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(高中数学必修5)基本不等式

时间:2011-10-11


§3.4基本不等式:

a?b ab ? 2

2002年第24届国际数学家大会 在北京举行

2002年第24届国际数学家大会 在北京举行 会标的设计源中国 古代数学家赵爽为了证 明发明于中国周代的勾 股定理而绘制的弦图。 它既标志着中国古代的 数学成就,又象一只转 动的风车,欢迎来自世 界各地的数学精英们。

不你 D 等能 关在 系图 C G F H 吗中 A E a 找 4个直角三角形的面积和为2 b 出 a ?b 正方形ABCD的面积为a2 一 B 些 +b2 当EFGH缩为一点,即a=b时,有a2+b2 面 积 =2ab 的 相 所以不等式: 一般地,对于任意实数a、b, 等 2 我们有 2 或 a ? b ? 2ab 当且仅当a=b时,等号成立。
2 2

不等式:a

2

? b ? 2ab
2

(当且仅当a=b时,等号成立)

特别地,如果a>0、b>0,用 a、b 分别 代替a、b得:

( a)+( b)? 2 a b
2 2

即: a+b ? 2 ab 写成:

要特别注 意条件

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2

下面证明不等式:
证明:
要证
只要证 要证②,只要证 要证③,只要证

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2
ab

a?b ? 2

① ② ③

a?b ?

2 ab _____

2 ab a ? b ? _____ ? 0 a ? ___)2 (___ b

?0



a ?b 显然④是成立的,当且仅当______时,等号成立

a?b 几何解释 ab ? (a ? 0, b ? 0) 2
∵ Rt△ACD ∽ Rt△DCB ∴ CD2 = AC ·BC ∴ CD= ab ?

D

A

a

C
E

b B

由“半径不小于半弦”得:
a?b ? ab 即 2

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2

基本不等式:

a?b ab ? (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时,等号成立。
注意:

①不等式的适用范围。


a?b 2

ab 称为正数a、b的几何平均数 a 2 ? b2 ? 2ab
称为它们的算术平均数。

的适用范围呢?

常用的不等式:
①重要不等式:

a ? b ? 2ab
2 2

a?b ②基本不等式: ab ? (a ? 0, b ? 0) 2 ③基本不等式的变形:

a ? b ? 2 ab

a?b 2 ab ? ( ) 2

应用举例

利用基本不等式判断大小关系

例1:设0<a<1,给出下列不等式 1 1 2 (1) a (1 ? a ) ? (2)a ? 1 ? 2 ?2 4 a ?1 (1) 其中恒成立的是 _________

? a ? (1 ? a) ? 1 (1)0 ? a ? 1,?1 ? a ? 0 ? a(1 ? a) ? ? ? ? 2 ? ? 4 一正
2

解:

1 当且仅当a ? 1 ? a即a ? 时,等号成立 2
三相等

二定

应用举例

利用基本不等式判断大小关系

例1:设0<a<1,给出下列不等式 1 1 2 (1) a (1 ? a ) ? (2)a ? 1 ? 2 ?2 4 a ?1 (1) 其中恒成立的是 _________
解:
2 2

一正

二定

三相等

1 1 2 (2)显然a ? 1 ? 0, a ? 1 ? 2 ? 2(a ? 1) 2 ?2 a ?1 ? a ? 1?

×

1 当且仅当a ? 1 ? 2 时,等号成立 a ?1 1 2 而a ? 1 ? 2 否则就有(a 2 ? 1) 2 ? 1,等号不成立 a ?1
2

应用举例

利用基本不等式判断大小关系

例1:设0<a<1,给出下列不等式 1 1 2 (1) a (1 ? a ) ? (2)a ? 1 ? 2 ?2 4 a ?1 (1) 其中恒成立的是 _________ 归纳小结:用基本不等式要注意

应用举例

利用基本不等式求值域

例2:下列各式中,用基本不等式可以得到 最小值 4 的是( C )

4 A. y ? x ? x 4 ? B. y ? sin x ? (0 ? x ? ) sin x 2 1 C. y ? 8 x ? ( x ? 0) 2x

巩固练习

1.(1)已知两个正数a,b的积等于36, 6 6 则当a=_____,b=_____时,它们的和 最小,最小值等于_____? 12 (2)已知两个正数a,b的和等于18,则 9 9 当a=_____,b=____时,它们的积最大, 最大值等于_____? 81
归纳小结
(1)两个正数的 积 为定值,和有最小值 (2)两个正数的 和 为定值,积有最小值

巩固练习
2.判断题
一正

1 (1)函数y ? x ? 的最小值是2 x

二定

( ×)

1 1 (2)函数y ? x(1 ? 4 x)(0<x< )的最大值是 ( √ ) 4 4

2 ?2 2 (3)sin ? ? 2 sin ?
2

( ×)
三相等

实践创新

1 3.若x ? 1,求函数y ? x ? 的最小值. 一正 x ?1 1 解: x ? 1,? x ? 1 ? 0, ? >0 x ? 1 二定
1 1 ?1 ? 3 ? y ? x ?1? ? 1 ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) x ?1

1 当且仅当x ? 1 ? 即x ? 2时,有最小值3 x ?1
三相等

感受总结
a?b (a ? 0, b ? 0) 基本不等式 ab ? 2 1.应用基本不等式要注意的问题

2.灵活对公式的正用、逆用、变形用

a?b ab ? 2

a?b 2 ab ? ( ) 2

a ? b ? 2 ab

应用举例 应用二:解决最大(小)值问题
例2、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱 笆最短。最短篱笆是多少? (2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问 这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最 大。最大面积是多少? 分析: (1)面积一定,求长与宽的和的最小值
长与宽的和 长与宽的积 (2)________一定,求_________的最大值

联想:

a ? b (左 ab ? 2 (左

右) 右)

应用举例 应用二:解决最大(小)值问题
例2、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱 笆最短。最短篱笆是多少? (2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问 这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最 大。最大面积是多少? 一正 解: (1)设长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m x? y 由 ? xy ? 100 ? 10 可得 x ? y ? 20 2 ∴ 2(x+y)≥40
二定

三相等

当且仅当x=y即x=y=10时,等号成立

答(略)

应用举例 应用二:解决最大(小)值问题
例2、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱 笆最短。最短篱笆是多少? (2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问 这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最 大。最大面积是多少? 解: (2)设长xm,宽ym,则2(x+y) =36, x+y=18面积为xy m2 x ? y 18 由 xy ? ? ? 9 可得 xy ? 81 2 2 当且仅当x=y即x=y=9时,等号成立

答(略)

应用举例 应用二:解决最大(小)值问题
例2、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱 笆最短。最短篱笆是多少? (2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问 这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最 大。最大面积是多少?

归纳小结:
(1)两个正数的 积 为定值,和有最小值 (2)两个正数的 和 为定值,积有最大值

应用要点:


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