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福建省厦门六中—高二数学下学期期中考试(文)试题

时间:

厦门六中 2008-2009 学年下学期高二期中考试

数学试卷(文科)
命题人:杜幼兰 命题时间:2009/4/3
0.010 0.005 0.001

P(K ? k0 )
2

0.15

0.10

0.05

0.025

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

注意事项: 本试卷分第 I 卷 (选 择题)和第 II 卷(非选 择题)两部分,共 150 分。

考试时间 120 分钟. 附:独立性检验临界值表

(a ? b ? c ? d )(ad ? bc) 2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,选择 一个符合题目要求的选项.请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑. 1
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若函数 f ( x) ? A. (??,0)

a 在 (0,??) 上为增函数,则 a 的取值范围是 x
B. (0,??) C.R D. [ ?1,1]

2

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· 2007·

若 x, y 是实数,满足 (1 ? i) x ? (1 ? i) y ? 2 ,则 xy 的值是 A.-3 B. -2 C. 1 D. 2
2

3.用三段论推理命题:“任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a >0”,你认为这个推 理 A.大前题错误 B.小前题错误 4
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C.推理形式错误
2

D.是正确的

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一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t , 其中 s 的单位是米,t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒 末的瞬时速度是 A
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8 米/秒

B

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7 米/ 秒

C

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6 米/秒

D

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5 米/秒
D.至少有两个解

5.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是 A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解

6.若条件 p : x ? 1 ? 4 ,条件 q : x 2 ? 5x ? 6 ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B .必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

7. 已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则 A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

8. f ( x) 是定义在[-6,6]上的偶函数,且 f (3) ? f (1) ,则下列各式一定成立的 A. f (0) ? f (6) B. f (3) ? f (2) C. f (?1) ? f (3) D. f (2) ? f (0)

?0( x为有理数) 9.设 f (x)= ? ,则 f [f (x)]的值为 ?1( x为无理数)
A.0 B. 1 C. 0 或 1 D. 与 x 有关

开始 S=0 T=1 输入 X X≤20 是 T=T+1 T≤10000 否 输出 S 结束 否 S=S+1

10. 函数 y ? lg x ?

9 的零点所在的大致区间是 x
D. (9,10)

A. (6,7) B. (7,8) C. (8,9)

11、我市某机构为调查 2008 年下半年落实中学生“阳光 体育”活动的情况,设平均每人每天参加体育锻炼时间为

X (单位:分钟) ,按锻炼时间分下列四种情况统计:
① 0~10 分钟;②11~20 分钟; ③21~30 分钟;④30 分钟以上, 有 10000 名中学生参加了此项活动,右图是此次调查中 某一项的流程图,其输出的结果是 6200,则平均每天参 加体育锻炼时间在 0~20 分钟内的学生的频率是 A、0.62 B、0.38 C、6200 D、3800 是

2 12.函数 f ( x) ? ax ? 3ax ? 1 ,若 f ( x) > f '( x) 对一切 x

恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.a<

4 13

B.a ? 0

C.0<a<

4 13

D.0 ? a<

4 13

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.在研究身高和体重的关系时,求得相关指数 R ?
2

,可以叙述为“身高解释了 64%

的体重变化,而随机误差贡献了剩余的 36%” ,所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得

多。 14. y ? (log2 a) x 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是

1 1 1 9 1 1 1 1 16 ? ? ? 成立; ? 在四边形 ABCD 中, 不等式 ? ? ? A B C ? A B C D 2? 1 1 1 1 1 25 成立,在五边形 ABCDE 中,不等式 ? ? ? ? ? 成立。猜想在 n 边形 A An 1 A2 A B C D E 3?
15.在△ ABC 中, 不等式 中,成立的不等式是 16.已知函数 f ( x) ,满足 f (a ? b ) ? f (a ) ? f (b ),(a, b ?R) 且 f (1) ? 2 ,



f (2) f (3) f (4) f (2009) ? ? ? ??? ? ? f (1) f (2) f (3) f (2008)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知复数 z ? (2 ? i )m ?
2

6m ? 2(1 ? i ) 。当实数 m 取什么值时,复数 z 是 1? i

⑴零;⑵纯虚数;⑶复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。

18. (本小题满分 12 分) 某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查,喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多 的有 18 人,认为作业不多的有 9 人,不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有 8 人,认为作 业不多的有 15 人。 (Ⅰ)根据以上数据建立一个 2*2 的列联表; (Ⅱ)若认为“喜欢玩电脑游戏 与认为作业多有关系”,则出错的概率会是多少?

19. (本小题满分 12 分) 已知

1 ? tan ? ? 1 ,求证: 3sin 2? ? ?4 cos 2? 2 ? tan ?

20. (本小题满分 12 分) 我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的。 某市用水收费方法是:水费 ? 基本费 ? 超额费 ? 损耗费。该市规定: ①若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时,只付基本费 9 元和每户每月的定额损耗费

a 元;
②若每月用水量超过 m 立方米时,除了付基本费和损耗费外,超过部分每立方米付 n 元

的超额费; ③每户每月的损耗费 a 不超过 5 元。 (Ⅰ)写出每户每月水费 y (元)与月用水量 x (立方米)的函数关系式; (Ⅱ)该市一家庭去年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示: 月 一 二 三 份 用水量(立方米) 4 5 水费(元) 17 23 11

2.5

试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量,并求 m 、 n 、 a 的值。 21、 (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) . (Ⅰ)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的实根,求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 的最大值为正数,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分)
3 设 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 为 奇 函 数 , 其 图 象 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 与 直 线

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 .
(Ⅰ)求 a, b , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间, (Ⅲ)并求函数 f ( x ) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值.

厦门六中 2008-2009 学年下学期高二期中考试

数学试卷(文科)参考答案
命题人:杜幼兰 命题时间:2009/4/3 一、选择题: ACADC BCCAD BD 二、填空题: 13. 0.64 14. (1,2) 14.

1 1 ? ? A1 A2

?

1 n2 ? An (n ? 2)?

16. 4016 三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解: z ? (2 ? i)m2 ? 3m(1 ? i) ? 2(1 ? i) = (2m2 ? 3m ? 2) ? (m2 ? 3m ? 2)i = (2m ? 1)(m ? 2) ? (m ? 1)(m ? 2)i -----------3 分 ⑴当 m=2 时,复数 z 是 0;-----------6 分 ⑵ 当 m=-

1 时,复数 z 是纯虚数;-----------9 分 2

⑶ (2m ? 1)(m ? 2) ? (m ?1)(m ? 2) ? 0 ,即 2m(m ? 2) ? 0 所以当 m=0 或 m=2 时,复数 z 是复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数; -----------12 分 18. (本小题满分 12 分) 解:⑴ 认为作业多 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 总数 18 8 26 认为作业不多 9 15 24 总数 27 23 50 ………… 6 分 ⑵假设 H :“喜欢玩电脑游戏与认为作业多没有关系” 先算出 K 的观测值: K2=

50(18 ? 15 ? 8 ? 9) 2 ? 5.059 ,………… 26 ? 24 ? 27 ? 23

8分

P(K2>5.024)=0.025, ………… 10 分 即是 H 成立的概率不超过 0.025 答:认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系”出错的概率是 2.5%……… 12 分 19. (本小题满分 12 分)已知

1 ? tan ? ? 1 ,求证: 3sin 2? ? ?4 cos 2? 2 ? tan ?

(课本 P46 习题 2.2B 组题)

1 ? tan ? 1 ? 1 得: tan ? ? ? 。…………… 4 分 2 ? tan ? 2 1 2 ? ( ? ) 2 tan ? 4 2 所以 tan 2? ? = =? 。 …………… 8 分 2 1 3 1 ? tan ? 1 ? (? )2 2
法一:证明:由

sin 2? 4 ?? cos 2? 3 得 3sin 2? ? ?4cos 2?
即 tan 2? ?

…………… 12 分

cos ? ? sin ? =1 2cos ? ? sin ? 所以 2sin ? ? ? cos ? ,以下同法一
法二:“切化弦”可得

20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)每户每月水费 y (元)与月用水量 x (立方米)的函数关系式为

(0 ? x ? m) ?9 ? a ,-----------3 分 y?? ?9 ? ( x ? m)n ? a ( x ? m)
其中 0 ? a ? 5 ;----------4 分 (Ⅱ)因为 9 ? a ? 14 一、二月份的用水量超过最低限量,-----------5 分 由?

?9 ? (4 ? m)n ? a ? 17 ?9 ? (5 ? m)n ? a ? 23

得 n ? 6 且 a ? 6m ? 16 ①-----------7 分

若三月份的用水量没有超过最低限量, 由 9 ? a =11 得 a=2,代入①式得 m ? 3 -----------9 分 若三月份的用水量超过最低限量, 则由 9 ? 6(2.5 ? m) ? a ? 11,可得 a ? 6m ? 13 与①式矛盾----------11 分 ∴ m ? 3 , n ? 6 , a ? 2 。-----------12 分 21、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) ∴ x ? 1 和 x ? 3 是方程 ax 2 ? (b ? 2) x ? c ? 0(a ? 0) 的两根 -----------1 分

?b ? 2 ? ?4 ? ? a ∴? ?c ? 3 ? ?a
∴ b ? ?4a ? 2, c ? 3a 又方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的实根 ∴ ? ? b 2 ? 4a(c ? 6a) ? 0

-----------2 分

-----------3 分

∴ 4(2a ? 1) 2 ? 4a ? 9a ? 0

∴ (5a ? 1)(1 ? a) ? 0 ------------4 分 ----------5 分 -----------6 分

1 5 1 6 3 ∴ a ? ? ,b ? ? ,c ? ? 5 5 5 1 6 3 ∴ f ( x) ? ? x 2 ? x ? 5 5 5
∴ a ? ? 或 a ? 1 (舍) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ax 2 ? 2(2a ? 1) x ? 3a

? a( x ?

2a ? 1 (2a ? 1) 2 )? ? 3a a a ? a 2 ? 4a ? 1 ? a

-----------8 分

∵a ? 0 ,

? a 2 ? 4a ? 1 a ∵ f ( x) 的最大值为正数
∴ f ( x) 的最大值为

?a ? 0 ? ∴ ? ? a 2 ? 4a ? 1 ?0 ? a ?

?a ? 0 ∴? 2 解得 a ? ?2 ? 3 或 ? 2 ? 3 ? a ? 0 ?a ? 4a ? 1 ? 0
∴所求实数 a 的取值范围是 (??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0)

-----------11 分

-----------12 分

22.解: ⑴∵ f ( x ) 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) 即 ?ax ? bx ? c ? ?ax ? bx ? c
3 3

∴c ? 0 ∵ f '( x) ? 3ax ? b 的最小值为 ?12 ,
2

----------------------1 分

? a ? 0, b ? ?12.
又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为 因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 .

-----------3 分

1 6
------------4 分 -------------6 分

⑵ f ( x) ? 2 x3 ?12 x .

f ' (x ? )

2

6 x?

1?2 x6 ?(
2

x2 ?, )(

2 )
------------- 7 分

令 f '( x) =0,得 x ? ? 当x?

2 或 x ? ? 2 时 f '( x) >0;当 ? 2 < x ? 2 时, f '( x) <0----------- 8 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) 单调递减区间为 (? 2, 2) ------------- 10 分 ⑶由⑵知极大值是 f ( 2) ? ?8 2 ,极小值是 f ( 2) ? ?8 2 . 又∵ f (?1) ? 10 , f (3) ? 18 -----------12 分 ∴ f ( x ) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 .---------14 分


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