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2015年高考数学试题分项版解析 专题11 排列组合、二项式定理 理(含解析)

时间:2015-07-27

2015 年高考数学试题分项版解析 专题 11 排列组合、二项式定理 理(含解析)
1.【2015 高考陕西,理 4】二项式 ( x ? 1)n (n ? N? ) 的展开式中 x 的系数为 15,则 n ? (
2



A.4 【答案】C

B .5

C.6

D.7

2 r r ? 2 得 x 2 的系数是 C2 15 , 【解析】二项式 ? x ? 1? 的展开式的通项是 ?r ?1 ? Cr n x ,令 n ,因为 x 的系数为
n

n ? 6 或 n ? ?5 ,因为 n ? ? ? ,所以 n ? 6 ,故选 C. 所以 C2 n ? 15 ,即 n ? n ? 30 ? 0 ,解得:
2

【考点定位】二项式定理. 【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理,属于容易题.解题时一定要抓住重要条件“ n ? ? ? ” ,否则很 容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是二项式定理,即二项式 ? a ? b ? 的展开式的通项是
n

k n ?k k ?k ?1 ? Cn a b .

2.【2015 高考新课标 1,理 10】 ( x ? x ? y) 的展开式中, x y 的系数为(
2 5 5 2

)

(A)10 【答案】C

(B)20

(C)30

(D)60

【解析】 在 ( x2 ? x ? y)5 的 5 个因式中, 2 个取因式中 x 剩余的 3 个因式中 1 个取 x , 其余因式取 y,故 x5 y 2
2

2 1 2 的系数为 C5 C3C2 =30,故选 C.

【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数,试题形式新颖 ,是中档题,求多项展开式 式某一项的系数问题,先分析该项的构成,结合 所给多项式,分析如何得到该项,再利用排列组知识求解. 3.【2015 高考四川,理 6】用数字 0, 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数 共有( ) (B)120 个 (C)96 个 (D)72 个

(A)144 个 【答案】B 【解析】

3 3 据题意,万位上只能排 4、5.若万位上排 4,则有 2 ? A4 个;若万位上排 5,则有 3? A4 个.所以共有 3 3 ?3? A4 ? 5 ? 24 ? 120 个.选 B. 2 ? A4

【考点定位】排列组合. 【名师点睛】利用排列组合计数时,关键是正确进行分类和分步,分类时要注意不重不漏.在本题中,万位 与个位是两个特殊位置,应根据这两个位置的限制条件来进行分类.

1

4.【2015 高考湖北,理 3】已知 (1 ? x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式 系数和为( A. 212 【答案】D
3 7 【解析】因为 (1 ? x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,所以 Cn ,解得 n ? 10 , ? Cn

) B. 211 C. 210 D. 29

所以二项式 (1 ? x)10 中奇数项的二项式系数和为 【考点定位】二项式系数,二项式系数和.

1 10 ? 2 ? 29 . 2

【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数,各二项式系数和:
0 1 2 n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ,奇数项的二项式系数和与偶 数项的二项式系数和相等
0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? ?Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ?Cn ? ? ? ? ? 2n?1 .

5、 【2015 高考广东,理 12】某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全 班共写了 【答案】 1560 . 条毕业留言. (用数字作答)

【考 点定位】排列问题. 【名师点睛】本题主要考查排列问题,属于中档题,解答此题关键在于认清 40 人两两彼此给对方仅写一条 毕业留言是个排列问题.

1 ? ? 3 8 6.【2015 高考重庆,理 12】 ? x ? ? 的展开式中 x 的系数是________(用数字作答). 2 x? ?
【答案】

5

5 2
k 3 5? k

【解析】 二项展开式通项为 Tk ?1 ? C5 ( x ) 的系数为 ( ) C5 ?
2 2

(

7k 15? 7k 1 ?8 ,解得 k ? 2 ,因此 x8 )k ? ( )k C5k x 2 ,令 15 ? 2 2 2 x

1

1 2

5 . 2

【考点定位】二项式定理
k 【名师点晴】 (a ? b) 的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同 的概念,前者只是指 Cn ,它仅是与
n

二项式的幂的指数 n 及项数有关的组合数,而与 a,b 的值无关;而后者是指该项除字母外的部分,即各项
2

的系数不仅与各项的二项式系数有关,而且也与 a,b 的系数有关.在求二项展开式特定项的系数时要充分 注意这个区别. 7.【2015 高考广东,理 9】在 ( x ? 1) 4 的展开式中, x 的系数为 【答案】 6 .
r 【解析】由题可知 Tr ?1 ? C4

.

? ?
x

4? r

? ?1? ? C4r ? ?1? x
r r

4? r 2

,令

4?r ? 1 解得 r ? 2 ,所以展开式中 x 的系 2

2 数为 C4 ? ?1? ? 6 ,故应填入 6 . 2

【考点定位】二 项式定理. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力,属于容易题,解答此题关键在于熟记二项展开式
r n?r r a b n ? N *且n ? 2, r ? N . 的通项即展开式的第 r ?1 项 为: Tr ?1 ? Cn

?

?

8.【2015 高考四川,理 11】在 (2 x ? 1) 的展开式中,含 x 2 的项的系数是
5

(用数字作答).

【答案】 ?40 . 【解析】

(2x ?1)5 ? ?(1 ? 2 x)5 ,所以 x2 的系数为 ?C52 ? (?2)2 ? ?40 .
【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】涉及二项式定理的题,一般利用其通项公式求解.

1 ? ? 2 9.【2015 高考天津,理 12】在 ? x ? ? 的展开式中, x 的系数为 4x ? ?
【答案】

6

.

15 16
6 r r

1 ? 1 ? ? 1 ? r 6? 2 r ? r 6? r ? 【解析】 ? x ? ? 展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 x ? ? ? ? ? ? ? C6 x ,由 6 ? 2 r ? 2 得 r ? 2 ,所以 4x ? ? ? 4x ? ? 4 ?
15 ? 1 ? 2 2 15 2 T3 ? ? ? ? C6 x ? x ,所以该项系数为 . 16 16 ? 4?
【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项. 【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项,求出当
2

r ? 2 时的系数,即可求得结果,体现了数学中的方程思想与运 算能力相结合的问题.
3 10.【2015 高考安徽,理 11】 ( x ?

1 7 ) 的展开式中 x 5 的系数 是 x

.(用数字填写答案)

【答案】 35

3

3 【解析】由题意,二项式 ( x ?

1 7 1 r 21? 4 r ) 展开的通项 Tr ?1 ? C7r ( x 3 )7 ? r ( ) r ? C7 x ,令 21 ? 4 r ? 5 ,得 r ? 4 , x x

4 则 x 的系数是 C7 ? 35 .
5

【考点定位】1.二项式定理的展开式应用. 【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解,其中通项是核心,运算是保证;比较复杂的问题要回到 最本质的计数原理去解决,而不是一味利用公式.另外,概念不清,涉及幂的运算出现错误,或者不能 从最本质的计数原理出发解决问题,盲目套用公式都是考试中常犯的错误. 11.【2015 高考福建,理 11】 ? x ? 2 ? 【答案】 80 【解析】 ? x ? 2 ?
5 5

的展开式中, x 的系数等于

2

. (用数字作答)

2 3 2 的展开式中 x 项为 C5 2 x ? 80 ,所以 x 的系数等于 80 .
2 2

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题,往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题,属 于基础题,注意运算的准确度. 12.【2015 高考北京,理 9】在 ? 2 ? x ? 的展开式中, x 3 的系数为
5

. (用数字作答)

【答案】40 【考点定位】 本题考点为二项式定理,利用通项公式,求指定项的系数. 【名师点睛】本题考查二项式定理,利用通项公式求出指定项的系数,本题属于基础题,要求正确使用通项 公式Tr ?1 ?

C nr a n ?r b r ,准确计算指定项的系数.
4

13. 【 2015 高考新课标 2 ,理 15 】 (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32 ,则

a ? __________.
【答案】 3 【解析】由已知得 (1 ? x) ? 1 ? 4 x ? 6 x ? 4 x ? x ,故 (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项分别为
4 2 3 4 4

4ax , 4ax3 , x , 6 x 3 , x5 ,其系数之和为 4a ? 4a ? 1+6+1=32 ,解得 a ? 3 .
【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题考查二项式定理,准确写出二项展开式,能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和,从 而列方程求参数值,属于中档题.

4

3 a ? ? 2 x 【2015 高考湖南,理 6】已知 ? x ? 的展开式中含 的项的系数为 30,则 a ? ( ? x? ?

5



A. 3 【答案】D. 【解析】

B. ? 3

C.6

D-6

r 试题分析: Tr ?1 ? C5 (?1) r a r x 2 ,令 r ? 1 ,可得 ? 5a ? 30 ? a ? ?6 ,故选 D.

5

?r

【考点定位】二项式定理. 【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,属于容易题,只要掌握 (a ? b) 的二项展开式的通项第
n

r n ?r r r ? 1 项为 Tr ?1 ? Cn a b ,即可建立关于 a 的方程,从而求解.

1 ? ? 2 【2015 高考上海,理 11】在 ?1 ? x ? 2015 ? 的展开式中, x 项的系数为 x ? ?
【答案】 45 【 解析】因为 ?1 ? x ?

10

(结果用数值表示) .

? ?

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? (1 ? x) ? 2015 ? ? (1 ? x)10 ? C10 (1 ? x) 9 2015 ? 2015 ? x ? x ? x ?

10

10

,所以 x 2 项只能在

8 2 8 ? 45. x ,系数为 C10 (1 ? x)10 展开式中,即为 C10

【考点定位】二项展开式 【名师点睛】 (1)求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行化简通项公式后,令字母的指数符 合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数 r+1,代回通项公式即可. (2) 对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决. 【2015 高考上海,理 8】在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、女教师都 有,则不同的选取方式的种数为 【答案】 120
5 5 【解析】由题意得,去掉选 5 名女教师情况即可: C9 ? C6 ? 126 ? 6 ? 120.

(结果用数值表示) .

【考点定位】排列组合 【名师点睛】涉及排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关,排列问题与顺序有关, 组合问题与顺序无关.“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不 含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间 接法处理.

5


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