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高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4 (3)

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1.4.3 正切函数的性质与图象 函数y=tan x的图象和性质 解析式 y=tanx 图象 ? {x | x ? R且x ? k? ? , k ? Z} 2 ___________________________ 定义域 值域 R __ 解析式 周期 奇偶性 y=tanx π ___ 奇函数 _______ ? ? (? ? k?, ? k?)(k ? Z) 2 2 在开区间___________________ 上都是 单调性 增函数 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心.( 2 ) (3)正切曲线有无数条对称轴,其对称轴是 x ? k? ? ? ,k ? Z. ( ) 提示:(1)错误. 正切函数的定义域为 (k? ? ? , k? ? ? ),k ? Z. 2 2 值域为R. (2)正确.点 ( k? ,0)(k ? Z) 是其对称中心. 2 (3)错误.正切曲线没有对称轴. 答案:(1)× (2)√ (3)× 【知识点拨】 1.正切函数性质的拓展 (1)对称性:正切函数图象的对称中心是 ( k? ,0) ? k ? Z ?, 不存在 2 对称轴. (2)单调性:正切函数在每个区间 (? ? ? k?, ? ? k?)(k ? Z) 内是单 2 2 调增加的,但不能说其在定义域内是增加的 . (3)渐近线:直线 x ? ? ? k?(k ? Z) 称为正切曲线的渐近线,渐 2 近线把正切曲线分成无数个不连续的部分 .正切曲线在渐近线 右侧向下无限接近渐近线,在渐近线左侧向上无限接近渐近 线. 2.“三点两线法”作正切曲线的简图 ? ? (1)“三点”分别为 ? k?,0 ?, 其中k∈Z; (k? ? ,1), (k? ? , ?1), 4 4 两线为直线 x ? k? ? ? 和直线 x ? k? ? ? ,其中k∈Z.(两线也 2 2 称为正切曲线的渐近线,即无限接近但不相交). (2)作简图时,只需先作出一个周期中的两条渐近线,然后描 出三个点,用光滑的曲线连接得一条曲线,最后平行移动至 各个周期内即可. 类型 一 正切函数的定义域、值域问题 【典型例题】 1.函数y=tan(sin x)的定义域为______,值域为______. 2.函数y=tan2x-2tan x+3的最小值为______. 3.求函数 y ? tan(2x ? ? ) 的定义域. 4 【解题探究】1.解三角不等式的两种常用方法是什么? 2.如何求形如y=Atan2x+Btan x+C的函数最值? 3.求与正切函数有关的定义域时应注意什么问题? 探究提示: 1.求解三角不等式,一种是利用三角函数线,另一种是利用三 角函数图象,先在一个周期内找到满足不等式的解 ,再根据周 期性加上周期的整数倍即可得完整解集,同时要注意定义域对 解集的限制. 2.一般是转化为二次函数配方后求最值. 3.除了按求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数有 意义. 【解析】1.因为sin x∈[-1,1],所以y=tan(sin x)的定义 域为R,值域为[tan(-1),tan 1]. 答案:R [tan(-1),tan 1] 2.y=(tan x-1)2+2,由于tan x∈R,所以当tan x=1时,函数 取最小值2. 答案:2 3 1 3.由 2x ? ? ? ? ? k?, k

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