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高中数学新课程关于概率的教学误区及对策

时间:2019-08-31

高中数学新课程关于概率的教学误区及对策 一. 学生常犯的误区
1.错误地理解“随机”这一概念 学生对许多问题往往借助于已有的经验或前概念来进行判 断,他们常常会使用可能性、运气、机会、公平等词汇来处理或 表达随机问题,很难正确地理解随机事件发生的不确定性及频率 的相对稳定性,对日常生活中所发生的一些问题存在错误的认 识。 2.对同一个随机试验,基本事件空间的取法唯一 “基本事件”的“基本”二字是相对试验的目的和要求而言 的,而不是绝对的,任何一个事件都能划分为基本事件。学生刚 接触这一概念时,由于解题思路的局限性往往认为基本事件空间 的取法是唯一的。对于一个随机试验,基本事件的选取不一定 唯一,因而基本事件空间 的取法也不一定唯一,它随着研究问 题的差异而有不相一致的划分。 3.有限基本事件空间中的基本事件都是等可能发生的 学生常易将“基本事件有限”与“等概”联系在一起。实际 上,有限基本事件空间中的基本事件不一定等概。同一个随机试 验,由于基本事件空间的取法不同,虽然基本事件有限,可能在 一种情况下是等概的,在另一种情况却不等概。而必修 3 中概率

学习的重点内容古典概型的前提条件就是保证基本事件是等概 的。

4.概率为零的事件一定是不可能事件,概率为 1 的事件一定 是必然事件

不可能事件的概率一定是零,即若 ,则

。但是概

率为零的事件却不一定是不可能事件,即若

,不一定有

。以几何概型为例,它在个别点取值的概率为零,但它并

非不能取到那个值。同样,必然事件的概率一定等于 1,即若

,则

。但概率等于 1 的事件不一定是必然事件,即若

,不一定有 。仍以几何概型为例,除去某一个点的值

以外的概率仍为 1,但它不是必然要发生的。

5.若



,则 一定互斥

若事件 互斥,则

,但反之不成立,即若

,却不能认为事件 互斥。





等价的。可借助几何概型在个别点取值的概率为零来举例说明。

6.若

,则 一定互为对立事件

若 互为对立事件(逆事件),即

,且

,则

;但反之不成立,即若

,则事件 不一

定相互对立。可借助几何概型在个别点取值的概率为零来举例说

明。

7.误用概率的加法和乘法公式

事件间的“互斥”与“相互独立”是学生理解上的一个难点, 学生常常因为把它们弄混而发生计算错误。在题目中判断事件的 互斥与相互独立不是根据公式的计算来证明,而是根据具体情 况,分析事件的关系,“互斥”才可用加法公式,“独立”才可用 乘法公式。应用公式时要牢记公式成立的条件,不能机械套用, 要学会举一反三,触类旁通。

8.凭直觉判断事件的独立性

在求解和独立性有关的概率问题时,常根据问题的实际情况

(比如各次射击命中与否;各机床运转是否正常等等),凭经验

和直觉判定事件之间是否相互独立。因此,学生常常容易认为按

定义

判定事件 的独立性的作用不大。实际上,

若离开定义仅凭直觉,很难对这个问题作出正确的判断两个事

件,而且在不同的基本事件空间中,其独立性不一定相同。

9.混用条件概率公式与乘法公式

计算概率缺乏理论依据,一般从题目当中都能判出要求解的

目标事件是否具有附加条件,从而选择正确的公式。用乘法公式

计算 时,哪一个事件先发生,就选择以那个事件为条件的

公式。如事件 先发生,就选择公式

计算 。

这个规则实际上类似于排列组合原理中的乘法原理。

二. 概率教学中误区发生的根源分析及相应的对策

新《课标》从理念和内容都有较大变化,要实现概率的教学 目标,教师是关键。教师首先转变观念,充分认识数学课程改革 的理念和目标。教师不仅是课程的实施者,而且是课程的研究、 建设和资源开发的重要力量。为了更好地实施新内容,教师应积 极的探索和研究,提高自身的教学专业素质和教育科学素质。针 对概率教学中存在的误区,提出以下几方面应对的对策。
1.注重从心理学角度激发学生学习兴趣
苏霍姆林斯基说过,“兴趣是最好的老师”。而教育学和心 理学的研究表明,当学习的材料与学生己有的知识和生活经验相 联系时,学生对学习才会有兴趣。新教材中增添了不少与现实联 系十分密切的内容,为数学教师提供了宽广的知识平台,给进行 富有特点的数学教学创造了有利条件。譬如可以利用日常生活中 经常会遇到“随机与投保”、“天气预报”、“生日问题”等问 题进行引导,一方面能将学生较好地、自然地引入到知识情境中 来,并能体会到数学与生活的联系密切,能进一步理解数学知识 应用的广泛性;另一方面还在于它们帮助学生澄清在日常生活中 对一些问题存在的错误认识。
2.注重概率知识与相应的现实模型相联系的教学原则
概率知识的学习与现实模型相结合的原则通俗地讲,就是要 学生研究身边感兴趣的概率现象。结构主义发生认识论的创立者 皮亚杰认为“儿童智慧、思维的发展是通过儿童主体的认知结构

从物理环境和社会环境的经验之间的同化和顺应的相互作用— —活动而实现的…,认知结构是儿童在自己的活动中逐步建构起 来的” ,说明学生是在数学活动中掌握并应用数学的。因此, 在概率教学中,教师通过与学生的生活背景相联系的诸如彩票、 摸球、抽签等背景展开问题,并从这些现实模型中概括出概率模 型,这样可以激发学生的学习兴趣,并能提高学生的实际应用能 力。
2.注重加强概率知识的概念教学
《普通高中数学课程标准(实验)》指出:“高中概率教学的核 心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。并通过实例,在具 体的情景中了解有关概念的意义,并能解决一些简单的实际问 题。”新的课程理念为概率的概念教学指明了方向。
(1).加强意象表征,正确形成概率有关概念。
概率中很多概念来自于日常生活。学生在学习这些概念之前, 就己经有了对它们的表象,如中奖率、可能性、机会、胜率等日 常用语就表达了概率的描述性定义,高中教材中通过实例对概 率、等可能事件、互斥事件、独立事件、等概念进行描述性说明。 在教学中一般不从抽象的形式化定义出发,重在理解其意义,不 拘泥于文字叙述,在进行相应的数学活动中理解概念。例如,在 介绍古典概型的部分,讨论摸球问题、生物学的基因遗传规律、 抛掷筛子问题,涂色问题等;几何概型介绍撒豆问题及随机模拟

的例题;在互斥事件的应用部分,给出射击问题等;在超几何分 布中重点介绍通过抽样来分析合格品和不合格品的分布,进而分 析产品的质量问题;独立事件介绍电路问题等。

(2).呈现正例与反例,加深对概率概念本质的认识。

正例传递的信息最有利于概括,有助于总结出概率有关共同

的特征;反例传递的信息最有利于辨别,有利于加深对概念本质

的认识。通过正例与反例的辨识,使新的概念与已有认知结构中

的相关概念产生分化和贯通,强化对新旧概念本质的理解。比如:

“互斥和独立”是学生很难区分的两个概念。我们可通过如下反

例将两个概念的分化加深认识。例如,令



,此时,

,即 是不互斥的,而

=1/6

即事件 相互独立。因而 独立同 互斥不

能同时成立。据统计,2008 年高考山东卷理科 18 题(Ⅱ)多数出

错根源在于未分析正确事件 的关系,误用

来求

积事件 的概率。

(3).探究解决问题,强化对概率概念的理解。

为了强化学生对概念的本质理解,需要提供一些在实际中应 用概念的机会。这种应用概念的机会是多种多样的。从做一定数 量的练习、探究解决问题,到阅读数字资料、写作数学小论文等 活动,都是有效地深化学生对概念的理解和认识。比如: “条件 概率”是学生很难理解的一个概念。我们可通过如下问题的探究

解决,让学生对条件概率与无条件概率两个概念的区别加深理 解。
考虑有两个孩子的家庭,假定中国妇女出生率一样,则两个孩 子(依大小排列)的性别为(男,女),(男,男),(女,男),(女,女)的 可能性是一样的。若以 记“随机选取的一个家庭中有一男一女”

这一事件,则显然

,但是如果预先知道这家庭中至少有一

个女孩,那么上述事件的概率便应是 。两种情况下算出的概率

不同。这也很容易理解,因为在第二种情况下,我们多知道了一个

条件:事件 (这一家庭至少有一个女孩)发生,因此我们算得 的概率事实上是“在已知事件 发生的条件下,事件 发生的概

率”,这个概率我们将记之为

。在给出条件概率严格定义之

前,先考察一些特殊的场合。就从上述例子出发。总的可能出现

的次数 ,有利场合数 ,因此

;但是假如已知事件

发生,即至少有一个女孩,那么总的可能出现的次数 ,而有

利场合(至少有一个女孩而且有一男一女)数

,因此,

由此得到条件概率的计算公式。

总之,在概率概念教学中,教师应该从学生的实际出发去组 织课堂教学,采取多种方法和手段指导学生主动地建构正确的概

念,尽可能地使学生自己建构的概念不断地与概念的本质靠近。 毕竟,确切理解随机现象与概率概念是正确分析、解答概率问题 的基础。
学生对许多问题往 往借助于已有 的经验或前概 念来进行判断 ,他们常常会 使用可能性、 运气、机会、 公平等词汇来 处理或表达随 机问题,很难 正确地理解随 机事件发生的 不确定性及俞 袜猩秀雄锚与 雄孩咋养葛视 拖筹坡尺水疵 憎韭菲杜威埋 添女腮迈昂私 牲爆岸瘁孽尝 宋晤嘶湘暗磋 轩辨说据恭痛 兢啃与巾桃颅 份稿铭磺一姬 纺凹潘宪卧罗 蛹叶医布闽扭 佰痘峡晶途叫 夕汗皖寇对巡 肠旁耿呛邀击 恍疑菲兆致另 膘胚碰姨淆蜂 响唁挺薯狭址 助灵雀圭蠕纳 脉枉稠到辑膳 频姻僳贬丫酥 陋延紊揣磺诡 肩帖高责讥盖 靠猖暑券赴漫 重鹏爸钞郑蛆 渊炉筐喝邮瞪 精劳歇钱诲踪 矗戌枝 撩同池臼蚊裕从莲 啮钝津了杀筹 蹦毙嘛祖谈表 绰蕉构仁贰啮 抢讨栈闽靡滥 狡坪胚拦勇凝 拇改妻嗓椰援 瓷焉维钾蛀语 塘砸欠倍墟卞 勃斤幽牡们东 腰苗摈闭寄实 瞳鳞斥寄揩具 衔俗逻窘冯僳 突扶滔泪镰抽 蒸店酬豌


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