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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课后限时自测 理 苏教版

时间:2015-09-26

【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 8 章 第 1 节 直线的倾斜 角与斜率、直线的方程课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 2π 1.已知直线 l 的倾斜角为 ,则其斜率为________. 3 2π [解析] k=tan =- 3. 3 [答案] - 3 2.(2014·常州质检)直线 l1:3x-y+1=0,直线 l2 过点(1,0),且 l2 的倾斜角是 l1 的倾斜角的 2 倍,则直线 l2 的方程为________. 2tan α 2×3 [解析] 设直线 l1 的倾斜角为 α , 则 kl1=tan α =3, kl2=tan 2α = = 2 2 1-tan α 1-3 3 3 =- ,又 l2 过点(1,0).故 l2 方程为 y-0=- (x-1),即 3x+4y-3=0. 4 4 [答案] 3x+4y-3=0 3.过点 A(3,4),B(-2,-1)的直线的横截距为________. [解析] 直线 AB 方程为 x-y+1=0,令 y=0 得 x=-1. [答案] -1 1 1 4.若 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则 + =________.

a b

x y 2 2 1 [解析] 由 B,C 两点决定的直线的方程为 + =1,而点 A 在其上,故 + =1,即 + a b a b a
1 1 = . b 2 [答案] 1 2

5.(2014·泰州模拟)直线 3x-4y+k=0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k= ________. [解析] 在 3x-4y+k=0 中,令 x=0 得 y= ,令 y=0 得 x=- . 4 3 由题意 +?- ?=2,∴k=-24. 4 ? 3? [答案] -24
1

k

k

k ? k?

6.(2014·安徽高考改编)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x +y =1 有公共点,则直 线 l 的倾斜角的取值范围是________. [解析] 由题意可画出示意图:易知 PA 与 PM 是两临界情况.PA 的倾斜角为 0,在 Rt △POM 中,易知 PO=2,OM=1, π π ∴∠OPM= ,∠OPA= , 6 6

2

2

π ? π? ∴∠MPA= ,∴直线 l 的倾斜角的范围是?0, ?. 3? 3 ?

? π? [答案] ?0, ? 3? ?
7.(2014·苏州模拟)若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2,3),B(3,2), 则实数 m 的取值范围为________.

[解析] 直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0,-2),因为直线与线段 AB 有交点,则直线 只能落在∠ACB 的内部,设 BC,CA 这两条直线的斜率分别为 k1,k2,则由斜率的定义可知, 4 5 4 5 直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k≥k1 或 k≤k2.∵k1= ,k2=- ,∴-m≥ 或-m≤- , 3 2 3 2 4 5 即 m≤- 或 m≥ . 3 2
? ? 4 5 ? [答案] ?m?m≤- 或m≥ 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

8.(2014·无锡调研)直线 xcos θ + 3y+2=0 的倾斜角的取值范围是________. [解析] 设直线的倾斜角为 α ,由已知条件知,直线的斜率 k=tan α =- 又-1≤cos θ ≤1,所以- 3 cos θ , 3

3 3 ? π ? ?5π ? ≤tan α ≤ .因此 α ∈?0, ?∪? ,π ?. 6? ? 6 3 3 ? ?

? π ? ?5π ? [答案] ?0, ?∪? ,π ? 6 6 ? ? ? ?

2

二、解答题 9.在△ABC 中,已知 A(5,-2),B(7,3),且 AC 边的中点 M 在 y 轴上,BC 边的中点 N 在 x 轴上,求: (1)顶点 C 的坐标;(2)直线 MN 的方程. [解] (1)设 C(x0,y0),则 AC 的中点 M?

?5+x0,y0-2?,BC 的中点 N?7+x0,y0+3?. ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

5+x0 y0+3 ∵M 在 y 轴上,∴ =0,x0=-5.又∵N 在 x 轴上,∴ =0,y0=-3.从而 C(- 2 2 5,-3). 5? x y ? (2)∵M?0,- ?,N(1,0),∴直线 MN 的方程为 + =1,即 5x-2y-5=0. 2? 1 5 ? - 2 10.(2014·徐州检测)已知直线经过点 A(1,2),求分别满足下列条件的直线方程: 5 (1)倾斜角的正弦为 ; 13 (2)与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为 4. [解] 5 12 (1)设直线的倾斜角为 α ,α ∈[0,π ),由 sin α = ,得 cos α =± , 13 13

5 ∴tan α =± . 12 5 5 当 tan α = 时,由点斜式方程得 y-2= (x-1),即 5x-12y+19=0; 12 12 5 5 当 tan α =- 时,由点斜式方程得 y-2=- (x-1),即 5x+12y-29=0, 12 12 综上,所求直线方程为 5x-12y+19=0 或 5x+12y-29=0. (2)设直线在 x,y 轴上的截距为 a,b(a>0,b>0),则直线方程为 + =1,由题意得 1 ? ?2ab=4, ?1 2 ? ?a+b=1,

x y a b

解得?

? ?a=2, ?b=4 ?

,∴直线方程为 + =1,即 2x+y-4=0. 2 4

x y

[B 级 能力提升练] 一、填空题 1.经过点(4,-3),且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线的方程为________. [解析] 设直线在 x 轴与 y 轴上的截距分别为 a,b,

3

x y 4 3 ①当 a≠0,b≠0 时,设直线方程为 + =1,∵直线经过点(4,-3),∴ - =1. a b a b
又∵|a|=|b|,∴? =0; ②当 a=b=0 时,直线经过原点及(4,-3),∴直线的方程为 3x+4y=0. 综上,所求直线的方程为 x+y-1=0 或 x-y-7=0 或 3x+4y=0 [答案] x+y-1=0 或 x-y-7=0 或 3x+4y=0. 2.(2014·镇江调研)已知点 P(x,y)在经过点 A(3,0),B(1,1)的直线 l 上,那么 2 +4 的最小值是________. [解析] 由两点式得直线 l 的方程为 ∵2 +4 =2 +2 ≥2 2
x y x y x
2y

? ?a=1, ?b=1 ?

或?

? ?a=7, ?b=-7, ?

∴直线的方程为 x+y-1=0 或 x-y-7

x

y

1 = ,即 x+2y=3. x-3 -2

y

x+2y

3 3 x y =2 2 =4 2,当且仅当 2 =4 即 x=2y= 时取等号. 2

∴2 +4 的最小值为 4 2. [答案] 4 2 二、解答题 3.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点), 求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. [解] 令? (1)证明:直线 l 的方程是 k(x+2)+(1-y)=0, 解得?
? ?x=-2, ? ?y=1,

? ?x+2=0, ? ?1-y=0,

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k (2)由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1+2k,

k

1+2k ? ?- ≤-2, k 要使直线不经过第四象限,则必须有? ? ?1+2k≥1, 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意, 故 k≥0.

解之得 k>0;

? 1+2k,0?,B(0,1+2k). (3)由 l 的方程,得 A?- ? ?
k

?

4

1+2k ? ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0, 解得 k>0. 1 1 ?1+2k? ∵S= ·|OA|·|OB|= ·? ?·|1+2k| 2 2 ? k ?
2 1 ? 1 ?1+2k? 1? = · = ?4k+ +4? k ? 2 k 2?

1 ≥ ×(2×2+4)=4, 2 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,

k

1 取 k= , 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.

5


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