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2016届高考数学一轮复习 2.11函数模型及其应用练习 理

时间:2015-10-27


第十一节
题号 答案 1 2

函数模型及其应用
3 4 5

1.若一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的高度 h(单位:cm)与燃 烧时间 t(单位:小时)的函数关系用图象表示为( )

解析:根据题意得解析式为 h=20-5t(0≤t≤4),其图象为 B. 答案:B 2.某产品的总成本 y(单位:万元)与产量 x(单位:台)之间的函数关系式是 y=3 000 +20x-0.1x (0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售 收入不小于总成本)的最低产量是( A.100 台 B.120 台 C.150 台 ) D.180 台
2 2

解析: 要使生产者不亏本, 则有 3 000+20x-0.1x ≤25x, 解上式得 x≤-200 或 x≥150. 又∵0<x<240,x∈N, ∴x 的最小值为 150.故选 C. 答案:C 3.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是 a,则这两年内第二年某月 的产值比第一年相应月产值的增长率为( A.a -1
12

)

B.(1+a) -1

12

C.a D.a-1 解析:不妨设第一年 8 月份的产值为 b,则 9 月份的产值为 b(1+a),10 月份的产值为 b(1+a) ,依次类推,到第二年 8 月份是第一年 8 月份后的第 12 个月,即一个时间间隔是 1 个月,这里跨过了 12 个月,故第二年 8 月份产值是 b(1+a) .又由增长率的概念知,这两 b(1+a) -b 12 年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为: =(1+a) -1. b 答案:B 4.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据: x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01
1
12 12 2

现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( ) A.y=2x-2 C.y=log3x 1 2 B.y= (x -1) 2 D.y=2 -2
x

解析:代入数据验证,最接近者为 B. 答案:B 5.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越来越快,后 3 年 年产量保持不变, 则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象正确的是 ( )

解析:依题意,前 3 年年产量增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有 A、C 图象符 合要求,而后 3 年的总产量保持匀速增长,故选 A. 答案:A 6.某物体一天中的温度 T(单位:℃)是时间 t(单位:h)的函数:T(t)=t -3t+60,t =0 表示中午 12:00,其后 t 取正值,则下午 3 时的温度为________. 解析:当 t=3 时,T(3)=3 -3×3+60=78.故应填 78 ℃. 答案:78 ℃ 7.小王每月除去所有日常开支,大约结余 a 元.小王决定采用零存整取的方式把余钱 积蓄起来,每月初存入银行 a 元,存期 1 年(存 12 次),到期取出本金和利息.假设 1 年期 零存整取的月利率为 r,每期存款按单利计息.那么,小王的存款到期利息为________元. 解析:依题意得,小王存款到期利息为 12ar + 11ar + 10ar +…+ 3ar + 2ar + ar = 12×(12+1) ar=78ar(元). 2 答案:78ar 8. (2013·山东名校信息优化卷)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动. 设顶 点 P(x,y)的轨迹方程是 y=f(x) ,则 y=f(x)在其两个相邻零 点间的图象与 x 轴所围成的区域的面积为________. 解析:由于本题是求两个相邻零点间的图象与 x 轴所围成
3 3

2

的区域的面积,所以为了简便,可以直接将 P 点移到原点,开始运动,如图所示,当 P 点第 π ?π ? π 一次回到 x 轴时经过的曲线是三段相连的圆弧, 它与 x 轴围成的区域面积为 +? +1?+ 4 ?2 ? 4 =π +1.

答案:π +1 9. 根据市场调查, 某商品在最近 40 天内的价格 P 与时间 t 的关系用图 1 中的一条折线 表示,销量 Q 与时间 t 的关系用图 2 中的线段表示(t∈N ).
*

(1)分别写出图 1 表示的价格与时间的函数关系 P=f(t),图 2 表示的销售量与时间的 函数关系 Q=g(t); (2)这种商品的销售额 S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间. t ? ? +11,t∈[1,20),t∈N*, 解析:(1)P=f(t)=?2 ? ?-t+41,t∈[20,40],t∈N*. t 43 * Q=g(t)=- + ,t∈[1,40],t∈N . 3 3 (2)当 1≤t<20 时, 1? 21?2 4 225 ?t ?? t 43? S=? +11??- + ?=- ?t- ? + , 2? 6? 24 ?2 ?? 3 3 ? ∵t∈N , ∴t=10 或 11 时,Smax=176. 1 763 ? t 43? 1 2 当 20≤t≤40 时,S=(-t+41)?- + ?= t -28t+ 为减函数, 3 3 3 ? ? 3 当 t=20 时,Smax=161.
*

3

而 161<176, ∴当 t=10 或 11 时,Smax=176. 10. 平安汽车租赁公司拥有汽车 100 辆. 当每辆车的月租金为 3 000 元时, 可全部租出. 当 每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 3 600-3 000 解析:(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,未租出的车辆数为 =12, 50 所以这时租出了 88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x 元,x>3 000, 则租赁公司的月收益为 x-3 000? x-3 000 ? f(x)=?100- ?(x-150)- 50 ×50, 50 ? ? x 1 2 整理得 f(x)=- +162x-21 000=- (x-4 050) +307 050. 50 50 所以当 x=4 050 时,f(x)取最大值,其最大值为 f(4 050)=307 050>300 000. 故当每辆车的月租金定为 4 050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307 050 元.
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