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吉林省松原市扶余一中2014-2015学年高一上学期9月月考数学试卷

时间:2016-07-13


2014-2015 学年吉林省松原市扶余一中高一(上)9 月月考数学 试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},M={0,1,2},N={0,1,2,3},则(CUM)∩N=( A. {0,1,2} B. {﹣2,﹣1,3} C. {0,3} D. {3} 2.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是( A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 ) )

3.已知集合 A={﹣1,3,5},若 f:x→2x﹣1 是集合 A 到 B 的映射,则集合 B 可以是( A. {0,2,3} B. {1,2,3} C. {﹣3,5} D. {﹣3,5,9} 4.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A. B. C. D.
2





5.设

,则 a,b,c 的大小关系是(



A. a>b>c B. b>a>c C. b>c>a D. c>b>a

6.已知 lga=2.31,lgb=1.31,则 =( A. B. C. 10 D. 100



7.已知 0<a<1,b<﹣1,则函数 y=a +b 的图象必定不经过( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

x



8.已知 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

,则 f(3)为(



9.f(x)为(﹣∞,+∞)上的减函数,a∈R,则( A. f(a)<f(2a) B. f(a )<f(a) 2 2 C. f(a +1)<f(a) D. f(a +a)<f(a)
2



10.已知 f(x)=x +ax +bx﹣8,且 f(﹣2)=10,那么 f(2)等于(

5

3



A. ﹣26 B. ﹣18 C. ﹣10 D. 10 11.已知函数 f(x)在[﹣5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(﹣3) <f(﹣1) ,则下列不等式一定成立的是( ) A. f(﹣1)<f(3) B. f(2)<f(3) C. f(﹣3)<f(5) D. f(0)>f(1)

12.已知函数

,则函数 y=f(x)的大致图象为(



A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题卡的横线上, 填在试卷上的答案无效) 13.若 2? {x|x﹣a<0},则实数 a 的取值集合是 . 14. 已知 f (x) 满足 f (x) +f (y) =f (xy) , 且f (5) =m, f (7) =n, 即f (175) = 15.若函数 f(2x+1)=x ﹣2x,则 f(3)=
2





16.已知函数 f(x)=

,则 f[f( )]的值是



三、解答题: (共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). 17.计算下列各式的值: (1)lg5lg20+(lg2) ; (2) (log32+log92) ?(log43+log83)+( log33) +ln
2 2

﹣lg1.

18.函数 f(x)在 R 上为奇函数,当 x>0 时,f(x)=
x

,求 f(x)的解析式.

19.已知函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在 x∈[﹣2,2]上恒有 f(x)<2,求实数 a 的取 值范围.

20. 利用单调性定义判断函数 f(x)=x+ 在[1,4]上的单调性并求其最值.

21. “水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源,竟然到了严重制约我国经济发展,严 重影响人民生活的程度.因为缺水,每年给我国工业造成的损失达 2000 亿元,给我国农业

造成的损失达 1500 亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水,某市打算出 台一项水费政策,规定每季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费 1.2 元,若超过 5 吨二不 超过 6 吨时,超过的部分的水费加收 200%,若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水费 加收 400%,如果某人本季度实际用水量为 x(x≤7)吨,试计算本季度他应交的水费 y(单 位:元) . 22.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且对任意 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b) , 且当 x>0 时,f(x)<0 恒成立. 证明: (1)函数 y=f(x)是 R 上的减函数; (2)函数 y=f(x)是奇函数.

2014-2015 学年吉林省松原市扶余一中高一(上)9 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},M={0,1,2},N={0,1,2,3},则(CUM)∩N=( A. {0,1,2} B. {﹣2,﹣1,3} C. {0,3} D. {3} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先求出 CUM,再求(CUM)∩N. 解答: 解:全集 U={﹣2,﹣1,0,1,2,3},M={0,1,2},N={0,1,2,3}, 所以 CUM={﹣2,﹣1,3}, (CUM)∩N={3} 故选 D. 点评: 本题考查集合的简单、基本运算,属于基础题. 2.设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3}的集合 B 的个数是( A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 ) )

考点: 并集及其运算. 分析: 根据题意,分析可得,该问题可转化为求集合 A={1,2}的子集个数问题,再由集合 的元素数目与子集数目的关系可得答案. 解答: 解:A={1,2},A∪B={1,2,3}, 则集合 B 中必含有元素 3,即此题可转化为求集合 A={1,2}的子集个数问题, 所以满足题目条件的集合 B 共有 2 =4 个. 故选择答案 C. 点评: 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想. 3.已知集合 A={﹣1,3,5},若 f:x→2x﹣1 是集合 A 到 B 的映射,则集合 B 可以是( A. {0,2,3} B. {1,2,3} C. {﹣3,5} D. {﹣3,5,9} )
2

考点: 映射. 专题: 计算题. 分析: 先利用应关系 f:x→2x﹣1,根据原像判断像的值,像的值即是集合 B 中元素. 解答: 解:∵对应关系为 f:x→2x﹣1,x∈A={﹣1,3,5}, ∴2x﹣1=﹣3,5,9 共 3 个值, 则集合 B 可以是{﹣3,5,9}. 故选 D. 点评: 本题考查映射的概念,像与原像的定义,集合 A 中所有元素的集合即为集合 B 中元 素集合.

4.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A. B. C. D.

2



考点: 偶函数. 专题: 常规题型. 分析: 依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x) ,且定义域关于原点 对称,a﹣1=﹣2a. 解答: 解:依题意得:f(﹣x)=f(x) ,∴b=0,又 a﹣1=﹣2a,∴a= , ∴a+b= . 故选 B. 点评: 本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x) ;奇函数和偶函 数的定义域必然关于原点对称, 定义域区间 2 个端点互为相反数.

5.设

,则 a,b,c 的大小关系是(



A. a>b>c B. b>a>c C. b>c>a D. c>b>a 考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 证明题. 分析: 先利用指数函数 y=
3

为 R 上的单调减函数,比较 a、b 的大小,再利用幂函

数 y=x 在 R 上为增函数,比较 b、c 的大小,即可得正确选项 解答: 解:考察函数 y= ∵a = ,c =
3 3 3

为 R 上的单调减函数,∴ ,∴a >c ,
3 3

,即 a<b,

=

考察幂函数 y=x 在 R 上为增函数,∴a>c, 综合有 b>a>c 故选 B 点评: 本题主要考查了指数函数、幂函数的图象和性质,利用函数的单调性比较大小的方 法和技巧,属基础题

6.已知 lga=2.31,lgb=1.31,则 =( A. B. C. 10 D. 100



考点: 专题: 分析: 解答:

对数的运算性质. 函数的性质及应用. 利用对数的运算法则求解. 解:∵lga=2.31,lgb=1.31,

∴lga﹣lgb=lg =2.31﹣1.31=1, ∴ =10. 故选:C. 点评: 本题考查对数值的求法,是基础题,解题时要注意对数性质的合理运用. 7.已知 0<a<1,b<﹣1,则函数 y=a +b 的图象必定不经过( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 考点: 指数函数的图像变换. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 先考查 y=a 的图象特征, f (x) =a +b 的图象可看成把 y=a 的图象向下平移﹣b (﹣ x b>1)个单位得到的,即可得到 f(x)=a +b 的图象特征. 解答: 解:∵0<a<1,b<﹣1, ∴y=a 的图象过第一、第二象限,且是单调减函数,经过(0,1) , x x f(x)=a +b 的图象可看成把 y=a 的图象向下平移﹣b(﹣b>1)个单位得到的, x 故函数 f(x)=a +b 的图象 经过第二、第三、第四象限,不经过第一象限, 故选:A. 点评: 本题考查函数图象的变换,指数函数的图象特征,体现了转化的数学思想.
x x x x x



8. 已知 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

,则 f(3)为(



考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的分段函数的函数值,由函数解析式,我们可以先计算 f(5) 、f(7)的 值,然后经过转换,由此可以得到 f(3)值. 解答: 解:由题意得: f(3)=f(5)=f(7) ∵7≥6, ∴f(7)=7﹣5=2. 故选 A. 点评: 分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分 段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各 段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.

9. f(x)为(﹣∞,+∞)上的减函数,a∈R,则(
2 2


2

A. f(a)<f(2a) B. f(a )<f(a) C. f(a +1)<f(a) D. f(a +a)<f (a) 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 先比较题中变量的大小关系,再利用减函数中大自变量对应小函数值,小自变量对 应大函数值来找答案即可. 解答: 解:因为 a∈R,所以 a﹣2a=﹣a 与 0 的大小关系不定,没法比较 f(a)与 f(2a) 的大小,故 A 错 而 a ﹣a=a(a﹣1)与 0 的大小关系也不定,f(a )与 f(a)的大小,故 B 错; 又因为 a +1﹣a=
2 2 2 2

+ >0,

所以 a +1>a.又 f(x)为(﹣∞,+∞)上的减函数, 2 故有 f(a +1)<f(a)故 C 对 D 错. 故选 C. 点评: 本题考查函数单调性的应用.当一个函数是减函数时,大自变量对应小函数值,小 自变量对应大函数值.而当一个函数是增函数时,大自变量对应大函数值,小自变量对应小 函数值. 10. 已知 f(x)=x +ax +bx﹣8,且 f(﹣2)=10,那么 f(2)等于( A. ﹣26 B. ﹣18 C. ﹣10 D. 10 考点: 奇函数. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 函数 f(x)不具备奇偶性,但其中 g(x)=x +ax +bx 是奇函数,则可充分利用奇函 数的定义解决问题. 解答: 解:令 g(x)=x +ax +bx,由函数奇偶性的定义,易得其为奇函数; 则 f(x)=g(x)﹣8 所以 f(﹣2)=g(﹣2)﹣8=10 得 g(﹣2)=18 又因为 g(x)是奇函数,即 g(2)=﹣g(﹣2) 所以 g(2)=﹣18 则 f(2)=g(2)﹣8=﹣18﹣8=﹣26 故选 A. 点评: 本题较灵活地考查奇函数的定义. 11. 已知函数 f(x)在[﹣5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(﹣3) <f(﹣1) ,则下列不等式一定成立的是( ) A. f(﹣1)<f(3) B. f(2)<f(3) C. f(﹣3)<f(5) D. f(0)>f(1) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题.
5 3 5 3 5 3



分析: 偶函数 f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(﹣3)<f(﹣1) ,故可知函数 f(x) 在[0,5]上是单调减函数,故易判断. 解答: 解:偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(﹣3)<f(﹣1) , 可知函数 f(x)在[0,5]上是单调减函数,所以 f(0)>f(1) 故选 D. 点评: 本题主要考查偶函数的性质,偶函数在其对称区间上单调性相反,属于基础题.

12. 已知函数

,则函数 y=f(x)的大致图象为(



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数不是奇函数图象不关于原点对称,排除 A、C,由 x>0 时,函数值恒正,排 除 D. 解答: 解:函数 y=f(x)是一个非奇非偶函数,图象不关于原点对称,故排除选项 A、C, 又当 x=﹣1 时,函数值等于 0,故排除 D, 故选 B. 点评: 本题考查函数图象的特征,通过排除错误的选项,从而得到正确的选项.排除法是 解选择题常用的一种方法. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题卡的横线上, 填在试卷上的答案无效) 13. 若 2? {x|x﹣a<0},则实数 a 的取值集合是 {a|a≤2} . 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 先将集合化简,再根据 2? {x|x﹣a<0},可求实数 a 的取值集合. 解答: 解:由题意,{x|x﹣a<0}={x|x<a}, ∵2? {x|x﹣a<0}, ∴a≤2 ∴实数 a 的取值集合是{a|a≤2} 故答案为:{a|a≤2} 点评: 本题以集合为载体,考查集合关系中的参数取值问题,解题的关键是将集合化简. 14.已知 f(x)满足 f(x)+f(y)=f(xy) ,且 f(5)=m,f(7)=n,即 f(175)= 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 2m+n .

分析: 把 x=5 y=7 代入得 f(5)+f(7)=f(35) ,从而 m+n=f(35) ,把 y=35 代入得 f(5) +f(35)=f(175) ,由此能求出 f(175)=2m+n. 解答: 解:∵f(x)满足 f(x)+f(y)=f(xy) , 且 f(5)=m,f(7)=n, ∴把 x=5 y=7 代入得 f(5)+f(7)=f(35) ∴m+n=f(35) , 把 y=35 代入得 f(5)+f(35)=f(175) , ∴m+m+n=f(175) ,即 2m+n=f(175) , ∴f(175)=2m+n. 故答案为:2m+n. 点评: 本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 15. 若函数 f(2x+1)=x ﹣2x,则 f(3)= ﹣1 . 考点: 分析法的思考过程、特点及应用. 分析: 这是一个凑配特殊值法解题的特例, 由f (2x+1) =x ﹣2x, 求f (3) 的值, 可令 (2x+1) =3,解出对应的 x 值后,代入函数的解析式即可得答案.本题也可使用凑配法或换元法求出 函数 f(x)的解析式,再将 x=3 代入进行求解. 解答: 解法一: (换元法求解析式) 令 t=2x+1,则 x=
2 2

则 f(t)= ∴

﹣2

=

∴f(3)=﹣1 解法二: (凑配法求解析式) ∵f(2x+1)=x ﹣2x= ∴ ∴f(3)=﹣1 解法三: (凑配法求解析式) ∵f(2x+1)=x ﹣2x 令 2x+1=3 则 x=1 此时 x ﹣2x=﹣1 ∴f(3)=﹣1 故答案为:﹣1 点评: 求未知函数解析式的函数的函数值,有两种思路,一种是利用待定系数法、换元法、 凑配法等求函数解析式的方法,求出函数的解析式,然后将自变值,代入函数解析式,进行 求解; (见本题的解法一、二)二是利用凑配特殊值的方法,凑出条件成立时的特殊值,代 入求解. (见本题的解法三)
2 2 2

16. 已知函数 f(x)=

,则 f[f( )]的值是



考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 分析: 先求 , ,故代入 x>0 时的解析式;求出 ,再求值即可. 解答: 解: , =﹣2,

故答案为: 点评: 本题考查分段函数的求值问题,属基本题.求 f(f(a) )形式的值,要由内而外. 三、解答题: (共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). 17. 计算下列各式的值: (1)lg5lg20+(lg2) ; (2) (log32+log92) ?(log43+log83)+( log33) +ln
2 2

﹣lg1.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的性质和运算法则求解. 解答: 解: (1)lg5lg20+(lg2) 2 =lg 5lg(5×4)+(lg 2) 2 =lg 5(lg 5+lg 4)+(lg 2) 2 2 =(lg 5) +lg 5lg 4+(lg 2) 2 2 =(lg 5) +2lg 5lg 2+(lg 2) 2 =(lg 5+lg 2) =1.
2

(2) (log32+log92) ?(log43+log83)+( log33) +ln =log98? log64243+ + ﹣0 = ? + = + =2.

2

﹣lg1

点评: 本题考查对数值的求法,是基础题,解题时要注意对数的性质和运算法则的合理运 用. 18. 函数 f(x)在 R 上为奇函数,当 x>0 时,f(x)= ,求 f(x)的解析式.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 要求函数的解析式,根据题意,只要求当 x≤0,的函数解析式,由 x>0 时,f(x) = ,可先设 x<0,则﹣x>0,结合 f(﹣x)=﹣f(x) , (0)=0,可求 解答: 解:设 x<0,则﹣x>0, ∴f(﹣x)= +1,

∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x)即﹣f(x)= ∴f(x)=﹣ ﹣1 , +1,

∵f(x)是奇函数, ∴f(0)=0,

∴f(x)=

点评: 本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数的解析式,解题中要注意,不要漏掉定 义域内 f(0)的函数值的求解 19. 已知函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)在 x∈[﹣2,2]上恒有 f(x)<2,求实数 a 的取 值范围. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 a>1 时,根据函数 f(x)在[﹣2,2]上单调递增,可得 f(2)<2,求得 a 的范 围.当 0<a<1 时,函数 f(x)在[﹣2,2]上单调递减,可得 f(﹣2)<2,求得 a 的范 围.再把以上求得的两个 a 的范围取并集,即得所求. 解答: 解:当 a>1 时,函数 f(x)=a 在 x∈[﹣2,2]上单调递增,要使 f(x)<2,必 须使函数的最大值 f(2)<2, 即 a <2,解得 1<a< . x 当 0<a<1 时,函数 f(x)=a 在 x∈[﹣2,2]上单调递减,要使 f(x)<2,必须使函数 的最大值 f(﹣2)<2, 即 a <2,a > ,由此解得 综上可得,a 的范围为(1,
﹣2 2 2 x x

<a<1. )∪( ,1) .

点评: 本题主要考查指数函数的单调性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

20. 利用单调性定义判断函数 f(x)=x+ 在[1,4]上的单调性并求其最值.

考点: 函数单调性的判断与证明.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用单调性的定义设两个变量然后判断单调性,根据单调性求最值即可. 解答: 解:

∴当 x=2 时,f(x)取得最小值 4,当 x=1 或 x=4 时,f(x)取得最大值 5. 点评: 本题主要考查函数的单调性以及单调性的应用,属于基础题. 21. “水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源,竟然到了严重制约我国经济发展, 严重影响人民生活的程度.因为缺水,每年给我国工业造成的损失达 2000 亿元,给我国农 业造成的损失达 1500 亿元,严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水,某市打算 出台一项水费政策,规定每季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费 1.2 元,若超过 5 吨二 不超过 6 吨时,超过的部分的水费加收 200%,若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水 费加收 400%, 如果某人本季度实际用水量为 x (x≤7) 吨, 试计算本季度他应交的水费 y (单 位:元) . 考点: 分段函数的应用. 专题: 应用题. 分析: 根据每一季度每人用水量不超过 5 吨时,每吨水费收基本价 1.2 元;若超过 5 吨而 不超过 6 吨时,超过部分的水费加收 200%;若超过 6 吨而不超过 7 吨时,超过部分的水费 加收 400%.分为三段,建立分段函数模型. 解答: 解:由题意可知: ①当 x∈[0,5]时 f(x)=1.2x ②若超过 5 吨而不超过 6 吨时,超过部分的水费加收 200%; 即:当 x∈(5,6]时 f(x)=1.2×5+(x﹣5)×3.6=3.6x﹣12 ③当 x∈(6,7]时 f(x)=1.2×5+1×3.6+(x﹣6)×6=6x﹣26.4

∴f(x)=

点评: 本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力,解题时要仔细阅读,抓住关 键词,关键句来建立数学模型,分段函数的意义和应用 22. 已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且对任意 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b) , 且当 x>0 时,f(x)<0 恒成立. 证明:

(1)函数 y=f(x)是 R 上的减函数; (2)函数 y=f(x)是奇函数. 考点: 抽象函数及其应用;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 x1>x2,由已知可得 f(x1﹣x2)<0,再利用 f(a+b)=f(a)+f(b)及减 函数的定义即可证明. (2)令 a=b=0,则可得 f(0)=0;再令 a=x,b=﹣x,即可证明 f(x)是奇函数. 解答: 证明: (1)设 x1>x2,则 x1﹣x2>0,∴f(x1﹣x2)<0, 而 f(a+b)=f(a)+f(b) , ∴f(x1)=f(x1﹣x2+x2)=f(x1﹣x2)+f(x2)<f(x2) ∴函数 y=f(x)是 R 上的减函数; (2)由 f(a+b)=f(a)+f(b)得 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x) 即 f(x)+f(﹣x)=f(0) ,而令 a=b=0 可得 f(0)=0 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即函数 y=f(x)是奇函数 点评: 本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性,深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充 分利用已知条件是解决问题的关键.


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