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2015北京西城高考二模数学文(含解析)

时间:2015-06-20


北京市西城区 2014—2015 学年度第二学期高三综合练习 2015.5 数学(文科) 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项) 1.设集合 A ? ?x x ? 1 ? 0? ,集合 B ? ?x x≤3? ,则 A A. ( ?1,3) B. (1,3] C. [1,3)
B ?( ) .

D. [ ?1,3] ) .

2.已知平面向量 a , b , c 满足 a ? (?1,1) , b ? (2,3) , c ? (?2, k ) ,若 a ? b // c ,则实数 k ? ( A. 4 B. ?4 C. 8 D. ? 8

3.设命题 p : 函数 f ( x) ? e x ?1 在 R 上为增函数;命题 q : 函数 f ( x) ? cos 2x 为奇函数.则下列命题中真命题 是( ) . p ? q A. B. (?p) ? q C. (?p) ? (?q) D. p ? (?q)

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 n ??1, 2,3? ,则输出的 s 属于( ) .

A. ?1, 2?

B. ?1,3?

C. ?2,3?

D. ?1,3,9?

1

5.一个几何体的三视图中,正(主)视图和侧(左)视图如图所示,则俯视图不可能为( ) .

6.某生产厂商更新设备,已知在未来 x 年内,此设备所花费的各种费用总和 y (万元)与 x 满足函数关系
y ? 4x2 ? 64 ,若欲使此设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限 x 为(

) .

A.3

B.4

C.5

D.6

7.“ m ? 3 ”是“曲线 mx2 ? (m ? 2) y 2 ? 1 为双曲线”的( ) . A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8. 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? 2 ,BC ? AA1 ? 1 , 点 P 为对角线 AC1 上的动点, 点 Q 为底面 ABCD 上的动点(点 P , Q 可以重合) ,则 B1 P ? PQ 的最小值为( ) . A. 2 B. 3 C.
3 2

D. 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本小题共 6 小题,每小 题 5 分,共 30 分. 9. 复数
10i ? 3?i

. ;以 C 的焦点为圆心,且与直线 l 相切的圆

10.抛物线 C : y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程是 的方程是 .

?1 ? , x ?1 11.设函数 f ( x) ? ? x ?则 f [ f (2)] ? ? ?? x ? 2, x ? 1

;函数 f ( x) 的值域是



12.在 △ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 a ? 7 , b ? 3 , c ? 2 ,则 A ?
△ ABC 的面积为




2

?y ? x ? 5 13.若 x , y 满足 ? y ? 2 x ?若 z ? x ? my 的最大值为 ,则实数 m ? 3 ?x ? y ? 1 ?



14.如图,正方形 ABCD 的边长为 2 , O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 顺时针方向旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x( x ? [0, π]) ,OP 所经过的在正方形 ABCD 内的区域(阴影部分) 的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x) 有以下三个结论:

3 ?π? ① f ? ?? ; ?3? 2
?π ? ②函数 f ( x) 在区间 ? , π ? 上为减函数; ?2 ? ? π? ③任意 x ? ? 0, ? ,都有 f ( x) ? f ( π ? x) ? 4 ; ? 2? 其中所有正确结论的序号是 .

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)
cos 2 x(sin x ? cos x) . cos x ? sin x (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调增区间.

已知函数 f ( x) ?

4

16. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , an?1 ? 1 ? Sn (n ? N ? ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 为等差数列, 且 b1 ? a1 ,公差为
a2 ,当 n ? 3 时,比较 bn ?1 与 1 ? b1 ? b2 ? a1

? bn 的大小.

5

17. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 E ? ABCD 中,AE ? DE ,CD ? 平面ADE ,AB ? 平面ADE ,CD ? DA ? 6 ,AB ? 2 , DE ? 3 . (Ⅰ)求棱锥 C ? ADE 的体积; (Ⅱ)求证:平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)在线段 DE 上是否存在一点 F ,使 AF // 面 BCE ?若存在,求出
EF 的值;若不存在,说明理由. ED

6

18. (本小题满分 13 分) 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在 10 个卖场的销售量(单位:台) ,并根据这 10 个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.

为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名 为该型号电视机的“星级卖场”. (Ⅰ)求在这 10 个卖场中,甲型号电视机的“星级卖场”的个数 (Ⅱ)若在这 10 个卖场中,乙型号电视机销售量的平均数为 26.7 ,求 a ? b 的概率 (Ⅲ)若 a ? 1 ,记乙型号电视机销售量的方差为 s 2 ,根据茎叶图推断 b 为何值时, s 2 达 到最小值. (只需写出结论)
1 2 2 2 (注:方差 s ? [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? n ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x 2 ,

, x n 的平均数)

7

19. (本小题满分 14 分) 设 F1 ,分别为椭圆 E : 上顶点,且 AB ? 2 . (Ⅰ)若椭圆 E 的离心率为
6 ,求椭圆 E 的方程; 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 A 为椭圆 E 的左顶点,点 B 为椭圆 E 的 a 2 b2

(Ⅱ) 设 P 为椭圆 E 上一点, 且在第一象限内, 直线 F2 P 与 y 轴相交于点 Q , 若以 PQ 为直径的圆经过点 F1 , 证明:点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上.

8

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?
1? x ,其中 a ? R . 1 ? ax2

1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; 4 (Ⅱ)当 a ? 0 时,证明:存在实数 m ? 0 ,使得对任意的实数 x ,都有 ?m ? f ( x) ? m 成立; 1 (Ⅲ)当 a ? 2 时,是否存在实数 k ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? a) 仅有负实数解?当 a ? ? 时的情形 2

又如何?(只需写出结论)

9

北京市西城区2015 年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学(文科) 一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 题号 (9) 答案
1 ? 3i x ? ?1

(1) B

(2) D (10)

(3) D

(4) A (11)
? 5 2
[?3, ??)

(5) C (12)
π 3
3 3 2

(6) B

(7) A

(8) C (14) ①②

(13)

( x ? 1)2 ? y 2 ? 4

2

三、解答题: 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ) 由题意,得 cos x ? sin x ? 0 , 即 tan x ? 1 , 解得 x ? kπ ?
π , 4

? π ? 所以函数 f ( x) 的定义域为 ? x x ? kπ ? , k ? Z ? . 4 ? ?

(Ⅱ) f ( x) ?

cos 2 x(sin x ? cos x) cos x ? sin x

(cos2 x ? sin 2 x)(sin x ? cos x) cos x ? sin x ? (cos x ? sin x)(sin x ? cos x) ?
? sin 2 x ? 1 ,

π π 由 ? ? 2kπ ? 2x ? ? 2kπ , 2 2 π π 得 ? ? kπ ? x ? ? kπ , 4 4

又因为 x ? kπ ?

π , 4

π π ? π ? ? π ? 所以函数 f ( x) 的单增区间是 ? ? ? kπ, ? kπ ? , k ? Z . (或写成 ? ? ? kπ, ? kπ ? ) 4 4 ? 4 ? ? 4 ? 16. (本小题满分 13 分)

(Ⅰ) 因为 an ?1 ? 1 ? Sn , ① 所以当 n ? 2 时, an ? 1 ? Sn ?1 , ② 由①②两式相减,得 an?1 ? an ? an , 即 an?1 ? 2an (n ? 2) , 因为当 n ? 1 时, a2 ? 1 ? a1 ? 2 ,
10

所以

a2 ?2, a1

所以

an ?1 ? 2(n ? N ? ) . an

所以数列 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? 2n?1 . (Ⅱ) 因为 bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 , 所以 bn ?1 ? 2n ? 1, 1 ? b1 ? b2 ?
? bn ? 1 ? n(1 ? 2n ? 1) ? n2 ? 1, 2

因为 (n2 ? 1) ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) , 由 n ? 3 ,得 n(n ? 2) ? 0 , 所以当 n ? 3 时, bn ?1 ? 1 ? b1 ? b2 ? 17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ) 在 Rt△ ADE 中, AE ? AD2 ? DE 2 ? 3 3 , 因为 CD ? 平面 ADE ,
1 1 AE ? DE ? CD ? 9 3 . 所以棱锥 C ? ADE 的体积为 VC ? ADE ? S△ADE ? CD ? ? 3 3 2 (Ⅱ) 因为 CD ? 平面 ADE , AE ? 平面 ADE , 所以 CD ? AE . 又因为 AE ? DE , CD DE ? D , 所以 AE ? 平面 CDE . 又因为 AE ? 平面 ACE , 所以平面 ACE ? 平面 CDE .

? bn .

(Ⅲ) 结论:在线段 DE 上存在一点 F ,且 设 F 为线段 DE 上一点,且

EF 1 ? ,使 AF∥面 BCE . ED 3

EF 1 ? , ED 3

1 过点 F 作 FM ∥ CD 交 CE 于 M ,则 FM ? CD . 3 因为 CD ? 面 ADE , AB ? 面 ADE ,

所以 CD∥AB . 又因为 CD ? 3 AB 所以 MF ? AB , FM∥AB , 所以四边形 ABMF 是平行四边形, 则 AF∥BM , 又因为 AF ? 面 BCE , BM ? 面 BCE . 所以 AF∥面 BCE .
11

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ) 根据茎叶科,
10 ? 10 ? 14 ? 18 ? 22 ? 25 ? 27 ? 30 ? 41 ? 43 ? 24 , 10 由茎叶图,知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为 5 . (Ⅱ) 记事件 A 为“ a ? b ”, 因为乙组数据的平均数为 26.7 ,

得甲组数据的平均数为

所以

10 ? 18 ? 20 ? 22 ? 23 ? 31 ? 32 ? (30 ? a) ? (30 ? b) ? 43 ? 26.7 , 10

解得 a ? b ? 8 . 所以 a 和 b 取值共有 9 种情况,它们是: (0,8) , (1,7) , (2, 6) , (3,5) , (4, 4) , (5,3) , (6, 2) , (7,1) , (8,0) . 其中 a ? b 有 4 种情况,它们是: (5,3) , (6, 2) , (7,1) , (8,0) .
4 . 9 (Ⅲ)当 b ? 0 时, s 2 达到最小值. 19. (本小题满分 14 分)

所以 a ? b 的概率 P( A) ?

(Ⅰ) 设 c ? a2 ? b2 , 由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,且
c 6 ? , a 3

解得 a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 . 所以椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3
x2 y2 ? ?1, a2 4 ? a2

(Ⅱ) 由题意,得 a 2 ? b2 ? 4 ,所以椭圆 E 的方程为

则 F1 (?c,0) , F2 (c,0) , c ? a2 ? b2 ? 2a2 ? 4 .设 P( x0 , y0 ) , 由题意,知 x0 ? c ,则直线 F1 P 的斜率 k F1P ?
y0 , x0 ? c
12

y0 , x0 ? c

直线 F2 P 的斜率 k F2 P ?

所以直线 F2 P 的方程为 y ?

y0 ( x ? c) , x0 ? c

当 x ? 0 时, y ?

? y0 c ? y0 c ), ,即点 Q (0, x0 ? c x0 ? c y0 , c ? x0

所以直线 F1Q 的斜率为 k F1Q ?

因为以 PQ 为直径的圆经过点 F1 , 所以 PF1 ? FQ . 1 所以 k F1P ? k F1Q ?
y0 y ? 0 ? ?1 , x0 ? c c ? x0

2 2 ? x0 ? (2a2 ? 4) , ① 化简,得 y0

又因为 P 为椭圆 E 上一点,且在第一象限内,
x0 2 y2 ? 0 2 ? 1 , x0 ? 0 , y0 ? 0 , ② 2 a 4?a 由①②,解得

所以

x0 ?

1 2 a2 , y0 ? 2 ? a , 2 2

所以 x0 ? y0 ? 2 即点 P 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上. 20. (本小题满分 13 分)
1? x f ( x) ? 1 a ? ? 1 , (Ⅰ) 当 时,函数 1 ? x2 4 4

求导,得

f ? ( x) ?

? x 2 ? 2 x ? 4 ?( x ? 1)2 ? 3 ? , 1 1 4(1 ? x 2 )2 4(1 ? x 2 )2 4 4

4 因为 f (1) ? 0 , f ? (1) ? ? , 3 f ( x ) 所以函数 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .

(Ⅱ) 当 a ? 0 时, f ( x) ? 求导,得 f ? ( x) ?

1? x 的定义域为 R . 1 ? ax2

ax 2 ? 2ax ? 1 , (1 ? ax 2 ) 2 1 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 1 ? ? 1 a a
13

令 f ? ( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1 ? 1 ?

当 x 变化时, f ? ( x) 与 f ( x) 的变化情况如下表:

所以函数 f ( x) 在 (??, x1 ) , ( x2 , ??) ,上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减. 又因为 f (1) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 当 x ? 1 时, f ( x) ?
1? x ? 0, 1 ? ax2 1? x ? 0; 1 ? ax2

所以当 x ? 1 时, 0 ? f ( x) ? f ( x1 ) ; 当 x ? 1 时, f ( x2 ) ? f ( x) ? 0 . 记 M ? max ? f ( x1 ) , f ( x2 ) ? ,其中 max ? f ( x1 ) , f ( x2 ) ? 为两数 f ( x1 ) , f ( x2 ) 中最大的数, 综上,当 a ? 0 时,存在实数 m ? [M , ??) ,使得对任意的实数 x ,不等式 ?m ? f ( x) ? m 恒成立.
1 (Ⅲ) 当 a ? ? 与 a ? 2 时,不存在实数 k ,使得关于实数 x 的方程 f ( x) ? k ( x ? a) 仅有负实数解. 2

14

北京市西城区 2014—2015 学年度第二学期高三综合练习 数学(理科)选填解析
1. 【答案】B 【解析】 A ? ?x x ? 1? , B ? ?x x ? 3? ,所以 A B ? ?1,3? . 故答案为 B. 2. 【答案】D 【解析】 a ? b ? ?1,4? ,且 a ? b // c ,所以有 故答案为 D. 3. 【答案】D 【解析】由题意得命题 p 为真,命题 q :函数 f ? x ? ? cos 2 x 为偶函数,命题 q 为假命题,则 ?q 为真命 题,从而 p ? ? ?q ? 为真命题. 故答案为 D. 4. 【答案】A 【解析】当 n ? 1 时, 经过判断得 n ? 3 ? s ? 1 ,所以输出 s ? 1 ,当 n ? 2 时,经过判断得 n ? 9 ? s ? 2 , 所以输出 s ? 2 ,当 n ? 3 时,经过判断得 s ? 1 ,所以输出 s ? 1 ,综上输出的 s 满足的集合为 ?1, 2? . 故答案为 A. 5. 【答案】C 【解析】若以 C 图作为俯视图,那么在主视图中的虚线应为实线. 故答案为 C. 6. 【答案】B 【解析】设平均费用为 y ,则 y ? 到最小值. 故答案为 B.

?

?

4 k ? ? k ? ?8 . 1 ?2

64 4x2 ? 64 64 ? 4x ? ? 2 4 ? 64 ? 32 ,当且仅当 4 x ? ,即 x ? 4 时取 x x x

15

7.

【答案】A
x2 y2 1 ? ?1 【解析】如果曲线 mx2 ? (m ? 2) y 2 ? 1 为双曲线,只要保证曲线变形后的 1 其中系数 与 1 m m m?2

1 同号即可,即 m ? m ? 2? ? 0 ,所以 m ? 2 或 m ? 0 . m?2

故答案为 A. 8. 【答案】C 【解析】对角线 AC1 上的动点 P 到底面 ABCD 上的 Q 点的最小值为点 P 在底面 ABCD 上的投影, 即直 线 AC 上, 点 ?AB1C1 沿着线 AC1 旋转, 使得 ACC1 B1 在一个平面上, 得到平面 ACC1 B11 , 此时 B11 到 AC
? B11Q ? 的距离即为所求 B1 P ? PQ 的最小值, AC ? 3, AC1 ? 2, CC1 ? 1,??B11 AC ? 60 , AB11 ? 3 , 3 . 2

故答案为 C.

9.

【答案】 1 ? 3i 【解析】
10i ? 3 ? i ? 10i ? 3 ? i ? 10i ? ? ? 1 ? 3i . 3 ? i ? 3 ? i ?? 3 ? i ? 10

故答案为 1 ? 3i .

10. 【答案】 x ? ?1 , ? x ? 1? ? y 2 ? 4
2 2 【解析】准线方程为 x ? ?1 ,焦点坐标 ?1,0 ? ,半径 r ? 2 ,所以圆的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 .

故答案为 x ? ?1 , ? x ? 1? ? y 2 ? 4 .
2

16

5 11. 【答案】 ? , ? ?3, ??? 2
1 ?1? 1 5 【解析】 f ? 2 ? ? , f ? ? ? ? ? 2 ? ? . x ? 1 时, f ? x ? ? ? 0,1? , x ? 1 时, f ? x ? ? ? ?3, ?? ? ,所以函 2 ? 2? 2 2

数 f ( x) 的值域是 ? ?3, ??? .

5 故答案为 ? , ? ?3, ??? . 2
π 3 3 , 3 2

12. 【答案】

【解析】由余弦定理得 cos A ?

π b2 ? c 2 ? a 2 9 ? 4 ? 7 1 3 ? ? ,所以 ?A ? ; sin A ? 2 3 2bc 2 ? 3? 2 2

1 1 3 3 3 S ? bc sin A ? ? 3 ? 2 ? ? . 2 2 2 2

故答案为

π 3 3 , . 3 2

13. 【答案】 2

5 5 5 y? 所 【解析】 画出可行域如下图所示, 由题意知当目标函数取得最大值 时, ? x ? my , 即 x ??m 3 3 3
5 ?5 ? ?1 2? 以直线横过定点 ? ,0 ? ,目标函数在 A 处取得最大值, A ? , ? 带入 x ? ?my ? ,即 m ? 2 . ?3 ? ?3 3? 3
故答案为 2 .

14. 【答案】①② 【 解 析 】 ① 如 图 , 当 ?AOP ?
3 ?π? 1 ?f ? ?? ? 3? 正确; 3 2 2 ? ?
?π ? ②由于对称性 f ? ? x ? ? ?2 ? ?π ? f ? ? x ? 恰好是正方形的面积,所以 ?2 ? ?π ? ?π ? f ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 4 正确; ?2 ? ?2 ?

π 时 , OP 与 AM 相 交 于 点 M , 因 为 AO ? 1 , 则 AM ? 3 , 3

17

③显然 f ? x ? 是增函数,所以 故答案为①②.

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

? 0 ,错误.

18


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