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《2.4.1抛物线及其标准方程》新课程高中数学优质课比赛教学设计

时间:2015-10-21


课题:2.4.1 授课者: 【教学目标及要求】: 1.三维目标:

抛物线及其标准方程
时间: 学生活动

(1).使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程. (2).要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高分 析、对比、概括、转化等方面的能力. (3).通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义,感受抛 物线的应用和文化价值,体会学习数学的乐趣和数学美. 2. 重点:抛物线的定义和标准方程.(解决办法:通过观察实物图 和一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义; 通过一些例题加深对标准方程的认识). 3. 难点:运用坐标法建立抛物线的标准方程. 【教学过程】: 一.新课引入: 学生观察实物图得出图片的共同性。由此引入课题,以投篮运 动的轨迹联系以前所学的二次函数,引出抛物线有哪些几何特征? 二、探究精讲 探究一:
学生观察画 (1)介绍作图规则. (2)动画展示作图过程. 抛物线的过 程,得出结 论 学生观察实 物图

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如图,把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上,一块三角板的 一条直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一 条直角边上的点 A,截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC,并且
通过两个问

把绳子另一端固定在图板上的一点 F; 用一支粉笔扣着绳子, 紧靠着 题的设置,
为学生从画

三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺上下滑

法中发现抛

动,这样粉笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后, 物线的几何 请同学们思考抛物线有怎样的几何特征,并归纳抛物线的定义,教 师总结.
(3)分析作图过程 提出问题:在作图过程中,直尺,三角板,笔尖,点 F 中,哪些没有动?哪些 动了? 问题 1:笔尖所对应的点 (4)结论 动点 满足的几何关系是:动点 到定点 F 的距离等于它到直尺的距离. 满足的几何关系是什么? 加深学生对 抛物线定义 中的条件 “ 不过 理解 这是教材的 第一个思考 交流,目的 是对抛物线 问题 2:你能给抛物线下个定义吗? 2.抛物线的定义
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特征奠定基 础.

”的

定义的应用

定义: 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的 距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上).定点 F 叫做抛物线的 焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线.
问题 3:为什么定点 不能在定直线 上?若点 部分学生在 推导方程时 存在困难, 在直线 上,则轨迹是怎样的? 故给出提 示. 答:为过定点 垂直于直线 的直线.

探究二:
这是第

抛物线的标准方程

二个思考交

设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0).怎样选 流,通过建 择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢? 让学生议论一下,教师启发辅导,
系,让学生 求出各种建 系下的方

小结:取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K, 程,再进行 以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系(图 2-32).
比较,为标 准方程的理

抛物线上的点 M(x,y)到 l 的距离为 d,抛物 线是集合 p={M||MF|=d}.

解奠定基 础.

化简后得:y 2 =2px(p>0).

探究三:
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问题 4:抛物线的标准方程还有哪些形式?其它形式的抛物线的焦点 与准线呢?(学生先独立思考,再小组合作交流). 讨论得出抛物线四种形式,完成下表

这是教 材的第三个 思考交流, 目的是让学 生认识到抛 物线的标准 方程一共有 四种形式, 加深学生对 抛物线标准 方程的理 解. 大部分学生

师:如何看焦点的确定焦点位置? 椭圆:看分母。 双曲线:看符号。 抛物线:看一次项,再看一次项系数定开口。 三.巩固练习 例1

解决问题 4 所用的方法 都是图像变 换

学生根据定

(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 =6x,求它的焦点坐标和准线方程; 义求抛物线
3 3 ? 解:由方程知:p=3;∴焦点坐标是 ? ? ,0 ? ,∴准线方程是 x ? ? . 2 ?2 ?

的标准方程

(2)已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的标准方程; 解:因为抛物线的焦点在 y 轴上的负半轴上,且 所求抛物线的标准方程是 x2 ? ?8 y .
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p ? 2 ,p=4, 所以, 2

练习 1,请

练习 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y =20x (2)y=2x ; (3)2y +5x=0;(4) x +8y=0;
2 2 2 2

四位同学口 答

例 2.一种卫星接收天线的轴截面如图所示(多媒体)。卫星波束呈 感受抛物线 近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点 处。已知接收天线的径口(直径)为 4.8m,深度为 0.5m。建立适当 的广泛应用 的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标。 和文化价 练习 2. 根据下列条件,写出抛物线的标准方程:
值,激发学
1 (1)焦点是 F(3,0)(2)准线方程 是 x = ? (3)焦点到准线的距离是 2. 生学习数学 4 的兴趣

解题感悟: 求抛物线标准方程的步骤: (1) 确定抛物线的形式 (2 ) 求 p 值 (3) 写抛物线方程 注意:焦点或开口方向不定,则要注意分类讨论 四.课堂小结
问题 5:这节课你学到了什么?请谈谈你的收获. 培养学生梳 理知识点, 总结知识内

小结: 1、抛物线的定义; 2、抛物线的标准方程与其焦点、准线; 3、抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方法; 4、注重数形结合的思想; 5、注重分类讨论的思想。
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容,建构知 识体系的能 力

五.课后思考
已知抛物线方程为 y ? ax2 (a≠0),讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和 准线方程?

六.布置作业 课本 73 页,A 组第 1 题,第 2 题。

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