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3.3.2 均匀随机数的产生_图文

时间:2016-10-26

第三章

概率 3.3.2 均匀随机数的产生

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利用均匀随机数估计π的近似值 利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面 积,并估计π的近似值.

解析:用随机模拟的方法可以估算点落在圆内的概率为.这
样就可以计算圆的面积,应用圆面积公式可得S圆=πr2=π. 所以上面求得的S圆的近似值即为π的近似值. (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数, a1=RAND,b1=RAND.

(2)经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2, b=(b1-0.5)*2,得到两组[-1,1]上的均匀随机数.

(3)统计试验总次数N和点落在圆内的次数N1[满足a2+
b2≤1的点(a,b)数].
N1 (4)计算频率 N 即为点落在圆内的概率近似值. S (5)设圆面积为 S,则由几何概率公式得 P= . 4 S N1 4N1 即 ≈ N ,则 S≈ N 即为圆面积的近似值. 4 又 S 圆=πr2=π, 4N1 则π=S≈ N ,即为圆周率π的近似值.

点评:对面积型的几何概型问题,一般需要确定点的位 置,而一组均匀随机数是不能确定点的位置的,故解决 此类问题的关键是利用两组均匀随机数分别表示点的两 个坐标,从而确定点的位置,再根据点的个数比来求概

率.

?跟踪训练 1.将[0,1]内的均匀随机数转化为[-3,5]内 的均匀随机数,需实施的变换为( C ) A.a=a1*5 B.a=a1*5+3

C.a=a1*8-3 D.a=a1*8+3

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利用随机模拟方法求概率

取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么
剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大? 解析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离 取遍[0,3]内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能 的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,
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3]上的均匀随机数,其中取得的[1,2]内的随机数就表示剪
得两段长都不小于1 m.这样取得的[1,2]内的随机数个数 与[0,3]内个数之比就是事件A发生的频率.

方法一

(1)利用计算器或计算机产生一组(共 N 个)0 到 1 区

间的均匀随机数,a1=RAND. (2)经过伸缩交换,a=a1*3. (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1. N1 (4)计算频率 fn(A)= N 即为概率 P(A)的近似值.

方法二

做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度

[0,3](这里 3 和 0 重合).转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪 断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N,则 fn(A) N1 = N ,即为概率 P(A)的近似值.

点评:用随机模拟法估算几何概率的关键是 把事件A及基本事件空间对应的区域转化为 随机数的范围.

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?跟踪训练 2.假设小王家订了一份报纸,送报人可能在早上6~8 点之间把报纸送到小王家,小王每天离家去工作的时间 在早上7~9点之间. (1)小王离家前不能看到报纸(称事件A)的概率是多少?
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(2)请设计一种随机模拟的方法近似计算事件A的概率(包
括手工的方法或用计算器、计算机的方法).

解析:如图,设送报人到达的时间为X,小王离家去工作 的时间为Y.(X,Y)可以看成平面中的点,试验的全部结果

所构成的区域为Ω={(X,Y)|6≤X≤8,7≤Y≤9}一个正方形区
域,面积为SΩ=4,事件A表示小王离家前不能看到报纸, 所构成的区域为A={(X,Y)|6≤X≤8,7≤Y≤9,X>Y},即图 中的阴影部分,面积为SA=0.5.这是

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SA 0.5 一个几何概型,所以 P(A)= = =0.125. SΩ 4 所以小王离家前不能看到报纸的概率是 0.125. (2)用计算机产生随机数模拟试验,X 是 0~1 之间的均匀随机数,Y 目 也是 0~1 之间的均匀随机数,各产生 100 个.依序计算,如果满足 2X+6>2Y+7,那小王离家前不能看到报纸,统计共有多少为 M,则 M 即为估计的概率. 100
链 接 栏

利用随机模拟方法求面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y=2x与x 轴、x=±1围成的部分)的面积.
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分析:如右图所示,在坐标系中画出正方形,用随机
模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比,从 而求得阴影部分面积的近似值.

解析:(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数, a1=RAND,b1=RAND. (2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,

得到一组[-1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的
均匀随机数. (3)统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1[满足条件 b<2a的点(a,b)数].

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N1 (4)计算频率 N ,即为点落在阴影部分的概率的近似值. S (5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为 P= ,则 4 N1 S 4N1 N =4 ,故 S≈ N 即为阴影部分面积的近似值. S不规则图形 N1 点评:要记住公式 = ,其中 N 为总的实验次数, S规则图形 N N1 为落在不规则图形内的实验次数.

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?跟踪训练
3.曲线y=-x2+1与x轴正半轴、y轴正半轴围成一个 区域A,直线x=0、直线x=1、直线y=1、x轴围成一 个正方形,向正方形中随机地撒一把芝麻,利用计算机 来模拟这个试验,并统计出落在区域A内的芝麻数与落
栏 目 链 接

在正方形中的芝麻数.

解析:如下表,由计算机产生两例0~1之间的随机数,

它们分别表示随机点(x,y)的坐标.如果一个点(x,y)
满足y≤-x2+1,就表示这个点落在区域A内,在下表 中最后一列相应地就填上1,否则填0.分别统计0和1的 个数.

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古典概型与几何概型的综合问题 一条直线型街道的两端A、B的距离为 180 米,为方便群众, 增加就业机会,想在中间安排两个报亭C、D,顺序为A、C、

D、B.
(1)若由甲乙两人各负责一个,在随机选择的情况下,求甲、 乙两人至少一个选择报亭C的概率.

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(2)求A与C、B与D之间的距离都不小于60米的概率.

解析:(1)两个报亭由甲、乙随机选择一个,属于古典概型, 共有 4 个基本事件. 记 M 表示事件甲、乙两人至少一个选择报亭 C,则 M
栏 中包目 链 接

含 3 个基本事件.根据古典概型概率公式,甲、乙两人至少一个 3 选择报亭 C 的概率 P(M)= . 4

(2)①构设变量.设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y

米.
②集合表示.用(x,y ) 表示每次试验的结果,则所有可能 结果为Ω={(x,y)|0<x+y<180,x>0,y>0};记A与C、B与 D之间的距离都不小于60米为事件M,则事件M的可能结果 为M={(x,y)|x≥60,y≥60,0<x+y<180}.
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③作出区域.如图所示,试验全部结果构成区域Ω为直线x
+y=180与两坐标轴所围成的△AOB.而事件M所构成区域 是三条直线x=60,y=60,x+y=180所夹中间的阴影部 分.

④计算求解.根据几何概型公式,得到 1 2 × 60 S阴影 2 1 P(M)= = = . 9 S△AOB 1 ×1802 2 1 所以, A 与 C、 B 与 D 之间的距离都不小于 60 米的概率为 . 9 点评:对于古典概型与几何概型的综合题,首先要确定概型 类型,再利用古典概型或几何概型公式求解.

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?跟踪训练 4.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为 0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.已 知从袋子中随机抽取1个小球.取到标号是2的小球的概率

是.
(1)求n的值; (2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的 小球标号为a,第二次取出的小球标号为b. ①记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率;

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②在区间[0,2]内任取两个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-
b)2恒成立”的概率.

解析:(1)由题意可知:

1 n = ,解得 n=2. 1+1+n 2

(2)①不放回地随机抽取 2 个小球的所有基本事件为:(0,1),(0,21), 栏
目 (0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22, 链 接

0),(22,1),(22,21),共 12 个,事件 A 包含的基本事件为:(0,21), (0,22),(21,0),(22,0)共 4 个.

4 1 ∴P(A)= = . 12 3 ②记“x2+y2>(a-b)2 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于“x2 +y >4” ,(x,y)可以看成平面中的点,则全部结果所构成的区域 Ω ={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件 B 所构成的区域 B π SB 2×2-π ={(x,y)|x +y >4,(x,y)∈Ω},P(B)= = =1- . 4 SΩ 2×2
2 2 2

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