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数学必修三:1.1《算法的含义》ppt课件

时间:2015-11-08


数学· 必修3(苏教版)

第1章

算法初步

1.1 算法的含义

情景切入
在解放战争中,有一名战士接到命令,要求在最短 的时间内配制三副炸药,但是由于条件艰苦,称量物品 的天平只剩下50 g和5 g两个砝码,现有495 g硫磺,如何 设计算法使称量的次数最少?最少需称量多少次?

1.了解算法的含义,体会算法的思想. 2.理解算法的基本特征,能用算法语言表达简单的实 际问题.

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自 主 学 习 程序化 方法.判 1.算法是解决某一类问题的一种________ 断一个问题是否有算法,关键看其是否有解决一类问 题的________ 程序 或________ 步骤 . 算法 . 2.计算机解决问题依赖于________ 3.算法的基础特征是________ ________、 有限性 、确定性 _______________ ________、普遍性 ________., 顺序性与正确性 、 不唯一性
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要 点 导 航

一、算法的概念
(1)通俗地讲,算法就是人们将某类问题的思考,用一定的
程序或步骤表达出来的一种方式.(2)实际上,处理任何问 题都需要算法.如象棋有象棋的棋谱,国棋有围棋的棋谱, 邮寄物资应有其相应手续等等.(3)每一个算法都是用来解 决一类问题的,因而算法一般是机械的,有时要进行大量
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的重复计算,但只要按部就班地去做,总能算出结果.通
常把算法过程称为数学“机械”化.(4)在数学中,现代意 义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决某一类

要 点 导 航

(问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确的、
有效的,并且在有限步内完成. (5)算法是能解决一 类问题的通法,它不同于求解一个具体问题的方 法.(6)算法一方面具有具体化、程序化、机械性的特 点,同时又有高度的抽象性、概括性、精确性,所以 算法在解决问题中更具有条理性、逻辑性的特点.
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要 点 导 航

二、算法的特征
算法通常具有以下五个特征:(1)有限性.一个算法
必须在执行有限次运算后结束,即算法有一个清晰的起始 步和终止步,要在有限的步骤内使问题得到解答或指出问 题无法解答. (2)确定性.算法的每一步计算,都必须有确 定的结果,不能模棱两可,即算法的每一步只有唯一的执
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行路径,对于相同的输入只能得到相同的输出结果.(3)
顺序性与正确性.算法从初始步骤开始,分为若干明确的 步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是

要 点 导 航

后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且

每一步都准确无误,才能完成问题.(4)不唯一性.求解
某一个问题的算法不一定是唯一的,对于同一个问题,可 以有不同的算法,当然这些算法有繁简之分,优劣之 别.(5)普遍性.很多具体的问题,都可以设计合理的算 法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计 好的步骤加以解决. 说明 算法的五个特征中,有限性与确定性是最重
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要的两个特征,而对普遍性的要求则不是很高.

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典 例 剖 析

题型一
例1

算法的概念

写出求1+3+5+7+9的一个算法. 按照逐一相加的程序进行.算法要求“按
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分析:

部就班”地做,每做一步都有唯一的结果,且在有限

步之后,总能得出结果.

典 例 剖 析 解析: 算法步骤如下: 第一步 第二步 第三步 计算1+3得到4; 将第一步的运算结果4与5相加得到9; 将第二步的运算结果9与7相加得到16;
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第四步

将第三步的运算结果16与9相加得到25.

典 例 剖 析

规律总结: 一眼就能看出答案,为什么我们还要一步

一步地做?原因是如果数多了、数大了,没有这样的过
程和步骤就很难去解决这一问题,这是解决问题的通 法.

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典 例 剖 析

? 变式训练

1.下列语句表达中是算法的有________ ①②④ .
①解不等式2x+3>0的过程是先移项,再把x的系数化
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为1;②从广州去台湾可以先乘汽车到香港,再乘飞机
到台湾;③解方程x2-5x+6=0;④利用公式V=πr3 计算半径为3的球的体积为36π. 解析: ①②④分别给出了解决问题的方法和步骤, 是算法;③没有给出解方程的方法,不是算法.

典 例 剖 析

题型二
例2

算法的特点

用二分法设计一个求方程x2-2=0的近似解的算法. 若令f(x)=x2-2,则求方程x2-2=0的近
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分析:

似解,就是求函数f(x)的零点的近似值.借助用二分

法求函数零点近似值的方法,我们便可以设计出求方
程近似解的算法.

典 例 剖 析

解析: 我们先假设所求近似值与精确解的差的绝对值不超
过 0.005. 算法步骤如下: 第一步 令 f(x)= x2-2.因为 f(1)<0,f(2)>0,所以设 x1 =1,x2=2; x1+ x2 第二步 令 m= ,判断 f(m)是否为 0.若是,则 m 为 2 所求;若否,则继续判断 f(x1)· f(m)大于 0 还是小于 0; 第三步 若 f(x1)· f(m)>0,则令 x1=m;否则,令 x2=m;
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典 例 剖 析
第四步 判断|x1- x2|<0.005 是否成立.若是,则 x1, x2 之间的任意取值均为满足条件的近似根;若否,则返回 第二步.
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规律总结: 从本例可以发现,求解某个问题的算法不同
于求解一个具体问题的方法,它必须能解决一类问题,只 要有了解决问题的方法, 不管借助的工具是纸笔、 计算器, 还是计算机,都能按照算法步骤求得相同的结果.

典 例 剖 析

? 变式训练 2.下列关于算法的说法正确的有________ ③④ . ①算法的步骤可以是无限的;②求解某一类问题的算 法是唯一的;③算法的每一步操作都是明确的;④算 法步骤执行完毕后一定产生确定的结果. 解析: 算法具有有限性,确定性,因此①错误,③④ 正确,由于解决某类问题的算法不一定唯一,从而 ②错误.
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典 例 剖 析

题型三

算法的设计

例3写出解方程x2-2x-3=0的一个算法. 分析: 本题是求一元二次方程解的问题,应从一元
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二次方程的求根公式入手. 解析: 算法一:第一步 移项,得x2-2x=3;①
第二步 第三步 第四步 ①两边同时加1并配方,得(x-1)2=4;② ②式两边开方,得x-1=±2;③ 解③得x=3,或x=-1.

典 例 剖 析

算法二:第一步

计算方程的判别式并判断其符

号Δ=22+4×3=16>0; 第二步 将 a=1, b=-2, c=-3 代入求根公式 x= -b± b2-4ac ,得 x1=3,x2=-1. 2a
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典 例 剖 析

规律总结: 比较两种算法,算法二更为简单,步骤较少,由此
可知,只要有公式可以利用,利用公式解决问题是最理想、合算 的算法.因此在寻求算法的过程中,首先是利用公式.下面我们 设计一个求一般的一元二次方程 ax2+bx+ c= 0(a≠0)的根的算 法如下: 第一步 第二步 第三步 第四步 计算Δ=b2-4ac; 若Δ<0; 输出方程无实根; 若Δ≥0;
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典 例 剖 析 ? 变式训练 3.写出求经过两点P(1,3),Q(2,-1)的直线与两 坐标轴围成的三角形的面积的一个算法. 解析: 第一步取 x1=1,y1=3,x2=2,y2=-1;第二步写出直
线方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1);第三步在第二步方程中, 令 x=0 得 y 的值 b; 第四步在第二步方程中, 令 y=0 得 x 的值 a; 1 第五步根据三角形面积公式得 S= |ab|;第六步输出运算结果 S. 2
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