2,3,6),(4,5,10). 由 2a+2=3b 及 a|2b+2 知 3|a+1,3a|4a+10,因此 a|10,3|a+1. 所以(a,b,c)=(2,2,5). 由 2a+2=4b 及 a≤b 知 a=b=1, 此时(a,b,c)=(1,1,3). 情形 2 a≤b=c,此时由 b|c+a+1,知 b|a+1. ……………………40 分 ……………………30 分 ……………………20 分

又 1≤a≤b,故 a+1=b,2b. 若 a+1=b,则由 a|b+c+1 知 a|2a+3,即 a|3. 此时(a,b,c)=(1,2,2),(3,4,4). 若 a+1=2b,则由 1≤a≤b 知 a=b=1. 此时(a,b,c)=(1,1,1).

综上所述,(a,b,c)=(1,1,1),(1,2,2),(3,4,4),(1,1,3),(2,2,5), (1,2,4),(2,3,6),(4,5,10),(1,4,6),(2,6,9), (3,8,12)(6,14,21) , . ……………………50 分
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