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2015年潍坊一模数学文--潍坊市2015届高三3月一模考试数学(文)

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章丘一中王希刚

山东省潍坊市 2015 届高三第一次模拟考试数学(文)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.集合 M={x|( ) ≥1},N={x|y=lg(x+2)},则 M∩ N 等于(
x



A. [0,+∞) B. (﹣2,0] C. (﹣2,+∞) D. (﹣∞,﹣2)∪[0,+∞) 2.设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称,若 z1=1﹣2i,则 A. B. ﹣ C. D. ﹣ 的虚部为( )

3.如果双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线

x﹣y+

=0 平行,则双曲线的离心率为(



A. B. C. 2 D . 3 4.已知函数 y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足 f(x)+f(﹣x)=0,当 x>0 时,f(x)=1nx﹣x+1,则函数)y=f(x) 的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

5.某同学寒假期间对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查,列出了如下 2×2 列联表: 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 50 岁以下 4 8 12 50 岁以上 16 2 18 合计 20 10 30 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为( ) 附:参考公式和临界值表:Χ = K 2,.706 3,.841 6,.636 10,.828 P(Χ ≥k) 0,.10 0,.05 0,.010 0,.001 A. 90% B. 95% C. 99% D. 99.9% 6.下列结论中正确的是( ) ① 命题:?x∈(0,2) ,3 >x 的否定是?x∈(0,2) ,3 ≤x ; ② 若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α; 2 ③ 若随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,且 P(ξ<2)=0.8,则 P(0<ξ<1)=0.2; ④ 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=3,则 S7=21. A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ① ④ 7. (5 分) (2015?潍坊一模)如图,在△ABC 中,点 D 在 AC 上,AB⊥BD,BC=3 CD 的长为( ) ,BD=5,sin∠ABC= ,则
x 3 x 3 2 2

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章丘一中王希刚

A. B. 4 C. 2 D. 5 8.某几何体的三视图是如图所示,其中左视图为半圆,则该几何体的体积是(



A.

π B.
2 2

C.

π D. π )

9.圆 C: (x﹣1) +y =25,过点 P(2,﹣1)作圆的所有弦中,以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( A. 10 B. 9 C. 10 D. 9 10.对于实数 m,n 定义运算“⊕”:m⊕n=

,设 f(x)=(2x﹣1)⊕(x﹣1) ,且关于 x 的方 )

程 f(x)=a 恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是( A. (﹣ ,0) B. (﹣ ,0) C. (0, ) D. (0, )

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11.已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 + 的最小值是 .

12. 运行右面的程序框图, 如果输入的 x 的值在区间[﹣2, 3]内, 那么输出的 ( f x) 的取值范围是

13.若变量 x,y 满足约束条件

,且 z=x+3y 的最小值为 4,则 k=



15.设双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两条渐近线于 M,N 两点,且 (m, n∈R) , 且 mn= , 则双曲线的离心率为

与双曲线在第二象限的交点为 P, 设 O 为坐标原点, 若



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.已知函数 f(x)=sin(2wx﹣ )﹣4sin wx+2(w>0) ,其图象与 x 轴相邻两个交点的距离为
2



(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个长度单位得到函数 g(x)的图象恰好经 过点(﹣ ,0) ,求当 m 取得最小值时,g(x)在[﹣ , ]上的单调增区间.

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17.如图,已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直,且 AB=BE= AF=1,BE∥AF,AB⊥AF, ∠CBA= ,BC= ,P 为 DF 的中点.

(1)求证:PE∥平面 ABCD; (2)求三棱锥 A﹣BCE 的体积.

18. 某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查 36 名学生, 统计了他们的数学成绩 (成绩均为整数且满分为 120 分) , 成绩的频率直方图如图所示, 其中成绩分组间是:[80,90) ,[90,100) ,[100,110) ,[110,120] (1)求实数 a 的值并求这 36 名学生成绩的样本平均数 (同一组中的数据用该组的中点值作代表) ; (2)已知数学成绩为 120 分有 4 位同学,从这 4 位同学中任选两位同学,再从数学成绩在[80,90)中任选以为同学 组成“二帮一”小组, 已知甲同学的成绩为 81 分, 乙同学的成绩为 120 分, 求甲、 乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一” 小组的概率.

19.已知各项为正数的等比数列数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}的通项公式 bn=

(n∈N ) ,若

*

S3=b5+1,b4 是 a2 和 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和为 Tn.

20.椭圆

=1 的左右焦点分别为 F1,F2,直线 l:x+my=

恒过椭圆的右焦点 F2,且与椭圆交于 P,Q 两点,已

知△F1PQ 的周长为 8,点 O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+t 与椭圆 C 交于 M,N 两点,以 线段 OM,ON 为邻边作平行四边形 OMGN 其中 G 在椭圆 C 上,当 ≤|t|≤1 时,求|OG|的取值范围. 21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax ﹣x(a∈R) (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在(1,﹣2)处的切线方程;
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(2)当 a≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3)问当 a>0 时,函数 y=f(x)的图象上是否存在点 P(x0,f(x0) ) , 使得以 P 点为切点的切线 l 将 y=f(x)的图象分割成 C1,C2 两部分,且 C1,C2 分别位于 l 的两侧(仅点 P 除外)? 若存在,求出 x0 的值;若不存在,说明理由. 1. (5 分) (2015?潍坊一模)集合 M={x|( ) ≥1},N={x|y=lg(x+2)},则 M∩ N 等于( A. [0,+∞) B. (﹣2,0] C. (﹣2,+∞) D. (﹣∞,﹣2)∪[0,+∞) 【考点】 : 交集及其运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 求出 M 和 N,再利用两个集合的交集的定义求出 M∩ N. 【解析】 : 解:因为集合 M={x| ≥1}={x| ≥ },
x



所以 M={x|x≤0}, N={x|y=lg(x+2)}={x|x>﹣2}, 所以 A∩ B={x|x≤0}∩ {x|x>﹣2}={x|﹣2<x≤0}, 故选:B. 【点评】 : 本题考查解指数不等式、求对数的定义域以及集合的交集的定义与求算,属基础题.

2. (5 分) (2015?潍坊一模)设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称,若 z1=1﹣2i,则 A. B. ﹣ C. D. ﹣

的虚部为(



【考点】 : 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 利用复数的对称性求出 z2,然后利用复数的乘除运算法则化简复数求出虚部即可. 【解析】 : 解:复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于虚轴对称,若 z1=1﹣2i,z2=﹣1﹣2i, 则 = = = = .

复数的虚部为:



故选:D. 【点评】 : 本题考查复数的基本运算,复数的对称性,乘除运算,基本知识的考查.

3. (5 分) (2015?潍坊一模)如果双曲线 线的离心率为( A. B. ) C. 2 D . 3



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线

x﹣y+

=0 平行,则双曲

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 渐近线与直线 3 x﹣y+ =0 平行,得 a、b 关系,再由双曲线基本量的平方关系,得出 a、c 的关系式, 结合离心率的定义,可得该双曲线的离心率.

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章丘一中王希刚

【解析】 : 解:∵双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 x
2

x﹣y+

=0 平行

∴双曲线的渐近线方程为 y=± ∴ =
2 2 2 2

,得 b =3a ,c ﹣a =3a ,

此时,离心率 e= =2. 故选:C. 【点评】 : 本题给出双曲线的渐近线方程,求双曲线的离心率,考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属 于基础题. 4. (5 分) (2015?潍坊一模)已知函数 y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足 f(x)+f(﹣x)=0,当 x>0 时,f(x)=1nx ﹣x+1,则函数)y=f(x)的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】 : 函数的图象. 【专题】 : 作图题. 【分析】 : 利用已知条件判断函数的奇偶性,通过 x>0 时,f(x)=1nx﹣x+1 判断函数的图象,然后判断选项即可. 【解析】 : 解:因为函数 y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足 f(x)+f(﹣x)=0, 所以函数是奇函数,排除 C、D. 又函数当 x>0 时,f(x)=1nx﹣x+1,当 x=10 时,y=1﹣10+1=﹣8,就是的图象在第四象限,A 正确, 故选 A. 【点评】 : 本题考查函数的图象的判断,注意函数的奇偶性以及函数的图象的特殊点的应用,考查判断能力. 5. (5 分) (2015?潍坊一模)某同学寒假期间对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查,列出了如下 2×2 列联表: 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 50 岁以下 4 8 12 50 岁以上 16 2 18 合计 20 10 30 则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为( ) 附:参考公式和临界值表:Χ = K 2,.706 3,.841 6,.636 10,.828 2 P(Χ ≥k) 0,.10 0,.05 0,.010 0,.001 A. 90% B. 95% C. 99% D. 99.9% 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 : 独立性检验. 应用题;概率与统计. 计算观测值,与临界值比较,即可得出结论. 解:设 H0:饮食习惯与年龄无关.
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因为 Χ =

2

=10>6.635,

所以有 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 故选:C. 【点评】 : 本题考查独立性检验,考查学生利用数学知识解决实际问题,利用公式计算观测值是关键. 6. (5 分) (2015?潍坊一模)下列结论中正确的是(
x 3 x


3

① 命题:?x∈(0,2) ,3 >x 的否定是?x∈(0,2) ,3 ≤x ; ② 若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α; ③ 若随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,且 P(ξ<2)=0.8,则 P(0<ξ<1)=0.2; ④ 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=3,则 S7=21. A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ① ④ 【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 综合题;推理和证明. 【分析】 : 对四个命题分别进行判断,即可得出结论. 【解析】 : 解:① 命题:?x∈(0,2) ,3 >x 的否定是?x∈(0,2) ,3 ≤x ,正确; ② 若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α 或 l 与 α 相交,故不正确; 2 ③ 若随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ ) ,且 P(ξ<2)=0.8,则 P(ξ>2)=0.2,P(0<ξ<1)=0.5﹣0.2=0.3,不正确; ④ 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a4=3,则 S7= =7a4=21,正确.
x 3 x 3 2

故选:D. 【点评】 : 本题考查命题的真假判断与应用,考查学生分析解决问题的能力,知识综合性强.

7. (5 分) (2015?潍坊一模)如图,在△ABC 中,点 D 在 AC 上,AB⊥BD,BC=3 CD 的长为( )

,BD=5,sin∠ABC=

,则

A.

B. 4 C. 2

D. 5

【考点】 : 余弦定理;正弦定理. 【专题】 : 解三角形. 【分析】 : 由条件利用诱导公式求得 cos∠CBD 的值,再利用余弦定理求得 CD 的值. 【解析】 : 解:由题意可得 sin∠ABC=
2 2 2

=sin(

+∠CBD)=cos∠CBD, ×5× =22,

再根据余弦定理可得 CD =BC +BD ﹣2BC?BD?cos∠CBD=27+25﹣2×3 可得 CD= , 故选:B. 【点评】 : 本题主要考查诱导公式、余弦定理,属于基础题.

8. (5 分) (2015?潍坊一模)某几何体的三视图是如图所示,其中左视图为半圆,则该几何体的体积是(



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A.

π B.

C.

π D. π

【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 根据几何体的三视图,得出该几何体是平放的半圆锥,结和数据求出它的体积即可. 【解析】 : 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是平放的半圆锥,且圆锥的底面半径为 1,母线长为 3, ∴圆锥的高为 ∴该几何体的体积为 V 半圆锥= × π×1 ×2
2

=2



=

π.

故选:A. 【点评】 : 本题考查了利用空间几何体的三视图的求体积的应用问题,是基础题目. 9. (5 分) (2015?潍坊一模)圆 C: (x﹣1) +y =25,过点 P(2,﹣1)作圆的所有弦中,以最长弦和最短弦为对角线 的四边形的面积是( ) A. 10 B. 9 C. 10 D. 9 【考点】 : 直线与圆的位置关系. 【专题】 : 计算题;直线与圆. 【分析】 : 根据题意,AC 为经过点 P 的圆的直径,而 BD 是与 AC 垂直的弦.因此算出 PM 的长,利用垂直于弦的直 径的性质算出 BD 长,根据四边形的面积公式即可算出四边形 ABCD 的面积. 2 2 【解析】 : 解:∵圆的方程为: (x﹣1) +y =25, ∴圆心坐标为 M(1,0) ,半径 r=5. ∵P(2,﹣1)是该圆内一点, ∴经过 P 点的直径是圆的最长弦,且最短的弦是与该直径垂直的弦. 结合题意,得 AC 是经过 P 点的直径,BD 是与 AC 垂直的弦. ∵|PM|= , ∴由垂径定理,得|BD|=2 =2 . =10 .
2 2

因此,四边形 ABCD 的面积是 S= |AC|?|BD|= ×10×2

故选:C. 【点评】 : 本题给出圆内一点 P,求经过点 P 最长的弦与最短的弦构成的四边形的面积.着重考查了圆的标准方程、 两点间的距离公式和垂直于弦的直径的性质等知识,属于中档题.

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10. (5 分) (2015?潍坊一模)对于实数 m,n 定义运算“⊕”:m⊕n=

,设 f(x)=(2x﹣1) )

⊕(x﹣1) ,且关于 x 的方程 f(x)=a 恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是( A. (﹣ ,0) B. (﹣ ,0) C. (0, ) D. (0, )

【考点】 : 函数的零点与方程根的关系. 【专题】 : 综合题;函数的性质及应用. 【分析】 : 由新定义,可以求出函数的解析式,进而求出 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根时, 实数 m 的取值范围,及三个实根之间的关系,进而求出 x1?x2?x3 的取值范围. 2 【解析】 : 解:由 2x﹣1≤x﹣1,得 x≤0,此时 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)=﹣(2x﹣1) +2(2x﹣1) (x﹣1)﹣1=﹣ 2x, 由 2x﹣1>x﹣1,得 x>0,此时 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)=(x﹣1) ﹣(2x﹣1) (x﹣1)=﹣x +x, ∴f(x)=(2x﹣1)⊕(x﹣1)= 作出函数的图象可得, 要使方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,不妨设 x1<x2<x3, 则 0<x2< <x3<1,且 x2 和 x3,关于 x= 对称, ∴x2+x3=2× =1.则 x2+x3≥2 当﹣2x= 时,解得 x=﹣ , ∴﹣ <x1<0, ∵0<x2x3≤ , ∴﹣ <x1?x2?x3<0, ,0) , ,0<x2x3< ,等号取不到. ,
2 2

即 x1?x2?x3 的取值范围是(﹣ 故选:A.

【点评】 : 本题考查根的存在性及根的个数判断,根据已知新定义,求出函数的解析式,并分析出函数图象是解答的 关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上..

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11. (5 分) (2015?潍坊一模)已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 + 的最小值是 8 . 【考点】 : 基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】 : 计算题;整体思想. 【分析】 : 先对 + 的乘以 1 结果保持不变,将 2x+y=1 看为一个整体代入得( + )×1=( + )×(2x+y) ,再运用 基本不等式可求得最小值. 【解析】 : 解:∵2x+y=1, ∴ + =( + )×(2x+y)=2+2+ ≥4+2 =8

当且仅当 = ,即 x= ,y= 时等号成立, ∴ + 的最小值是 8 故答案为:8 【点评】 : 本题主要考查基本不等式的应用及整体思想的应用.在运用基本不等式时,要注意“一正、二定、三相等” 的要求. 12. (5 分) (2015?潍坊一模)运行右面的程序框图,如果输入的 x 的值在区间[﹣2,3]内,那么输出的 f(x)的取值

范围是 [ ,9].

【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型;算法和程序框图. 【分析】 : 模拟执行程序,可得其功能是求分段函数 f(x)= 求出函数的值域. 【解析】 : 解:模拟执行程序,可得其功能是求分段函数 f(x)= 所以,当 x∈[﹣2,2]时,f(x)=2 ∈[ ,4], 当 x∈(2,3]时,f(x)=x ∈(4,9]. 故如果输入的 x 的值在区间[﹣2,3]内,那么输出的 f(x)的取值范围是[ ,9]. 故答案为:[ ,9].
2 x

的值,根据实数 x 的取值范围即可

的值,

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【点评】 : 本题考查了程序框图的运行过程的问题,解题时应读懂框图,得出分段函数,从而做出正确解答,属于基 础题.

13. (5 分) (2015?潍坊一模)若变量 x,y 满足约束条件

,且 z=x+3y 的最小值为 4,则 k= 1 .

【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合即可得到结论. 【解析】 : 解:由 z=x+3y,得 平移直线 经过点 B 时, 直线 即 x+3y=4, 由 ,解得 ,即 B(1,1) , ,的截距最小,此时 z 取得最小值为 4, ,由平移可知当直线 ,作出不等式对应的可行域, ,

B 同时也在直线 y=k 上, 则 k=1, 故答案为:1

【点评】 : 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法. 14. (5 分) (2015?潍坊一模)对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式:


2

按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为 2n +n . 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 的结果. 【解析】 : 归纳推理. 推理和证明. 由[x]表示不超过 x 的最大整数,分别研究等式的左边和右边,归纳出规律即可求出第 n 个等式的等号右边 解:因为[x]表示不超过 x 的最大整数,
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所以 因为等式:

=1, , ,

=2,…,

, …, 所以第 1 个式子的左边有 3 项、右边 1+1+1=1×3=3, 第 2 个式子的左边有 5 项、右边 2+2+2+2+2=2×5=10, 第 3 个式子的左边有 7 项、右边 3×7=21, 则第 n 个式子的左边有(2n+1)项、右边=n(2n+1)=2n +n, 2 故答案为:2n +n. 【点评】 : 本题考查了归纳推理,难点在于发现其中的规律,考查观察、分析、归纳能力.
2

15. (5 分) (2015?潍坊一模)设双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点为 F,过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两 (m, n∈R) , 且 mn= ,

条渐近线于 M, N 两点, 且与双曲线在第二象限的交点为 P, 设 O 为坐标原点, 若 则双曲线的离心率为 .

【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 由方程可得渐近线,可得 M,N,P 的坐标,由已知向量式可得 m+n=1,m﹣n= ,解之可得 m,n 的值, 由 mn= ,可得 a,c 的关系,由离心率的定义即可得到.

【解析】 : 解:双曲线 设左焦点 F(﹣c,0) , 则 M(﹣c, 因为 所以(﹣c, ) ,N(﹣c,﹣

=1(a>0,b>0)的渐近线为:y=± x,

) ,P(﹣c,

) ,

(m,n∈R) , )=(﹣(m+n)c, (m﹣n) ) ,

所以 m+n=1,m﹣n= , 解得:m= ,n= ,

又由 mn= ,得:

= ,

解得:

= ,

所以,e= = 故答案为:

. .
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【点评】 : 本题考查双曲线的简单性质,涉及双曲线的离心率的求解,同时考查平面向量的基本定理及运用,属中档 题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分) (2015?潍坊一模)已知函数 f(x)=sin(2wx﹣ 距离为 . )﹣4sin wx+2(w>0) ,其图象与 x 轴相邻两个交点的
2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个长度单位得到函数 g(x)的图象恰好经过点(﹣ 最小值时,g(x)在[﹣ , ]上的单调增区间. ,0) ,求当 m 取得

【考点】 : 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : (1)由条件利用三角函数的恒等变换求得 f(x)= 值,可得函数 f(x)的解析式. (2)由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律、g(x)的图象恰好经过点(﹣ (2x+ ) .令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,0) ,求得 g(x)= , sin sin(2wx+ ) ,再根据正弦函数的周期性求出 ω 的

,k∈z,求得 x 的范围可得函数的增区间,再结合合 x∈[﹣

],进一

步确定 g(x)的增区间. 【解析】 : 解: (1)函数 f(x)=sin(2wx﹣ = sin2wx+ cos2wx= sin(2wx+ ) , ,可得函数的最小正周期为 2× = ,求得 ω=1, )﹣4sin wx+2(w>0)=
2

sin2wx﹣ cos2wx﹣4?

+2

根据图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 故函数 f(x)= sin(2x+ ) .

(2)将 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个长度单位得到函数 g(x)= 的图象, 再根据 g(x)的图象恰好经过点(﹣ 可得 sin(2m﹣ 故 m= g(x)= 令 2kπ﹣ , sin(2x+ ≤2x+ , ) . ≤2kπ+ ,k∈z,求得 kπ﹣ ,﹣ ≤x≤kπ﹣ ]、[ )=0, ,0) ,

sin[2(x+m)+

]=

sin(2x+2m+



,故函数 g(x)的增区间为[kπ﹣ , ].

,kπ﹣

],k∈z.

再结合 x∈[﹣

],可得增区间为[﹣

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章丘一中王希刚

【点评】 : 本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的周期性和求法,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正 弦函数的单调性,属于中档题.

17. (12 分) (2015?潍坊一模) 如图, 已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直, 且 AB=BE= AF=1, BE∥AF,AB⊥AF,∠CBA= ,BC= ,P 为 DF 的中点.

(1)求证:PE∥平面 ABCD; (2)求三棱锥 A﹣BCE 的体积.

【考点】 : 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : (1)取 AD 的中点 M,连接 MP,MB,利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理可得:四边形 BEPM 是平行四边形,于是 PE∥BM,再利用线面平行的判定定理可得:PE∥平面 ABCD. (2)在△ABC 中,由余弦定理可得:AC =AB +BC ﹣2AB?BCcos∠ABC=1,因此 AC +AB =BC ,AC⊥AB.利用面 面垂直的性质定理可得:AC⊥平面 ABEF, 再利用 VA﹣BCE=VC﹣ABE= 即可得出.
2 2 2 2 2 2

【解析】 : (1)证明:取 AD 的中点 M,连接 MP,MB, ∵P 为 DF 的中点,∴ 又∵ ,∴ , ,

∴四边形 BEPM 是平行四边形, ∴PE∥BM, 又 PE?平面 ABCD,BM?平面 ABCD. ∴PE∥平面 ABCD. (2)解:在△ABC 中,由余弦定理可得: AC =AB +BC ﹣2AB?BCcos∠ABC= ∴AC=1, ∴AC +AB =BC , ∴AC⊥AB. ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,平面 ABCD∩ 平面 ABEF=AB, ∴AC⊥平面 ABEF, ∵ = = . = = .
2 2 2 2 2 2

=1,

∴VA﹣BCE=VC﹣ABE=

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章丘一中王希刚

【点评】 : 本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理与性质定理、线面平行的判定定理、余弦定理、 面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式、勾股定理的逆定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分) (2015?潍坊一模)某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查 36 名学生,统计了他们的数学成绩(成 绩均为整数且满分为 120 分) ,成绩的频率直方图如图所示, 其中成绩分组间是:[80,90) ,[90,100) ,[100,110) ,[110,120] (1)求实数 a 的值并求这 36 名学生成绩的样本平均数 (同一组中的数据用该组的中点值作代表) ; (2)已知数学成绩为 120 分有 4 位同学,从这 4 位同学中任选两位同学,再从数学成绩在[80,90)中任选以为同学 组成“二帮一”小组, 已知甲同学的成绩为 81 分, 乙同学的成绩为 120 分, 求甲、 乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一” 小组的概率.

【考点】 : 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (1)根据频率分步直方图中所给的各组数据对应的长方形的长和宽,求出 a 的值,再根据平均数求出样本 平均数. (2)先求出从数学成绩在[80,90)中的人数,列举出“二帮一”小组的所有种数,以及找到甲、乙两同学恰好被安排在 同一个小组的种数,根据概率公式计算即可. 【解析】 : 解: (Ⅰ)由频率分布直方图知,10a=1﹣( = ×10×85+ ×10×95+ ×10×115= , =3 人,分别记为甲,A,B,数学成绩为 120 分有 4 位同学记为乙, )×10= ,故 a=

(Ⅱ)成绩在[80,90)分的学生有

1,2,3, 则“二帮一”小组共有 18 种,分别去下:甲乙 1,甲乙 2,甲乙 3,甲 12,甲 13,甲 23,A 乙 1,A 乙 2,A 乙 3,A12, A13,A23,B 乙 1,B 乙 2,B 乙 3,B12,B13,B23, 其中甲、乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一”小组有 3 种情况,甲乙 1,甲乙 2,甲乙 3 故甲、乙两同学恰好被安排在同一个“二帮一”小组的概率为 =

【点评】 : 本题考查频率分步直方图的应用以及古典概型概率问题,属于基础题.

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章丘一中王希刚

19. (12 分) (2015?潍坊一模)已知各项为正数的等比数列数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}的通项公式 bn= (n∈N ) ,若 S3=b5+1,b4 是 a2 和 a4 的等比中项.
*

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和为 Tn. 【考点】 : 数列的求和;数列递推式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (1)由已知得 b5=6,b4=4, 的通项公式. (2)当 n 为偶数时,利用分组求和法和错位相减法能求出 数,且 n≥3 时,Tn=Tn﹣1+(n+1)?2 出 Tn. 【解析】 : 解: (1)∵数列{bn}的通项公式 bn= ∴b5=6,b4=4, 设各项为正数的等比数列数列{an}的公比为 q,q>0, ∵S3=b5+1=7,∴ ∵b4 是 a2 和 a4 的等比中项, ∴
2 n﹣1



,从而 q=2,a1=1,由此能求出数列{an}

+ =

=(n﹣ )?2 + .当 n 为奇 + ,由此能求

n

=

(n∈N ) ,

*

,①

,解得

,②

由① ② 得 3q ﹣4q﹣4=0, 解得 q=2,或 q=﹣ (舍) , ∴a1=1,
0



(2)当 n 为偶数时, Tn=(1+1)?2 +2?2+(3+1)?2 +4?2 +(5+1)?2 +…+[(n﹣1)+1]?2 0 2 3 n﹣1 0 2 n﹣2 =(2 +2?2+3?2 +4?2 +…+n?2 )+(2 +2 +…+2 ) , ﹣ 0 2 3 n 1 设 Hn=2 +2?2+3?2 +4?2 +…+n?2 ,① 2 3 4 n 2Hn=2+2?2 +3?2 +4?2 +…+n?2 ,② 0 2 3 n﹣1 n ① ﹣② ,得﹣Hn=2 +2+2 +2 +…+2 ﹣n?2 = ﹣n?2
n n 2 3 4 n﹣2

+n?2

n﹣1

=(1﹣n)?2 ﹣1, n ∴Hn=(n﹣1)?2 +1, ∴ + =(n﹣ )?2 + .
n

当 n 为奇数,且 n≥3 时,
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章丘一中王希刚

Tn=Tn﹣1+(n+1)?2

n ﹣1

=

=

+ ,

经检验,T1=2 符合上式,

∴Tn=



【点评】 : 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类 讨论思想、分组求和法和错位相减法的合理运用.

20. (13 分) (2015?潍坊一模)椭圆

=1 的左右焦点分别为 F1,F2,直线 l:x+my=

恒过椭圆的右焦点 F2,且

与椭圆交于 P,Q 两点,已知△F1PQ 的周长为 8,点 O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+t 与椭圆 C 交于 M,N 两点,以线段 OM,ON 为邻边作平行四边形 OMGN 其中 G 在椭圆 C 上,当 ≤|t|≤1 时,求|OG|的取值范围.

【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】 : 圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 : (1)由直线 l:x+my= 恒过定点 ,可得 .由△F1PQ 的周长为 8,可得 4a=8,再利用 2 2 2 b =a ﹣c ,即可得出椭圆的方程; 2 2 2 2 2 (2)直线方程与椭圆方程联立化为(1+4k )x +8ktx+4t ﹣4=0,由△>0,可得 4k +1>t .设 M(x1,y1) ,N(x2, y2) ,G(x0,y0) ,利用根与系数的关系及其向量平行四边形法则可得 ,y0=y1+y2= ,可得

G 即可得出.

, 由于 G 在椭圆 C 上, 代入椭圆方程可得 4t =4k +1, 可得|OG| =

2

2

2

=4﹣

, 利用 ≤|t|≤1,

【解析】 : 解: (1)∵直线 l:x+my= 恒过定点 ∴椭圆的右焦点 F2 .∴ . ∴△F1PQ 的周长为 8,∴4a=8,解得 a=2, 2 2 2 ∴b =a ﹣c =1, ∴椭圆 C 的方程为 =1;



(2)联立
22 2

,化为(1+4k )x +8ktx+4t ﹣4=0,
2 2 2

2

2

2

由△=64k t ﹣4(1+4k ) (4t ﹣4)>0,可得 4k +1>t . 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,G(x0,y0) ,则 ,

∵四边形 OMGN 是平行四边形,∴

,y0=y1+y2=k(x1+x2)+2t=kx0+2t=



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章丘一中王希刚

可得 G



∵G 在椭圆 C 上,∴ ∴4t =4k +1, ∴|OG| =
2 2 2

+

=1,化为 4t (4k +1)=(4k +1) ,

2

2

2

2

=

=

=

=4﹣



∵ ≤|t|≤1,∴ ∴ ∴|OG|的取值范围是

, , .

【点评】 : 本题考查了线段的垂直平分线的性质、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可 得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、点与椭圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21. (14 分) (2015?潍坊一模)已知函数 f(x)=lnx﹣ax ﹣x(a∈R) (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在(1,﹣2)处的切线方程; (2)当 a≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3)问当 a>0 时,函数 y=f(x)的图象上是否存在点 P(x0,f(x0) ) ,使得以 P 点为切点的切线 l 将 y=f(x)的图 象分割成 C1,C2 两部分,且 C1,C2 分别位于 l 的两侧(仅点 P 除外)?若存在,求出 x0 的值;若不存在,说明理由. 【考点】 : 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】 : 导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 【分析】 : (1)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率,由点斜式方程即可得到切线方程; (2)求出函数的导数,对 a 讨论,分 a=0,a<0,令导数大于 0,得增区间,令导数小于 0,得减区间,注意讨论判别 式的符号; (3)求出导数和切线的斜率,以及切线方程,令 g(x)=f(x)﹣f′ (x0) (x﹣x0)+f(x0) ,求出导数,求出 a>0,g (x)的单调性,即可判断这样的点 P 是否存在. 【解析】 : 解: (1)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x ﹣x,f′ (x)= ﹣2x﹣1, 函数 f(x)在(1,﹣2)处的切线斜率为 k=1﹣2﹣1=﹣2, 则函数 f(x)在(1,﹣2)处的切线方程为 y+2=﹣2(x﹣1) , 即为 y=﹣2x; (2)f′ (x)= ﹣2ax﹣1= ① 当 a=0 时,f′ (x)= (x>0) , ,当 0<x<1 时,f′ (x)>0,f(x)递增,
2 2

当 x>1 时,f′ (x)<0,f(x)递减. 2 ② 当 a<0 时,f′ (x)=0,即﹣2ax ﹣x+1=0, 当△=1+8a≤0 时,即 a≤﹣ ,﹣2ax ﹣x+1≥0 在(0,+∞)恒成立,即 f′ (x)≥0 在(0,+∞)恒成立,f(x)在(0,+∞)递增;
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章丘一中王希刚

当△=1+8a>0,即﹣ <a<0 时,﹣2ax ﹣x+1=0 的两根为 x1= x2= ,

2

f′ (x)=

(x>0)且 x1>0,x2>0,x1<x2,

则 0<x<x1,f′ (x)>0,f(x)递增,x1<x<x2,f′ (x)<0,f(x)递减. 综上可得,a=0,f(x)的增区间为(0,1) ,减区间为(1,+∞) ; a≤﹣ 时,f(x)的增区间为(0,+∞) ; ﹣ <a<0 时,f(x)的增区间为(0, f(x)的减区间为( , ) , ( ) . ,+ ∞ ) ,

(3)f′ (x)= ﹣2ax﹣1,P(x0,f(x0) ) , 在 P 点的切线方程为 y=f′ (x0) (x﹣x0)+f(x0) , 令 g(x)=f(x)﹣f′ (x0) (x﹣x0)+f(x0) ,且 g(x0)=0, g′ (x)=f′ (x)﹣f′ (x0)= ﹣2ax﹣1﹣ +2ax0+1=﹣(x﹣x0)? (x>0) ,

由 a>0,当 0<x<x0,f′ (x)>0,g(x)递增, 当 x>x0,f′ (x)<0,g(x)递减, 故 g(x)≤g(x0)=0,即 f(x)≤f′ (x0) (x﹣x0)+f(x0) , 也就是 y=f(x)的图象永远在切线的下方. 故不存在这样的点 P. 【点评】 : 本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间,主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用,同时 考查分类讨论的思想方法,构造函数是解题的关键. 1.集合

2.设复数 z1·z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,若

的虚部为

3.已知抛物线

上横坐标为 1 的点到焦点 F 的距离为 2,则抛物线方程为

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章丘一中王希刚

5.某同学寒假期间对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查,列出了如下 2×2 列联表

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章丘一中王希刚

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章丘一中王希刚

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章丘一中王希刚

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章丘一中王希刚

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