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2019年高中数学北师大版必修五达标练习:第2章 章末复习提升课 巩固提升训练 含解析

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1.在△ABC 中,a=2 A.30° C.60°或 120° 3,b=2 2,B=45°,则 A 等于( ) B.60° D.30°或 150° asin B 3 解析:选 C.由正弦定理得:sin A= = , b 2 因为 a>b,所以 A=60° 或 A=120°,故选 C. 2.在△ABC 中,若 lg sin A-lg sin C=lg sin B=-lg 则△ABC 的形状是( A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析:选 C.由 lg sin A-lg sin C=lg sin B=-lg 2可得 lg sin A sin C =lg sin B ) ? π? ? ? 2,且 B∈?0, ?, 2? ? =lg ? π? 2 a 2 π ? ? ,所以 = =sin B,又 B∈?0, ?,所以 B= ,c= 2? 2 c 2 4 ? 2a× 2a.由余弦定 理可知 b2=a2+2a2-2a× 角三角形. 2 ,整理可得 b=a,因此△ABC 为等腰直 2 3.为维护国家主权和领土完整,我海监船 310 号奉命赶赴钓鱼岛海域执法 巡航.当我船航行到 A 处时测得钓鱼岛在我船北偏东 45°方向上,我船沿正东方 向继续航行 20 海里到达 B 处后,又测得钓鱼岛在我船北偏东 15°方向上,则此 时 B 处到钓鱼岛的距离为( A.20 海里 C.20 2 海里 ) B.10 海里 D.20 3 海里 解析:选 C.设钓鱼岛在 C 处,则在△ABC 中,AB=20,∠BAC=45°,∠ ABC=105°, 所以∠ACB=30°, 由正弦定理得: BC= 20 2,故选 C. sin 2A 4.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =________. sin C 解析:由正弦定理得 a = , sin C c sin A ABsin∠CAB 20sin 45° = = sin∠ACB sin 30° b2+c2-a2 由余弦定理得 cos A= , 2bc 因为 a=4, b =5 , c=6, 所以 52+62-42 × =1. 2×5×6 答案:1 5.如图,l1,l2,l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 3,正三角形 ABC 的三个顶 点分别在 l1,l2,l3 上,则正三角形的边长是________. 解析:如图,过点 C 作 l1 的垂线,交直线 l1 于点 H,交直 sin 2A 2sin Acos A sin A 4 = =2· ·cos A=2× sin C sin C sin C 6 线 l2 于点 M.设∠ACH=θ,则∠BCH=60°-θ. 在 Rt△ACH 中,CH=4, 故 AC= 4 = ; cos∠ACH cos θ CH 在 Rt△BCM 中,CM=3, 故 BC= 4 3 = . cos∠BCM cos(60°-θ) CM 所以 3 = , cos θ cos(60°-θ) 1 3 cos θ. 解得 sin θ= 2 又 sin2θ+cos2θ=1,代入求得 cos θ= 4 2 39 . 3 12 , 13 故 AC= = 12 13 答案: 2 39 3 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c=2,C=60°. (1)求 的值; sin A+sin B a+b (2)若 a+b=ab,求△ABC 的面积 S△ABC. 解:(1)由正弦定理可设 b c 2 2 4 3 = = = = = ,所以 a sin A sin B sin C sin 60° 3 3 2 a 4 = 3 3 4 sin A,b= 3 3 sin B, 4 3 3 所以 = sin A+sin B a+b (sin A+sin B) = 4 3 3 sin A+sin B . (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C,即 4=a2+b2-ab=(a+b)2- 3ab,又 a+b=ab,所以(ab)2-3ab-4=0,解得 ab=4 或 ab=-1(舍去),所 1 1 3 以 S△ABC= absin C= ×4× = 2 2 2 3.

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