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浙江省金丽衢十二校2015届高三第一次联考数学理试题(WORD版)

时间:2015-01-06


金丽衢十二校 2014-2015 学年第一次联合考试 数学试卷(理科)
命题人:永康一中 审题: 浦江中学 本试卷分第Ⅰ 卷和第Ⅱ 卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生将所有试题 的答案涂、写在答题纸上.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合 A ? x x ? a , B ? x 1 ? x ? 2 ,且 A ? ?C R B ? ? R ,则实数 a 的取值范围 是 A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 2 D. a ? 2

?

?

?

?

2.已知 a, b ? R ,下列命题正确的是 A.若 a ? b , 则

1 1 ? a b
2 2

B.若 a ? b ,则

1 1 ? a b
2 2

C.若 a ? b ,则 a ? b

D.若 a ? b ,则 a ? b

3. 已知 ?an ? 为等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“ ?an ? 为递减数列”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.设 m, n 为空间两条不同的直线, ? , ? 为空间两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ; ②若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; ③若 m // ? , m // n 则 n // ? ; 其中的正确命题序号是 A.③④ B.②④ C.①② D. ①③ ④若 m ? ? , ? // ? ,则 m ? ? .

5. 已知 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,且满足 a1 ? 1 , a2 ? 3 , an? 2 ? 3an ,则 S2014 ? A. 2 ? 3
1007

?2

B. 2 ? 3

1007

C.

32014 ? 1 2

D.

32014 ? 1 2

6. 函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? ) (? ? 的增区间

?
2

) 的图像关于点 (

?
6

, 0) 对称, 则 f ( x)
第1页

金丽衢十二校 2014 学年第一次联考数学卷(理科) 共 4 页

5? ?? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 6 ?3 ? 5? ? ? ? C. ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 12 ? 12 ?
A. ?

B. ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 3 ? 6 ? ? ? 7? ? D. ? ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z 12 ? 12 ?

x 4 ? x ? 3x 4 ? x ? 3 7. 已知 f ?x ? ? ? ? m 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是 2 2

A. ?? ?,3?

B. ?3,???

C. ?0,3?

D. ?3,??? D1 B1 C1

8. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是边长为 a 的正方形,若在侧棱 AA 1 上至少存在一点 E ,使得 ?C1 EB ? 90? ,则侧棱 AA 1 的长的最小值为 A1 A. a B. 2 a
2 2

C. 3a

D. 4 a

E D A (第 8 题图) B C

9.已知 F1 , F2 分别为双曲线

x y ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的左右焦点,如 2 a b

果双曲线右支上存在一点 P ,使得 F2 关于直线 PF 1 的对称点恰在 y 轴 上,则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 A. 1 ? e ?

2 3 3

B. e ?

2 3 3

C. e ?

3

D. 1 ? e ?

3

?5b ? 2(a ? c) 5a ? 8b ? 4c ? 2 ,若 10.设实数 a, b, c 满足 ?b ? ac 的最大值和最小值分别为 M , m ,则 a ? b ?a ? 0 ?
M ? m 的值为
A. 9 B.

32 3

C.

49 3

D. 19

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置.

?x ? y ? 1 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 4 x ? y 的最小值为 ?3x ? y ? 3 ?
12.已知 sin( x ?

.

?
6

)?

? 1 , 则 sin 2 ( ? x) ? 4 3

.

金丽衢十二校 2014 学年第一次联考数学卷(理科) 共 4 页

第2页

13. 设直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 相交于点 P , Q 两点, O 为坐标原 点,且 OP ? OQ ,则实数 a 的值为 .

14.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积为 15.已知 f1 ?x? ? log4 x, f 2 ?x? ? log6 x, f 3 ?x ? ? log9 x, 若 f1 ?n? ? f 2 ?m? ? f 3 ?m ? n? ,则
4 5 正视图

cm3 .
3

m ? n

.

16.已知 ?ABC 是边长为 2 3 的正三角形, EF 为

侧视图

?ABC 的外接圆 O 的一条直径, M 为 ?ABC 的
边上的动点,则 ME ? FM 的最大值为 17. 点 P 为椭圆 . 第 14 题图
俯视图

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 在第一象限的弧上任意一点, 过 P 引 x 轴, y 轴 a2 b2
b x 于 Q, R , 交 y 轴,x 轴于 M , N 两点, 记 ?O M Q 与 ?ONR a
.

的平行线, 分别交直线 y ? ?

2 的面积分别为 S1 , S 2 ,当 ab ? 2 时, S12 ? S 2 的最小值为

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分) (Ⅰ)求 sin A 与 cos A 的值; (Ⅱ)设 b ? ?a ,若 cos C ?

在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 已知△ABC 的面积 S ? a 2 ? ?b ? c? .
2

4 ,求 ? 的值. 5

19.(本题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ,且 ? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)当 n ? 2 时, a n ?1 ?

S 2 S3 S 4 ? Sn ? ? ? ? 12 . ? 是等差数列,已知 a1 ? 1, 2 3 4 ?n?

?
an

? ? ? 140恒成立,求 ? 的取值范围.

20. (本题满分 14 分) 如图, 四边形 ABCD 为菱形,ACFE 为平行四边形, 且面 ACFE ? 面 ABCD , AB ? BD ? 2, AE ? 3 ,设 BD 与 AC 相交于点 G , H 为 FG 的中点. (Ⅰ)证明: CH ? 面 BFD ; (Ⅱ)若 AE 与面 ABCD 所成的角为 60 ? ,求二面角 B ? EF ? D 的平面角余弦值的大小. 金丽衢十二校 2014 学年第一次联考数学卷(理科) 共 4 页 第 3 页

F
Y

C
E H
O
X

D G A 第 20 题图 B

C

B

M A

N

第 21 题图

21.(本题满分 15 分)已知抛物线 ? : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点到准线的距离为 2. (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)如图所示,直线 l1 与抛物线 ? 相交于 A , B 两点,C 为抛物线 ? 上异于 A , B 的一点, 且 AC ? 过 B 作 AC 的垂线, 垂足为 M ,过 C 作直线 l 2 交直线 BM 于点 N ,设 l1 , l 2 的 x 轴,

斜率分别为 k1 , k 2 ,且 k1k 2 ? 1 . (ⅰ)线段 MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; (ⅱ)求证: A, B, C , N 四点共圆. 分 ) 已 知 二 次 函 数 f ?x? ? 2 x ? ax ? b 为 偶 函
2

22.

( 本 题 满 分

15

数, g ? x ? ? ( 且仅有一根

3 ? 1) x ? m ,h?x? ? c?x ? 1?2 ?c ? 2? .关于 x 的方程 f ?x ? ? h?x ? 有

1 . 2 (Ⅰ)求 a, b, c 的值;
(Ⅱ)若对任意的 x ? ?? 1,1? , ( Ⅲ ) 令 ? ?x ? ?

f ?x ? ? g ? x ?恒成立, 求实数 m 的取值范围;

f ?x ? ?

f ?1 ? x? , 若存在 x1 , x 2 ? ?0,1? 使得 ? ?x1 ? ? ? ?x2 ? ? g ?m? , 求实
第4页

数 m 的取值范围. 金丽衢十二校 2014 学年第一次联考数学卷(理科) 共 4 页

金丽衢十二校 2014-2015 学年第一次联合考试 数学试卷(理科)参考答案
一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 B

5 A

6 D

7 C

8 B

9 B

10 D

二、填空题(4×7=28 分) 11. 1 12.

15 16

13. ? 2

14. 20

15.

1? 5 2

16. 3

17.

1 2

三.解答题(72 分)

1 bc sin A ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? ?2bc cos A ? 2bc 2 8 ? sin A ? ? ? 17 2 2 所以 sin A ? 4 cos A ? 4 又因为 sin A ? cos A ? 1 解方程组可得: ? ?cos A ? 15 ? 17 ?
18 解: (Ⅰ)由题意可得: -----------------------------7 分

3 77 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ? 5 85 b sin B 77 ? 所以 ? ? ? .-----------------------------7 分 a sin A 40
(Ⅱ)易得 sin C ? 19. 解: (Ⅰ)由题意可得 3

? an ? S n ? S n?1
(Ⅱ) a n ?1 ? 解法一: 设 bn ?

S3 S S 3 1 3 1 ? 12 ,? 3 ? 4 ,? n ? n ? ? S n ? n 2 ? n 2 2 3 3 n 2 2 ? 3n ? 2 ?n ? 2? 当 n ? 1 时也成立, ? an ? 3n ? 2

?
an

? ? ? 140 ? 3n ? 141 ?

?
3n ? 2

?? ?

?n ? 47 ??3n ? 2? ? ?
n ?1

-----------------------------6 分

-----------------------------10 分

?n ? 47 ??3n ? 2?

n ?1 ?n ? 48 ??3n ? 1? ? ?n ? 47 ??3n ? 2? n 2 ? n ? 16 bn?1 ? bn ? ? 3? n n ?1 n?n ? 1? 当 n ? 5 时, bn?1 ? bn ? 0 ? bn?1 ? bn
金丽衢十二校 2014 学年第一次联考数学卷(理科) 共 4 页 第5页

当 n ? 4 时, bn?1 ? bn ? 0 ? bn?1 ? bn

? bn 的最小值为 b5 ? 169,? ? ? 169 .
-----------------------------14 分 解法二: 设 n ?1 ? t 则

?n ? 47 ??3n ? 2? = 3t ? 48 ? 145 ? 169
n ?1 t

(当 t ? 4 ,即 n ? 5 时取最小值)

? BD ? AC 又? 面 ACFE ? 面 ABCD ? BD ? 面ACFE ? BD ? CH 即 CH ? BD 又? H 为 FG 的中点, CG ? CF ? 3 ? CH ? FG 又? FG ? BD ? G ? CH ? 面 BFD

20.(Ⅰ) 证明:? 四边形 ABCD 为菱形

F
M

E H D G B

C

——————————5 分 (Ⅱ) A 过 G 作 EF 的垂线,垂足为 M ,连接 MB, MG, MD

第 20 题图 易证得 ?EAC 为 AE 与面 ABCD 所成的角, ?EAC = 60 ? ?DMB 为二面角 B ? EF ? D 的平面角 3 13 MG ? , BD ? 2, BG ? 1, BM ? DM ? 2 2 5 所以由余弦定理可得: cos ?DMB ? . 13
21.解: (Ⅰ) p ? 2 ——————————4 分

(Ⅱ)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?,则 C ?x1 ,? y1 ?, M ?x1 , y 2 ? ,直线 l1 的方程为: y ? k1 x ? b 由?

? y ? k1 x ? b
2 ? y ? 4x

消元整理可得: k1 x ? ?2bk1 ? 4?x ? b ? 0
2 2 2
Y

所以

4 ? 2bk1 4 ? ? ? x1 ? x2 ? k 2 ? y1 ? y 2 ? k ? ? 1 1 可求得: ? ? 2 ?x x ? b ? y y ? 4b 1 2 1 2 2 ? ? k1 k1 ? ?
——————6 分 所以可求得

C

O B M A N

X

直 线 l 2 的 方 程 为 : y ? y1 ? k 2 ( x ? x1 )

金丽衢十二校 2014 学年第一次联考数学卷(理科) 共 4 页

第6页

? y1 ? y 2 ? N? ? x1 , y 2 ? ? k ? 2 ? ?
AB 的中点 E ? ?

所以 MN =

y1 ? y2 4 = =4.——————9 分 k2 k1 k 2

? 2 ? bk1 2 ? , ? 2 k1 ? ? k1 ?

则 AB 的中垂线方程为: y ?

2 ? bk1 ? 2 1? ? ?? ? x? ? k1 k1 ? k12 ? ?
? 2k12 ? bk 1 ? 2 ? ,0 ? ? 所以 ?ABC 的外接圆的方程为: k12 ? ?

与 BC 的中垂线 x 轴交点为: o ?? ?
2

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ? x ? ? y ? ( ? x2 ) 2 ? y 2 ——————12 分 2 2 ? ? k1 k1 ? ?
由上可知 N ?x1 ? 4, y 2 ?

2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 ? x1 ? 4 ? ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? ?2 ? 0 k12 k12 k12
? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ?? x ? 4 ? ? y ? ( ? x2 ) 2 ? y 2 2 2 2 ? 1 ? k1 k1 ? ?
所以 A, B, C , N 四点共圆.————————————15 分 解法二:易知 ?ABC 的外接圆圆心 o? 在 x 轴上 作 B 关于 o? 的对称点 B ? ,则 BB ? 为直径,
Y

2

C
B' O B 0'
X

2k12 ? bk1 ? 2 ? B 易知 横坐标为 2 ? ? x2 k12 ? x1 ? x2 ? 4 ?
所以 2 ?

M A

N

2k12 ? bk1 ? 2 ?2 ? 0 k12

2k12 ? bk1 ? 2 ? x2 ? x1 ? 4 k12

所以 ?B ?NB ? 90? 所以 A, B, C , N 四点共圆. 22. 解: (Ⅰ) 由 f ?x ? ? f ?? x ? ? a ? 0
2 由 f ?x ? ? h?x ? 可得: ?c ? 2?x ? 2cx ? c ? b ? 0 代入 x ?

1 9 1 得: b ? c ? 2 4 2
第7页



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? ? 0 ? c 2 ? ?c ? 2??c ? b? ② 2 联立方程①②解得: b ? 1, c ? 3
(Ⅱ) 2 x ? 1 ? ( 3 ? 1) x ? m
2

? a ? 0 , b ? 1, c ?

2 .—————3 分 3

当 x ? 0 时, m ? 1 ————————4 分

2 2 2 当 m ? 1 时, ( 2 x ? 1) ? ( 3 ? 1) x ? 1 ? 2 3 ? 1 x ? 2 3 ? 1 x ?

2 3 ? 1 x ? x ? 1? ? 0

?

?

?

?

2

?

?

?

?

? 2 x 2 ? 1 ? ( 3 ? 1) x ? 1

? m ? 1 ——————————7 分

(Ⅲ)由题意可知 ? ?x1 ? ? ? ?x2 ? max ? 由 a ? 0 , b ? 1, c ?

3m ——————————9 分

2 2 2 易证明 f ? x ? ? ? x ? 1? 在 x ? ?0,1? 上恒成立, 3 3

? 2x2 ? 1 ?

6 ?x ? 1?在 x ? ?0,1?上恒成立; 3

由(Ⅱ)知 2 x 2 ? 1 ? ( 3 ? 1) x ? 1 在 x ? ?0,1? 上恒成立

?

6 ?x ? 1? ? 3

f ?x ? ? ( 3 ? 1) x ? 1 在 x ? ?0,1? 上恒成立. 6 ?1 ? x ? 1? ? 3 f ?1 ? x ? ? ( 3 ? 1)(1 ? x) ? 1

又因为当 x ? ?0,1? 时, 1 ? x ? ?0,1? ?

?

6 ?x ? 1? ? 6 ?1 ? x ? 1? ? ? ?x ? ? ( 3 ? 1) x ? 1 ? ( 3 ? 1)?1 ? x ? ? 1 3 3

即 6 ? ? ?x ? ? 3 ? 1

?? ?

?1? ? 6 , ??0?max ? ??1?max ? 3 ? 1 ? 2 ? min

? ? ?x1 ? ? ? ?x2 ? max ? 3 ? 1 ? 6 ? 3m

? m ? 1?
另解:

3 ? 2 .————————15 分 3

? ( x) ? 2 x 2 ? 1 ? 2(1 ? x) 2 ? 1 ? 2[ x 2 ?

1 1 ? ( x ? 1) 2 ? ] , 2 2
第8页

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设 P( x,0), A(0,

2 2 ), B(1,? ) ,显然 ? ( x) ? 2 ? PA ? PB ? ,由下图易知: 2 2

y A

? PA ? PB ?
? PA ? PB ?
x B

min

? AB ? 3,
? OA ? OB ? 2 6 , ? 2 2

max

O

P

∴ ?( x) min ? 6,?( x) max ? 1 ? 3 ,

? ? ?x1 ? ? ? ?x2 ? max ? 3 ? 1 ? 6 ? 3m ? m ? 1?
3 ? 2. 3

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