nbhkdz.com冰点文库

向量法解立体几何中的探索性问题

时间:2010-07-21


空间向量法解立体几 何中的探索性问题
数 学 组 孙 靓

1、如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中,∠ABC=600,PA⊥面ABCD,PA=AC=a, PB=PD= 2a ,点E在PD上,且PE:ED=2:1,在棱PC 上是否存在一点F,使BF//平面AEC?证明你的 结论。
P E A F C D

B

解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz。
? 3 a ? ? 3 a ? 则A ? 0, 0 ?,C ? 0, 0? 0,a 0? ? 2 a, ,?,D ? 0,a,0 ?,P ? 0, ?,B ? 2 a,- 2 ,? ? 2 ? ? ? ? ? P、E、D三点共线,且E为距D点的三等分点, ? ? ? 2 1 ? ??? ? 2 1 ? ??? ? 3 1 1 ? ? E ? 0, a, a ? ? AE ? ? 0, a, a ?, ? ? CE ? a, a, a ? ? ? 3 3 ? ? 3 3 ? ? 2 6 3 ? ???? ???? ??? ? 3 ? ? a 又P、F、C共线, AF ? ? AC ? ?1 ? ? ? AP ? ? ? ? ? 2 a?, ?,a-a? ? 2 ? ? ??? ? 3 ? ? P a ? BF ? ? ? 2 a ? ? ? 1?, ? ? ? 1?,a-a? ? ? E 2 ? ? ? A 设平面AEC的法向量为n ? ? x,y,z ? F D

B

C

? BF ? n ? ? a ? ? ? 1? ? ? ? ? 1? ? 2 ? a ? a? ? ? 0 2 2 ? ? 1 ??? 1 ???? 1 ??? ? ? ? ? AF ? AC ? AP ? F为PC中点。 2 2 2

1 ?2 P ay ? az ? 0 ?3 ? ? ? 3 3 ? ? n ? ?? ? ? 3 ,1, ?2 ? ? 3 1 1 ? ? A ?? ax ? ay ? az ? 0 ? 2 6 3 ? B ??? ? ? 1 a

E F C D

小结:若用传统的几何证明的方法求这类探索性 问题,需要猜测、寻找适合条件的点,然后证明, 思维上造成困难。而用空间向量只要设出变 量 ? ,就可利用向量运算解决很久以来的学生 的难点和困惑。

2、如图,已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4 的正方形,S在底面上的射影O 落在正方形 ABCD内,且O 到AB、AD的距离分别为2,1 (1)求证:AB· SC是定值
S

(2)已知P是SC的中点,且 SO=3,问在棱SA上是否存在 一点Q,使异面直线OP与BQ所 成角为900?若不存在,说明 理由,若存在,求出AQ的长。
A

Q D O

P C

B

(1)证明:在△SDC内,作SE⊥CD交CD于E, 连接OE,因为SO⊥平面ABCD, 所以SO⊥CD
S

CD⊥平面SOE,CD ⊥OE,

Q

P

所以OE//AD,所以DE=1,CE=3
D

E
O

C

AB· SC=12
A

B

(2)以O为坐标原点,以平行于AD的直线为x 轴,平行于AB的直线为y 轴, OS为z轴,建立 如图所示的空间直角坐标系O-xyz。

则A(2,-1,0)B(2,3,0)C(-2,3,0), S(0,0,3),P(-1,3/2,3/2) 设Q(x,y,z),则存在t,使AQ=tAS
S Q

(X-2,Y+1,Z)=t(-2,1,3)
P

得:P(-2t+2,t-1,3t)
C

D
O

OP· BQ=8t-6=0
t=3/4,Q(1/2,-1/4,9/4)

A

B

│AQ│=3/4|AS|=3√14/4

3、如图,在正四棱柱ABCD-A’B’C’D’中,P是 侧棱AA’上任意一点, (1)不论P在侧棱上任何位置,是否总有 BD⊥CP?说明你的理由;

(2)若CC’=AB,是否存在
这样的点P,使得异面直线 CP与AB所成的角比异面直 线AC与B’P所成的角大?并

D’

C’ B’

A’ P A

D
B

C

说明理由。

解:建立空间直角坐标 系,A(0,0,0),P(O,O,Z),B(1,0,0),D(0,1,0) PC=(1,1,-z),BD=(-1,1,0),PC· BD=0
??? ??? ? ? cos ?1 ? cos ? PC , AB ? ? ???? ???? cos ? 2 ? cos ? AC , PB1 ? ?
2

1 z2 ? 2 1 2 ?1 ? z ? ? 2
2

cos ?1 ? cos ? 2 ? z ? 2 ? 2 ?1 ? z ? ? 2
2

? 2? 2 ? z ?1

(3)若CC’=2AB,则当点P在 侧棱AA’上何处时,CP在平面 B’AC上的射影是∠ B’ CA的 A’ 平分线?
???? ??? ? cos ? CB1 , CP ?? ??? ??? ? ? cos ? CA, CP ?? 1? 2z 5? z ?2 2
2

D’ B’

C’

P
A

D
B

C

2 ? z2 ? 2

10 ? 1 ? ?z? 2 5 ? z2 ? 2 2 ? z2 ? 2 2

1? 2z

4、如图,直三棱柱ABC-A’B’C’ 中,C’C=CB=CA=2,AC⊥CB,D、E分别为棱C’C、B’C’ 的中点,(1)求点B到平面A’C’CA的距离;(2) 求二面角B-A’D-A的大小;(3)在线段AC上是 否存在一点F,使得EF⊥平面A’BD?若存在,确 定其位置并证明结论;若不存在,说明理由。
A’ C’ D F A C B B’

E

5、如图,在长方体ABCD-A’B’C’D’中,AA’=AD=1,AB>1, 点E为棱AB上的动点,有一只小蚂蚁从点A沿长方体 表面爬到点C’,所爬的最短路程为2 2 , (1)求AB的长度;
D’ C’

(2)在线段AB上是否存在 点E,使得二面角D’-EC-D的 D 大小为450?若存在,确定E 点位置;若不存在,请说明 A 理由。

A’

B’
C
E

B

6、如图所示,四棱锥S-ABCD的底 面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且 SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于 B、C的一点P,使得PS⊥PD,(1) 求a的最大值;(2)当a取得最大 值时,求异面直线AP与SD所成角的 大小;(3)当a取得最大值时,求 平面SCD的一个单位法向量n0及点P 到平面SCD的距离。 a=1

S

A

D

10 arccos 5

5 5

B

P

C

7.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A’B’C’D’ 中,P是侧棱CC’上的一点,CP=m。(Ⅰ)试 确定m,使直线AP与平面BDD’B’所成角的正切 值为 3 2 ;(Ⅱ)在线段A’C’上是否存在一 个定点Q,使得对任意的m,D’Q在平面APD’上 的射影垂直于AP,并证明你的结论。
D’ C’

A’

B’

D
A B

C


立体几何中的探索性问题_图文.doc

立体几何中的探索性问题 - 立体几何中的探索性问题 立体几何中的探索性问题主要是

向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题_图文.ppt

向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题 - 空间向量法解立体几 何中的探索性问题 1、如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中,∠ABC=600,PA⊥面ABCD,PA=AC...

运用向量法求解立体几何探索性问题.doc

运用向量法求解立体几何探索性问题_数学_高中教育_教育专区。运用向量法求解立体几何探索性问题立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型. 向量作为一...

用向量法解决立体几何中的探索性问题_图文.doc

向量法解决立体几何中的探索性问题 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 用向量法解决立体几何中的探索性问题 作者:付冬雪 来源:《黑龙江教育 中学》...

向量法解立体几何中的探索性问题_图文.ppt

向量法解立体几何中的探索性问题 - 空间向量法解立体几 何中的探索性问题 数学组

向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题_图文.ppt

向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题 - 空间向量法解立体几 解决立体几何中

2015高考立体几何突破之 探索性问题的向量解法.doc

2015高考立体几何突破之 探究性试题的求解策略 2015高考立体几何突破之 探索性问题向量解法 立体几何中探索性问题向量解法一、存在判断型例一:已知空间三点 A(...

第九讲-立体几何中探索性问题的向量解法.doc

第九讲-立体几何中探索性问题向量解法 - 立体几何在高考中所占的分值为22-27分,属于中等难度的题目,新课改后,高考加大了向量方法在立体几何中应用的考察,这...

立体几何如何用向量方法解决探索性问题.doc

立体几何如何用向量方法解决探索性问题 - 立体几何如何用向量方法解决探索性问题 例 11 .如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, C1 D A C ? 3...

立体几何中探索性问题的向量解法.doc

对于这类问题一般可 用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法解决。立体几何引入空间向量后, 数学二轮复习立体几何中探索性问题的向量解法高考中立体几何试题...

立体几何中的探索性问题专题训练.doc

立体几何中的探索性问题专题训练 - (五)立体几何中的探索性问题 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问 题的探究....

立体几何中的探索性问题-_图文.doc

立体几何中的探索性问题- - 陈先槟 立体几何中的探索性问题 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题的探究.这类...

向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题_图文.ppt

向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题 - 空间向量法解立体几 何中的探索性问题 数学组孙靓 1、如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中,∠ABC=600,PA⊥面...

【教学建议】运用向量法求解立体几何探索性问题 3.doc

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 运用向量法求解立体几何探索性问题立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型. 向量作为一种工具, 在 解决立体几何...

高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳.doc

高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳 - 用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1).平面α ,β的法向量 ...

专题3.1 以立体几何中探索性问题为背景的解答题-2016年....doc

专题三 第一关 压轴解答题 以立体几何中探索性问题为背景的解答题 【名师综述】利用空间向量解决探索性问题 立体几何中的探索性问题立意新颖,形式多样,近年来在...

立体几何的探索性问题解题策略例说_图文.pdf

立体几何的探索性问题解题策略例说_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 得得...例说立体几何解题中转化... 暂无评价 4页 免费 立体几何探索性问题的......

立体几何中几类典型问题的向量解法.doc

立体几何中几类典型问题的向量解法空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几 何的探索性试题提供了简便、快速的解法。它的...

向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题_图文.ppt

向量法解立体几何中的探索性问题与翻折问题 - 空间向量法解立体几 何中的探索性问题 1、如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 如图,在底面是菱形的四棱锥P ,PA...

2018年高中数学黄金100题系列第68题立体几何中的探索性问题理_....doc

2018年高中数学黄金100题系列第68题立体几何中的探索性问题理 - 第 68 题 I.题源探究黄金母题 立体几何中的探索性问题 ? 的值,即可出 【例 1】 ...