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北京市各区2012届高三上学期期中、期末考试分类解析(12):圆锥曲线

时间:2015-06-05


圆锥曲线 1. 设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么双曲线 的离心率是( D ) A. 2 B.

3

C.

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

2. (2011 年东城区高三示范校高三综合练习(一)理 5) 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 6 3

( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r 等于( A )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 6

3.(2012 年昌平区高三期末考试文 8) 一圆形纸片的圆心为点 O ,点 Q 是圆内异于 O 点的 一定点,点 A 是圆周上一点.把纸片折叠使点 A 与 Q 重合,然后展平纸片,折痕与 OA 交于

P 点.当点 A 运动时点 P 的轨迹是( B )
C. 双曲线 D.抛物线 2 2 x y 4. (2012 年海淀区高三期末考试文 9) 双曲线 ? ? 1 的离心率为 4 5 答案: A.圆 B.椭圆

.

3 。 2

x2 y 2 5.(2012 年东城区高三期末考试理 13) 如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶 a b
点为 A ,左焦点为 F ,上顶点为 B ,若 ?BAO ? ?BFO ? 90 ,则该椭圆的离心率是
?

.

答案:

5 ?1 。 2
A F

y B O x

6.(2012 年昌平区高三期末考试文 12) 已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点恰好是抛物线 m

y 2 ? 8x 的焦点,则 m ?
答案:3。

.

7.(2012 年西城区高三期末考试理 10) 若双曲线 x ? ky ? 1 的一个焦点是 (3, 0) ,则实
2 2

数 k ? ______. 答案:

1 . 8

8.(2012 年西城区高三期末考试文 10) 双曲线 是______. 答案: 3 .

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点到其渐近线的距离 16 9

9.(2012 年海淀区高三期末考试理 11)物线 x2 = ay 过点 A(1, ) ,则点 A 到此抛物线的 焦点的距离为 答案: .

1 4

5 4

10. (顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示 9)已知 F1 , F2 为双曲线 C: 左、右焦点,点 P 在 C 上,若 PF1 ? 9, 则 PF2 = .

x2 y 2 ? ?1 的 16 20

答案:17。 11.(顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示文 10)两条分别平行于 x 轴和 y 轴的直线与 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 交 于 A 、 B 、 C 、 D 四 点 , 则 四 边 形 ABC D 面 积 的 最 大 值 25 9

为 。 答案:30。 12. (2011 年东城区高三示范校高三综合练习(一)文 3) 已知椭圆

x2 y2 ? ?1(a ? b ? 0 ) a2 b2

的一个顶点为 M ( 0 , 1 ) ,离心率 e ?

6 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆交 3 3 ,求△AOB 面积的最大值. 2

于 A,B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

解: (Ⅰ)设 c ?

a 2 ? b 2 ,依题意得 b ? 1 e ?

c a 2 ? b2 6 , ? ? a a 3

解得 a ? 3, b ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1. . ………….6 分 所以椭圆的方程为 3

(Ⅱ)①当 AB ? x轴时, | AB |? 3. ………….7 分 ②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

由已知

|m| 1? k 2

?

3 3 , 得 m 2 ? (k 2 ? 1), 4 2

………….… 8 分

把y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx? 3m 2 ? 3 ? 0,
于是 x1 ? x 2 ?

? 6km 3(m 2 ? 1) , x x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

…….…………….…9 分

故 | AB | 2 ? (1 ? k 2 )(x2 ? x1 ) 2

36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) 12(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (1 ? k )[ 2 ? ]? ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2 (3k ? 1) 2 3k 2 ? 1 12 12k 2 12 ? 4. ? 3? 2 ? 3? (k ? 0) ? 3 ? 2 2?3? 6 1 9k ? 6k ? 1 2
2

9k ?

k2

?6

当且仅当 9k 2 ?

1 3 时等号成立,此时 | AB |? 2. ………12 分 ,即k ? ? 2 3 k
…….………….………13 分

③当 k ? 0时, | AB |? 3. 综上: | AB | max ? 2 ,

?AOB 面积取最大值 S ?

1 3 3 | AB | max ? ? . 2 2 2

…….….………14 分

x2 y2 13.(顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示文 18)设椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
的离心率为

2 2 3 ,点 A ( a ,0) , B ( 0, ? b ) ,原点 O 到直线 AB 的距离为 . (Ⅰ) 2 3

求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设点 C 为( ?a ,0) ,点 P 在椭圆 M 上(与 A 、 C 均不重合) ,

PB ?E 点 E 在直线 PC 上, 若直线 PA 的方程为 y ? kx ? 4 , 且C
c 2 a 2 ? b2 b2 1 ? 1 ? 2 ? 得 a ? 2b 解: (Ⅰ)由 e ? 2 ? a a2 a 2
2

? 0, 试求直线 BE 的方程.
…………2 分

由点 A ( a ,0) , B (0, ?b )知直线 AB 的方程为 于是可得直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 2b ? 0 因此

x y ? ? 1, a ?b
…………4 分

| 0 ? 0 ? 2b | 12 ? ( 2) 2

?

2b 2 3 2 2 ? ,得 b ? 2 , b ? 2 , a ? 4 , 3 3

所以椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2


…6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A 、 B 的坐标依次为(2,0) 、0 , ( 2 ? )

因为直线 PA 经过点 A(2, 0) ,所以 0 ? 2k ? 4 ,得 k ? 2 , 即得直线 PA 的方程为 y ? 2 x ? 4 因为 CP ? BE ? 0 ,所以 kCP ? kBE ? ?1 ,即 k BE ? ? …8 分

1 kCP

…9 分

设 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则

y0 y y2 2 1 ? 0 ? 2 0 ? ? ? ? ? 2kCP x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 2
……12 分

得?

1 ? 4 ,即直线 BE 的斜率为 4 kCP

又点 B 的坐标为 (0, ? 2) ,因此直线 BE 的方程为 y ? 4 x ? 2

……13 分

14.(顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示 19)已知 ?ABC 的顶点 A、B 在椭圆

x 2 ? 3 y 2 ? 4上,点C在直线l : y ? x ? 2上, 且AB // l. (Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,
求 AB 的长及 ?ABC 的面积; (Ⅱ)当 ?ABC ? 90? ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在 直线的方程. 解: (Ⅰ)因为 AB // l , 且 AB 通过原点(0,0) ,所以 AB 所在直线的方程为 y ? x. 由?

?x 2 ? 3 y 2 ? 4 得 A、B 两点坐标分别是 A(1,1) ,B(-1,-1) 。 ?y ? x
…2 分

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 2

l 的距离。 又? AB边上的高h等于原点到直线
1 | AB | ?h ? 2. ………5 分 2 (Ⅱ)设 AB 所在直线的方程为 y ? x ? m ? h ? 2 , S ?ABC ?
由?

?x 2 ? 3 y 2 ? 4 得4 x 2 ? 6m x ? 3m 2 ? 4 ? 0. ?y ? x ? m

因为 A,B 两点在椭圆上,所以

? ? ?12m 2 ? 64 ? 0,

即?

4 3 4 3 ?m? . 3 3

…7 分

设 A,B 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

3m 3m 2 ? 4 , x1 x2 ? , 2 4
…8 分

且 y1 ? x1 ? m, y 2 ? x2 ? m.

? | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2( x1 ? x2 ) 2

9 32 ? 6m 2 ? 2[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 2( m 2 ? 3m 2 ? 4) ? 4 2
又? BC的长等于点 (0, m)到直线l 的距离, 即 | BC |?

……9 分

|2?m| 2

.

? | AC |2 ?| AB |2 ? | BC |2 ? ?m2 ? 2m ? 10 ? 11? (m ? 1) 2 .
(显然 ? ?当m ? ?1时, AC 边最长。

4 3 4 3 ) ? ?1 ? 3 3
…13 分

…12 分

所以,AB 所在直线的方程为 y ? x ? 1

15.(2012 年昌平区高三期末考试文 19) 已知椭圆 C 的中心在原点,左焦点为 (? 3,0) ,

离心率为

3 .设直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P ,记点 P 在第一象限时直线 l 与 x 2

轴、y 轴的交点分别为 A、B , 且向量 OM ? OA ? OB .求: (I) 椭圆 C 的方程; (II) | OM | 的最小值及此时直线 l 的方程. 解:(Ⅰ)由题意可知 c ? 3 , e ?

c 3 2 ? ,所以 a ? 2 ,于是 b ? 1 ,由于焦点在 x 轴上, a 2
………5 分

x2 ? y2 ? 1 故 C 椭圆的方程为 4

(Ⅱ)设直线 l 的方程为: y ? kx ? m (k ? 0) , A(?

m ,0), B(0, m) k

? y ? kx ? m, 1 ? 2 2 2 2 消去 y 得: ( ? k ) x ? 2kmx ? m ? 1 ? 0 ?x 2 4 ? ? y ? 1, ?4

…7 分

直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点, ? ? 4k 2 m 2 ? (1 ? 4k 2 )(m 2 ? 1) ? 0 即 m ? 4k ? 1 ①
2 2

…… 9 分

∵ OM ? OA ? OB

m2 ? | OM |? ? m2 ② 2 k
将①式代入②得:

…11 分

| OM |?

1 1 ? 4k 2 ? 5 ? 2 2 ? 4 k 2 ? 5 ? 3 2 k k
2 时,等号成立,故 | OM |min ? 3 ,此时直线方程为: 2
………14 分

当且仅当 k ? ?

2x ? 2 y ? 2 3 ? 0 .

16. (2012 年朝阳区高三期末考试文 19) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 2 a b

且过点 P (1, ) , F 为其右焦点.(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 A(4, 0) 的直线 l 与椭 圆相交于 M 、 N 两点(点 M 在 A, N 两点之间) ,若 △ AMF 与 △MFN 的面积相等,试 求直线 l 的方程. 解: (Ⅰ)因为

3 2

c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . a 2

…………1 分

设椭圆方程为 解得 c ? 1 ,
2

3 1 3 x2 y2 ? ? 1 ,又点 P (1, ) 在椭圆上,所以 2 ? 2 ? 1 , 2 2 2 4c 4c 4c 3c
……………3 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……………4 分

(Ⅱ)易知直线 l 的斜率存在, 设 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) , ………………5 分

? y ? k ( x ? 4), ? 2 消去 y 整理,得 由? x y2 ? 1, ? ? 3 ? 4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 ,

…………6 分

由题意知 ? ? (32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 , 解得 ?

1 1 ?k? . 2 2

………………7 分

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 因为 △ AMF 与 △MFN 的面积相等,

32k 2 64k 2 ? 12 ①, x x ? ?????? , .… ②. 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

所以 AM ? MN ,所以 2 x1 ? x2 ? 4 . ?????? ③ …………10 分 由①③消去 x2 得 x1 ?

4 ? 16k 2 . ?????? ④ 3 ? 4k 2

64k 2 ? 12 将 x2 ? 2 x1 ? 4 代入②得 x1 (2 x1 ? 4) ? . ?????? ⑤ 3 ? 4k 2
将④代入⑤

4 ? 16k 2 4 ? 16k 2 64k 2 ? 12 (2 ? ? 4) ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

整理化简得 36k ? 5 ,解得 k ? ?

5 ,经检验成立. 6
……13 分

……12 分

所以直线 l 的方程为 y ? ?

5 ( x ? 4) . 6

17.(2012 年海淀区高三期末考试文 19) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 a 2 b2

1 (Ⅱ)设过点 F F1 (1, 0) ,离心率为 .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程及左顶点 P 的坐标; 1 的直线 2 36 交椭圆 C 于 A, B 两点,若 ?PAB 的面积为 ,求直线 AB 的方程. 13
解: (Ⅰ)由题意可知: c = 1 , 所以 b = a - c = 3 . 所以 椭圆 C 的标准方程为
2 2 2

c 1 ? ,所以 a = 2 . a 2

x2 y 2 ? ? 1 ,左顶点 P 的坐标是 (- 2, 0) . 4 3

……4 分

(Ⅱ)根据题意可设直线 AB 的方程为 x = my + 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

ì ? x2 y 2 ? = 1, ? + 由í 4 可得: (3m2 + 4) y 2 + 6my - 9 = 0 . 3 ? ? ? ? x = my + 1

? = 36m2 + 36(3m2 + 4) > 0 , y1 + y2 = 所以 ?PAB 的面积 S =

6m 9 , y1 y2 = .…7 分 2 2 3m + 4 3m + 4
( y2 + y1 ) 2 - 4 y2 y1 …9 分

1 1 PF1 y2 - y1 = 创 3 2 2

=

3 6m 2 36 18 m2 + 1 .…10 分 () + = 2 3m2 + 4 3m2 + 4 3m2 + 4
36 m2 + 1 2 , 所以 . = 13 3m2 + 4 13

因为 ?PAB 的面积为

令t = 解得 t1 =

m2 + 1 ,则

t 2 = (t 3t + 1 13
2

1) .

1 (舍) , t2 = 2 . 6

所以 m =

3.

所以直线 AB 的方程为 x+ 3 y - 1 = 0 或 x -

3 y - 1 = 0 .……13 分
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点 a 2 b2

18.(2012 年西城区高三期末考试理 18)已知椭圆 C : 是 F (1, 0) , 且离心率为

1 . (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M , N 2

两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0 ) ,求 y0 的取值范围. (Ⅰ)解:设椭圆 C 的半焦距是 c .依题意,得 c ? 1 . 因为椭圆 C 的离心率为
2

…1 分

1 , 2
2 2

所以 a ? 2c ? 2 , b ? a ? c ? 3 . 故椭圆 C 的方程为

……3 分

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……4 分

(Ⅱ)解:当 MN ? x 轴时,显然 y0 ? 0 .

……5 分

当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) .

由 ?

? y ? k ( x ? 1),
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,

消去 y 整理得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 .……7 分

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的中点为 Q( x3 , y3 ) , 则 x1 ? x2 ?

8k 2 . 3 ? 4k 2

……8 分

?3k x1 ? x2 4k 2 ? 所以 x3 ? , y3 ? k ( x3 ? 1) ? . 2 3 ? 4k 2 2 3 ? 4k
线段 MN 的垂直平分线方程为 y ?

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ). k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
……10 分

在上述方程中令 x ? 0 ,得 y 0 ?

k 1 ? . 2 3 3 ? 4k ? 4k k

当 k ? 0 时, 所以 ?

3 3 ? 4k ? ?4 3 ;当 k ? 0 时, ? 4k ? 4 3 . k k

3 3 . ? y0 ? 0 ,或 0 ? y0 ? 12 12 3 3 , ]. 12 12

…12 分

综上, y0 的取值范围是 [?

……13 分

19.(2012 年海淀区高三期末考试理 19)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (0,1) ,且离心率



6 3 , Q 为椭圆 C 的左顶点.(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知过点 (? , 0) 的直线 l 5 2

与椭圆 C 交于 A , B 两点.(ⅰ)若直线 l 垂直于 x 轴,求 ?AQB 的大小;(ⅱ)若直线 l 与

x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形?如果存在,求出直线 l 的方程;如
果不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,且 a 2 = b2 + c 2 . a 2 b2
………2 分

由题意可知: b = 1 ,
2

c 3 = . a 2

所以 a = 4 .

所以,椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

………3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 Q(?2, 0) .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . (ⅰ)当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x ? ?

6 . 5

6 6 6 ? ? ? x?? , x ? ? , ?x ? ? , ? ? ? ? ? 5 5 5 由? 2 解得: ? 或? ? x ? y2 ? 1 ?y ? 4 ?y ? ? 4. ? ? ? 5 5 ? ? ?4
即 A(? , ), B( ? , ? ) (不妨设点 A 在 x 轴上方).…………5 分 则直线 AQ 的斜率 k AQ ? 1,直线 BQ 的斜率 kBQ ? ?1 . 因为 k AQ ? kBQ ? ?1 , 所以 AQ ^ BQ . 所以 ?AQB ?

6 4 5 5

6 5

4 5

? . 2

…………6 分

(ⅱ)当直线 l 与 x 轴不垂直时,由题意可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? )(k ? 0) .

6 5

6 ? y ? k ( x ? ), ? ? 5 由? 2 消去 y 得: (25 ? 100k 2 ) x2 ? 240k 2 x ? 144k 2 ?100 ? 0 . ? x ? y2 ? 1 ? ?4
因为 点 (-

6 , 0) 在椭圆 C 的内部,显然 ? ? 0 . 5

? 240k 2 x ? x ? ? , ? ? 1 2 25 ? 100k 2 ? 2 ? x x ? 144k ? 100 . 1 2 ? 25 ? 100k 2 ?

……………8 分

因为 QA ? ( x1 ? 2, y1 ), QB ? ( x2 ? 2, y2 ) , y1 ? k ( x1 ? ) , y2 ? k ( x2 ? ) , 所以 QA ? QB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2

6 5

6 5

6 6 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? k ( x1 ? ) ? k ( x2 ? ) 5 5 6 36 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2 5 25

? (1 ? k 2 )
所以 QA ? QB .

144k 2 ? 100 6 2 240k 2 36 ? (2 ? k )( ? ) ? 4 ? k2 ? 0 . 2 2 25 ? 100k 5 25 ? 100k 25

所以 ?QAB 为直角三角形.

………………11 分

假设存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形,则 QA ? QB .
A

y

取 AB 的中点 M ,连接 QM ,则 QM ^ AB .

6 记点 (- , 0) 为 N . 5
另一方面,点 M 的横坐标 xM =

Q B

N

O

x

x1 + x2 120k 2 24k 2 == , 2 25 + 100k 2 5 + 20k 2
6 6k )= . 5 5 + 20k 2

所以 点 M 的纵坐标 yM = k ( xM +

所以 QM ?NM

10 + 16k 2 6k 6 6k ( , ) ( , ) 2 2 2 5 + 20k 5 + 20k 5 + 20k 5 + 20k 2

=

60 + 132k 2 (5 + 20k 2 )2

0.

所以 QM 与 NM 不垂直,矛盾. 所以 当直线 l 与 x 轴不垂直时,不存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形.…………13 分 20.(2012 年东城区高三期末考试文 19)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分 a 2 b2

别为 F1 , F2 , 点 M ? 0, 2? 是椭圆的一个顶点,△ F1 MF2 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭 圆的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A , B 两点,设两直线的斜率分 别为 k 1 , k 2 ,且 k1 ? k2 ? 8 ,证明:直线 AB 过定点( ? 解: (Ⅰ)由已知可得 b ? 2, a ?
2

1 ,? 2) . 2

? ?

2b ? 8 ,
…5 分

2

x2 y 2 ? ?1. 所求椭圆方程为 8 4

(Ⅱ)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?2 .

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,

? x2 y2 ? ? ? 1, 得 1 ? 2k 2 x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 . 由 ?8 ? ? 4 ? ? y ? kx ? m,
则 x1 ? x2 ? ?

…7 分

4km 2m 2 ? 8 , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由已知

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ?8, x1 x2

所以

kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 ? ?8, x1 x2 x1 ? x2 ? 8. x1 x2
…10 分

即 2k ? ? m ? 2 ? 所以 k ?

mk 1 ? 4 ,整理得 m ? k ? 2 . m?2 2 1 1 故直线 AB 的方程为 y ? kx ? k ? 2 ,即 y ? k ( x ? ) ? 2 . 2 2 1 所以直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) . ………12 分 2
若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x ? x0 , 设 A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) , 由已知

y0 ? 2 ? y0 ? 2 ? ?8, x0 x0

1 1 1 .此时 AB 方程为 x ? ? ,显然过点( ? , ? 2 ) . 2 2 2 1 综上,直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) . …13 分 2
得 x0 ? ? 21.(2012 年朝阳区高三期末考试理 19) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a 2 b2

1 ,直线 l 过点 A(4, 0) , B(0, 2) ,且与椭圆 C 相切于点 P .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 2
是 否 存 在 过 点 A(4, 0) 的 直 线 m 与 椭 圆 C 相 交 于 不 同 的 两 点 M 、 N , 使 得

36 AP ? 35 AM ? AN ?若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

2

解: (Ⅰ)由题得过两点 A(4, 0) , B(0, 2) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .……… 1 分 因为

c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . a 2

设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1, 4c 2 3c 2

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 由 ? x2 消去 x 得, 4 y 2 ?12 y ? 12 ? 3c2 ? 0 . y2 ? 2 ? 2 ? 1, ? 4c 3c
又因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 ? ? 122 ? 4 ? 4(12 ? 3c2 ) ? 0 ,解得 c ? 1 .
2

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

…………………… 5 分

(Ⅱ)易知直线 m 的斜率存在,设直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,………… 6 分

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 消去 y ,整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 . ………… 7 分 ? 1, ? ? 3 ? 4
由题意知 ? ? (32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 , 解得 ?

1 1 ?k? . 2 2

………………………………… 8 分

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 x x ? . , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

9分

x2 y 2 ? ? 1 相切, 又直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与椭圆 C : 4 3
? x ? 2 y ? 4 ? 0, 3 3 ? 由 ? x2 y 2 解得 x ? 1, y ? ,所以 P (1, ) . ……………10 分 2 2 ? ? 1, ? 3 ? 4
则 AP ?
2

45 36 45 81 ? ? . . 所以 AM ? AN ? 4 35 4 7
(4 ? x1 ) 2 ? y12 ? (4 ? x2 ) 2 ? y2 2

又 AM ? AN ?

? (4 ? x1 ) 2 ? k 2 (4 ? x1 ) 2 ? (4 ? x2 ) 2 ? k 2 (4 ? x2 ) 2

? (k 2 ?1)(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ? (k 2 ?1)( x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ?16)

? (k 2 ? 1)(

36 64k 2 ? 12 32k 2 . ? 4 ? ? 16) ? (k 2 ? 1) 2 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 3 ? 4k
……… 13 分

所以 (k ? 1)
2

36 81 2 ? ,解得 k ? ? .经检验成立. 2 3 ? 4k 7 4

所以直线 m 的方程为 y ? ?

2 ( x ? 4) . 4

……………………… 14 分

22.(2012 年东城区高三期末考试理 19) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 a2 b2

(Ⅰ)求椭 F (1,0) , M 为椭圆的上顶点, O 为坐标原点,且△ OMF 是等腰直角三角形. 圆的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点, 且使点 F 为△ PQM 的垂心(垂 心:三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)由△ OMF 是等腰直角三角形,得 b ? 1 , a ? 故椭圆方程为

2b ? 2 ,

x2 ? y2 ? 1. 2

…5 分

(Ⅱ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQM 的垂心, 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 M (0,1) , F (1,0) ,故 k PQ ? 1 . 于是设直线 l 的方程为 y ? x ? m , …7 分

由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 x ? 2 y ? 2 , ?
4m 2m 2 ? 2 , x1 x 2 ? . 3 3
……9 分

2 由 ? ? 0 ,得 m ? 3 , 且 x1 ? x 2 ? ?

由题意应有 MP ? FQ ? 0 ,又 MP ? ( x1, y1 ?1), FQ ? ( x2 ?1, y2 ) , 故 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 , 得 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)(x1 ? m ? 1) ? 0 . 即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m ? m ? 0 .
2

整理得 2 ?

2m 2 ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 3 3
4 或 m ? 1. 3
…12 分

解得 m ? ?

经检验,当 m ? 1 时,△ PQM 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? .………13 分 3 3


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