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三角恒等变换知识点总结

时间:2018-06-29

三角恒等变换专题
一、知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?
tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? . ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
? (后两个不用判断符号,更加好用)

3、 半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

?x ? ? ) ? B 4、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” 的 y ? A sin(
形式。 ? sin ? ? ? cos ? ?
5. (1)积化和差公式

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
cos ? · sin ? =

? . ?

1 [sin( ? + ? )+sin( ? - ? )] 2 1 cos ? · cos ? = [cos( ? + ? )+cos( ? - ? )] 2
sin ? · cos ? = (2)和差化积公式 sin ? +sin ? =

1 [sin( ? + ? )-sin( ? - ? )] 2 1 sin ? · sin ? = - [cos( ? + ? )-cos( ? - ? )] 2
sin ? -sin ? = 2 cos

2 sin

???
2

cos

???
2

???
2

sin

???
2

cos ? +cos ? = 2 cos

???

2 2 1 2 ? tan ? + cot ? = sin ? ? cos ? sin 2?
1+cos ? = 2 cos 1±sin ? =( sin
2

cos

???

cos ? -cos ? = - 2 sin

???
2

sin

???
2

tan ? - cot ? = -2cot2 ? 1-cos ? = 2 sin
2

?

?
2

?
2
2

2

? cos

?
2

)

2

6。 (1)升幂公式 1+cos ? = 2 cos 1±sin ? =( sin sin ? = 2 sin

?
2

1-cos ? = 2 sin

2

?
2

?
2

? cos

?
2

)

2

1=sin

2

? + cos2 ?

?
2

cos

?
2

(2)降幂公式 sin sin
2

??

1 ? cos 2? 2

cos

2

? + cos2 ? =1

1 ? cos 2? 2 1 sin ? · cos ? = sin 2? 2
2

??

7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公 式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差, 倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ;问: sin 12 2
?(

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?
4

??);

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常 化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式

1 ? cos? 常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:





(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2

; ; ; = ; (其中

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?
=

tan ? ?

; )

1 ? cos ? ?

; 1 ? cos ? ?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值 与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? ; 。 ; ;推广: ;推广:

tan ? ? cot ? ? ? 2? 4? cos cos cos ? 9 9 9 ? 3? 5? cos ? cos ? cos ? 7 7 7 2? 4? 6? cos ? cos ? cos ? 7 7 7
二、基础训练 1.下列各式中,值为 A、 sin15 cos 15

1 的是 2
B、 cos
2

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

D、

1 ? cos 30 2

2.已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? 3.

3 ,那么 cos 2 ? 的值为____ 5

1 3 的值是______ ? sin10 sin 80
0 0

4.已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是

1 ? a2 a? 3 ,乙求得的结果是 ,对 2a 1 ? 3a

甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 5.已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4 ? ? 1 ? 2 6.已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值 2 2 9 2 3 7.求值 sin50 (1 ? 3 tan10 ) sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值 8.已知 1 ? cos 2? 3 9.已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____

1 1 1 1 ? ? cos 2? 为_____ 2 2 2 2 5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________ 11.函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ? 2 1 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 12.化简: ? ? 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 13.若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________. 14.当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______ 15.如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? =
10.若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________ 2 sin 20? cos 20? 17.若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值
16.求值:
2

三、规范解题 1.. 已知 α ? (

? 3? ? 3 5 3? ? , ),β ? (0, ), cos (α- )= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值. 4 4 4 5 13 4 4

2..化简 sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? cos2 ? -

1 cos2 ? · cos2 ? . 2


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