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数学:2.3《幂函数》课件(新人教版必修1)

时间:2010-07-08


2.3

幂 函 数

(1)如果张红购买了每千克 元的蔬菜 千克 那么她 如果张红购买了每千克1元的蔬菜 千克,那么她 如果张红购买了每千克 元的蔬菜w千克 y=x 需要支付P w 元 需要支付 = ______ ____是____的函数 P 是 w 的函数 (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 = ____ 那么正方形的面积S a 如果正方形的边长为 那么正方形的面积 y=x2 S 是 a 的函数 ____是____的函数 a (3)如果立方体的边长为 那么立方体的体积 = ____ 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 如果立方体的边长为 那么立方体的体积V y=x3 V是a的函数 是 的函数 (4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边 如果一个正方形场地的面积为 1那么正方形的边 1 a =S2 长_________ a是S的函数 是 的函数 y=x 2 (5)如果某人 t s内骑车行进 km,那么他骑车的平均 内骑车行进1 如果某人 内骑车行进 那么他骑车的平均 速度v=__________ 速度 t km/s y=x-1 v是t 的函数 是

y=x 以上问题中的函数具有什么共同特征? 以上问题中的函数具有什么共同特征
a

一般地, 一般地,函数

y= x

a

叫做幂函数 叫做幂函数(power function) ,

其中x为自变量, 为常数. 其中x为自变量, 为常数. a 注意:幂函数的解析式必须是y 的形式, 注意:幂函数的解析式必须是y = xK 的形式, 其特征可归纳为"两个系数为1 只有1 其特征可归纳为"两个系数为1,只有1项". 你能说出幂函数与指数函数的区别吗? 你能说出幂函数与指数函数的区别吗
指数函数: 底数为常数a, 指数函数:解析式 y = a ,底数为常数 ,a>0, , a≠1,指数为自变量 ; ,指数为自变量x; a 幂函数: 底数为自变量x, 幂函数:解析式 y = x ,底数为自变量 , 指数为常数α, ∈ ; 指数为常数 , α∈R;
x

练习1,下列函数中, 练习 ,下列函数中,哪几个 函数是幂函数? 答案:(1)(4) 函数是幂函数? 答案:(1)(4) 1 (1)y = 2 ) (2)y=2x2 ) (3)y=2x )
x

(4)y=1 ) (6) y=-x3

(5) y=x2 +2

下面研究幂函数

y=x .
a
1 2

结合图象,研究性质:定义域,值域, 结合图象,研究性质:定义域,值域, 单调性,奇偶性,过定点的情况等. 单调性,奇偶性,过定点的情况等.
研究

y=x

y=x

2

y=x

3

y=x

y=x

1

y=x0 在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象. 个幂函数的图象

y=x y = x
x … … … … … …

2

y=x y=x
3

1 2

y=x
1 1 1 1 1 1

1

y=x0
3 3 9 27 … … … … … …

-3 -3 9 -27 \ -1/3

-2 -2 4 -8 \ -1/2

-1 -1 1 -1 \ -1

0 0 0 0 0 \

2 2 4 8

y=x
y=x
y=x
y=x
2

3
1 2

2
1/2

3
1/3

y=x

1

4

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x2 9 4 1 0 1 4 9

4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x3 -27 -8 -1 0 1 8 27

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x
1 2

0

1 1

2

4 2

-3

y=x 0

2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3 -2 -1 1 2 3 y=x1 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3

x

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4) 在第一象限内, 在第一象限内 函数图象的变化 趋势与指数有什 么关系? 么关系 (-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 在第一象限内, 增大而上升. 当k>0时,图象随 增大而上升. 时 图象随x增大而上升 当k<0时,图象随 增大而下降 时 图象随x增大而下降

-3

-4

不管指数是多少 (-2,4) ,图象都经过哪 图象都经过哪 个定点? 个定点
(-1,1)
-6 -4 -2

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

在第一象限内, 在第一象限内, k>0时 图象随x增大而上升. 当k>0时,图象随x增大而上升. k<0时 图象随x增大而下降. 当k<0时,图象随x增大而下降.

-3

图象都经过点( 图象都经过点(1,1) K>0时,图象还都过点 时 图象还都过点 图象还都过点(0,0)点 点

-4

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表 观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表:
y=x 定义域 值域 奇偶性 R R y=x2 R [0,+∞) ) y=x3 y=x
1 2

y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0}

R [0,+∞) ) R [0,+∞) )







非奇 非偶



0]上减 上减, 在R 在(-∞,0]上减, 在R上 单调性 +∞)上增, 上增 在[0,+∞)上增, 增

在[0, 在(-∞,0)上减, 0)上减 上减, +∞)上增, +∞)上增, (0,+∞)上减 在(0,+∞)上减

公共点

(1,1)

例1 如果函数 f ( x ) = ( m m 1) x
2 m 2 2 m 3

是幂函数, 是幂函数,

且在区间( , ) 内是减函数, 且在区间 ( 0, +∞) 内是减函数 , 求满足条件的 实数m的集合. 实数 的集合. 的集合

解:依题意 得 m m 1 = 1 依题意,得 依题意 解方程,得 m=2或m=-1 解方程 得 或 3 检验:当 检验 当 m=2时,函数为 f ( x) = x 时 函数为 0 符合题意.当 符合题意 当m=-1时,函数为 f ( x ) = x = 1 时 函数为 不合题意,舍去 所以m=2 舍去.所以 不合题意 舍去 所以
2

利用单调性判断下列各值的大小. 例2. 利用单调性判断下列各值的大小. (1)5.20.8 与 5.30.8 ) (2)0.20.3 -2 0.30.3-2 ) 与 内是增函数, 解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数 内是增函数 ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数 内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 ∴ (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5 ∴

(3)

2.5

5

与 2.7

5

练习2 练习
1) )

1.3
2

0.5<

1.5

0.5

5.1 < 5.092 2) )
3) 1.79 > 1.81 ) 4) )
1 4

1 4

(2 + a )

2 2 3≤

2

2 3

练习3: 如图所示, 练习 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象 值,则相应图象依次为:________3 则相应图象依次为 C4 C2 C

1 限内的图象, 限内的图象,已知 k分别取 1, 1, 分别取 , 2 四个 2
C1

1

一般地,幂函数的图象在直线 一般地,幂函数的图象在直线x=1 的右侧,大指数在上,小指数在下, 的右侧,大指数在上,小指数在下, 轴与直线x 之间正好相反 之间正好相反. 在Y轴与直线 =1之间正好相反. 轴与直线

例3

证明幂函数 f ( x) = x 在[0,+∞)上是增函数 , )上是增函数.

复习用定义证明函数的单调性的步骤 复习用定义证明函数的单调性的步骤: 用定义证明函数的单调性的步骤 (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2; 是某个区间上任意二值, (2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ; - , (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (4). 下结论 的符号; 下结论. - 证明:任取 x1 , x2 ∈ [0,+∞), 且x1 < x2 , 则 证明:

f ( x1 ) f ( x2 ) = x1 x2 =
=

( x1 x2 )( x1 + x2 ) x1 + x2

x1 x2 , ∵ x1 x2 < 0, x1 + x2 > 0,∴ f ( x1 ) < f ( x2 ). x1 + x2

所以幂函数 所以幂函数 f ( x) = x 在[0,+∞)上是增函数 , )上是增函数.

证明幂函数 f ( x) = x 在[0,+∞)上是增函数 , )上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈[0,+∞),且x1< x2 ; 证法二 任取 , )且

x1 f ( x1 ) x1 = = <1 f ( x2 ) x2 x2
所以



f (x1) < f (x2 )

f ( x) =

x 在 [0, ∞ )为增函数 +

(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子, (1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 作差法 理化的方式. 理化的方式. (2)作商法 证明时要注意分子和分母均为正数, 作商法: (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出f )<f 一定能推出f(x1)<f(x2).

课堂小结: 课堂小结:

本节知识结构: 本节知识结构 幂函数 定义 五个特殊幂函数 图象 基本性质

P79习题 : 1,2,3. 习题2.3: , , 习题


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