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江苏省扬州中学2017届高三上学期12月月考数学试题

时间:2017-02-20


2017 届扬州中学高三数学月考卷

2017.12

第 I 卷(必做题 共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在题中横线上. 1.已知复数

1? z ? i ,则 z 的实部为__▲__. 1? z

2.如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为 数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别 为 a1 , a2 ,则 a1 , a2 的大小关系是______▲_______(填 a1 ? a2 , a2 ? a1 , a1 ? a2 )

2 3.命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 是



命题

(选填“真”或“假”) . 4.若长方体相邻三个侧面的面积分别是 2 , 3 , 6 ,则该长方体的体积是 ▲ .

5.已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,若直线 y ? kx 与圆 C 相切,且切点在第四象限,则 k ? _▲___. 6 .已知 f ? x ? 为奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ex ? x2 ,则曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 1 处的切 线斜率为 ▲ .

7 . 函 数 y ? sin x ?

3 cos x 的 图 像 可 由 函 数 y ? sin x ? 3 cos x 的 图 像 至 少 向 右 平 移

___▲______个单位长度得到. 8.已知直线 m, l , 平面 ? , ? , 且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题:①若 ? // ? ,则 m ? l ;② 若 m ? l ,则 ? // ? ;③若 ? ? ? ,则 m // l ;④若 m // l ,则 ? ? ? .其中 正确的命题是 _____▲_____________. 9.已知点 P( x, y ) 满足 ?

?0 ? x ? 1, 则点 Q( x ? y, y) 构成的图形的面积为__▲__. ?0 ? x ? y ? 2.

10.以抛物线 y ? ___▲___.

1 2 y2 x 的焦点为圆心,且与双曲线 x 2 ? ? 1的渐近线相切的圆的方程是 8 3

11.已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点,连接 DE 并延长 到点 F ,使得 DE ? 2 EF ,则 AF ?BC 的值为 ▲ 12 . 对 任 意 x ? R , 函 数

??? ? ??? ?



f ( x) 满 足 f ( x ? 1 ) ?

f ( x? )

2

f [

1 x ( ?, ) ] 设 2

31 ,则 f (15) ? _▲____. 16 x3 2 2 2 2 13.若实数 x , y 满足 x ? 4 xy ? 4 y ? 4 x y ? 4 ,则当 x ? 2 y 取得最大值时, 2 的值为 y

an ? [ f (n)]2 ? f (n) ,数列 {an } 的前 15 项的和为 ?





14.已知等差数列 ?an ? 首项 为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 首项为 b ,公比为 a ,其中 a , b 都 是大于 1 的正整数,且 a1 ? b1, b2 ? a3 ,对于任意的 n ? N * ,总存 在 m ? N * ,使得

am ? 3 ? bn 成立,则 a5 ? b5 ? ___▲___.
二、解答题:(本大题 6 小题,共 90 分) 15.(本题满分 14 分) 在 锐 角 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c , 向 量

?? ? m ? ?1, c o B s ?, n ? s i n B,? 3 ,且 m ? n .
(1)求角 B 的大小; (2)若 ?ABC 面积为

?

?

3 3 2 , 3ac ? 25 ? b ,求 a , c 的值. 2

16 . ( 本 题 满 分 14 分 ) 在 四 棱 锥 E - ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 正 方 形 ,

AC与BD交于O, EC ? 底面ABCD,F 为 BE 的中点.
(1)求证: DE ∥平面 ACF ; (2)若 AB =

E F

G ? 平面 B D E 使C 2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G , EG 若存在,求出 的值,若不存在,请说明理由. EO


C O D A B

17.(本题满分 14 分) 如图所示,把一些长度均为 4 米(PA+PB=4 米)的铁管折弯后当作骨架制作“人字形” 帐蓬,根据人们的生活体验知道:人在帐蓬里“舒适感”k 与三角形的底边长和底边上的高度 有关,设 AB 为 x ,AB 边上的高 PH 为 y,则 k ? (1)求“舒适感” k 的取值范围; (2)已知 M 是线段 AB 的中点,H 在线段 AB 上,设 MH=t,当人在帐蓬里的“舒 适感”k 达到最大值时, 求 y 关于自变量 t 的函数解析式; 并求出 y 的最大值 (请说明详细理由) 。

x? y x2 ? y 2

,若 k 越大,则“舒适感”越好。

18.(本题满分 16 分)

x2 y 2 平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 a b
3 F2 .且 F 1F2 ? 2 3 ,以 F1 为圆心以 为半径的圆与以 F2 为圆心 1 为半径的圆相交,且交点
在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若 P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 E :

x2 y 2 ? ?1于 16 4

A , B 两点,射线OP 交椭圆 E 于点 Q .
(i)若OQ =?OP ,求 ? 的值; (ii)求四边形 AOBQ 面积的最大值.

19 . ( 本 题 满 分 16 分 ) 已 知 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 对 于 任 意 n ? N * , 总 有

S n ? 2(a n ? 1) .
(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)在 a n 与 a n ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成等差数列,当公差 d 满足 3 ? d ? 4 时,求 n 的值并求这个等差数列所有项的和 T ; (3)记 a n ? f (n) ,如果 c n ? n ? f (n ? log
2

m) ( n ? N * ),问是否存在正实数 m ,使得数

列 {c n } 是单调递减数列?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在, 请说明理由. 20.(本小题满分 16 分)

设函数 f ( x) ?

x ? sin x , g ( x) ? x cos x ? sin x . x (1)对于任意 x ? (0, ? ] ,使得 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 g (bx) ? bx cos bx ? b sin x(b ? ?1) 对 x ? (0, ? ] 恒成立,求实数 b 的取值范围.

第Ⅱ卷(附加题 共 40 分)
? ?0 21. 已知矩阵 A ? ? ?1 ? ? 1? 3? ? ,点 M ? ?1,1? , N ? 0, 2 ? .求线段 MN 在矩阵 A?1 对应的变换作用 2? ? 3? ?

下得到线段 M ?N ? 的长度.

? x ? sin? ? cos ? 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数),若以直角坐标系 ? y ? sin 2?
xOy 的 O 点为极点, x 轴正方向为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得直线 l 的极坐标

?? ? 方程为 2 ? cos?? ? ? ? 1 .求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标. 6? ?

23. 如图, PC ? 平面 ABC , PC ? 4 ,AC ? BC ? 3 , 在三棱锥 P ? ABC 中, ?ACB ? 90? . 点 D 在线段 AB 上,AD=2DB. ⑴ 求异面直线 BC 与 PD 所成角的余弦值; ⑵ 求直线 BC 与平面 PAB 所成角的余弦值.

24.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ? , ? 只与道路畅通状况有关,对其容量为 200 的样本进行统计,结果如下: 25 30 35 40 ? (分钟) 频数(次) 40 60 80 20 (1)求 ? 的分布列与数学期望 ?? ; (2)唐教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校区, 求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率. 12 月考参考答案:第 I 卷(必做题) 一、1.0 2. a2 ? a1 .3.真 4.

6

5. ?

2 . 4

6. ? 2

1 e

7.

?? . 8.①④ 3

9.2.

10. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

11.

1 8

12. 4 . 13. 4 2

3

14.102

二、15.解:(1)

m ? n ? ?1, cos B? ? sin B,? 3 ? 1? sin B ? cos B ? ? 3
? sin B ? 3 cos B

?

?

?

?

?? ? ?? ? ? m ? n,?m ? n ? 0 ? sin B ? 3 cos B ? 0
? ?ABC 为锐角三角形,? cos B ? 0
?0 ? B ?

? tanB ? 3 ,

?
2

,? B ?

?
3

2 2 2 2 2 2 (2)由 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 b ? a ? c ? ac , 2 2 2 代入 3ac ? 25 ? b 得 3ac ? 25 ? a ? c ? ac ,得 a ? c ? 5

? S?ABC ?

1 1 ? 3 ac sin B ? ac ? sin ? ac 2 2 3 4

由题设

3 3 3 ,得 ac ? 6 ac ? 4 2

E F G C D O A B

联立 ?

?a ? c ? 5 ?a ? 2 ? a ? 3 , 解得 ? ,或 ? . ?ac ? 6 ?c ? 3 ?c ? 2

16.(本题满分 14 分)解:(I)连接 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点,所以 OF ∥ DE 又 OF ? 平面ACF , DE ? 平面ACF 所以 DE ∥平面 ACF ???????6 分 (2)在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ? 平面BDE . 理由如下: 如图,取 EO 中点 G ,连接 CG . 在四棱锥 E - ABCD 中, AB =

2CE, CO =

所以 CG ? EO 由 EC ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD 所以 EC ? BD 由 ABCD 是正方形可知, AC ? BD 又 AC ? EC ? C, AC, EC ? 平面ACE

2 AB = CE , 2

所以 BD ? 平面ACE 而 BD ? 平面BDE 所以, 平面ACE ? 平面BDE ,且 平面ACE ? 平面BDE ? EO 因为 CG ? EO , CG ? 平面ACE 所以 CG ? 平面BDE 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ? 平面BDE . 由 G 为 EO 中点,得

EG 1 = . ???????14 分 EO 2
?
???????6 分

17.解析:(1) k ? 1, 2 ?

?

(2) y ? 4

4 ? t2 (0 ? t ? 2 2 ? 2) , 20 ? t 2
4 5 ???????14 分 5

t ? 0时,y max ?

b ? 1 ,所以 18. 解:(I)由题意知 2a ? 3 ? 1 ,即 a ? 2 ,又因为 F 1F2 ? 2 3 ,所以 c ? 3 ,
椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

???????4 分

(2)(i)设 P( x0 , y0 ) , ,由题意知Q(

?x 0 , ?y0 ) .由

? 2 x02
16

?

2 ?2 y0

4

? 1 ,知

? 2 x0 2
4 ( 4

? y0 2) ?1 ,

x0 2 ? y0 2 ? 1 ,所以 ? ? 2 ..??????8 分 又因为 4
(ii)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,将 y ? kx ? m 代
2 2 入椭圆 E 的方程,可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?16 ? 0 ,由 ? ? 0 可得
2

m2 ? 4 ? 16k 2 .



8km 4m 2 ? 16 4 16k 2 ? 4 ? m2 x x ? 又 x1 ? x2 ? ? , ,所以 . x ? x ? 1 2 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
因为直线 y ? kx ? m 与 y 轴交点坐标为 (0, m) ,所以

2 16k 2 ? 4 ? m2 m 1 S?OAB ? ? m ? x1 ? x2 ? ? 2 1 ? 4k 2

m m 2 (16k 2 ? 4 ? m2 )m2 . ? 2 (4 ? ) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2 1 ? 4k
将 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 ,由 ? ? 0 可得
2 2 2

2

2

m2 ? 1 ? 4k 2 ②.令

m2 ? t ,则由①及②知 0 ? t ? 1 ,因此 1 ? 4k 2

S ?OAB ? 2 (4 ? t )t ? 2 ?t 2 ? 4t ,解得 S?OAB ? 2 3 ,当且仅当 t ? 1 时取等号.由( i )知

S AOBQ ? 2S ?OAB ,? (S AOBQ ) max ? 4 3 ???????16 分
19.解:(1)当 n ? 1 时,由已知 a1 ? 2(a1 ? 1) ,得 a1 ? 2 . 当 n ? 2 时,由 S n ? 2(a n ? 1) , S n ?1 ? 2(a n ?1 ? 1) ,两式相减得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 , 即 a n ? 2a n ?1 , 所 以 {a n } 是 首 项 为 2 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 所 以

an ? 2 n ( n ? N * )
(2)由题意, a n ?1

……………….. 4 分

a n ?1 ? a n 2n ,即 d ? , ………………..6 分 ? a n ? (n ? 1)d ,故 d ? n ?1 n ?1
2x 2n ( x ? 1) , ? 4 ,令 f ( x) ? x ?1 n ?1

因为 3 ? d ? 4 ,故 3 ?

f , ( x) ?

ln 2 ? 2 x ? ( x ?

1 ? ln 2 ) ln 2 ? 0 ( x ? 1) 2







f ( x)











12 32 16 ? (3, 4), f (5) ? ? 4 ,故 n ? 4 , 所以 d ? . 5 6 5 16 所以所得等差数列首项为 16 , 公差为 , 共有 6 项,所以这个等差数列所有项的和 3 6 ? (16 ? 32) ………………..10 分 T ? ? 144 ,所以, n ? 4 , T ? 144 2 f (3) ? 2 ? 3, f (4) ?

(3)由(1)知 f (n) ? 2 , 所以 c n ? n ? f (n ? log
n

2

m) ? n ? 2

n?log

2

m

? n ? 2 n?log 2 m

2

? n ? 2 2 n?log 2 m ? n ? (2 log 2 m ) 2 n ? n ? m 2 n
由题意, c n ?1 ? c n ,即 (n ? 1) ? m 所以 m 2 ?
2n?2

………………..12 分

? n ? m 2 n 对任意 n ? N * 成立,

n 1 对任意 n ? N * 成立 ? 1? n ?1 n ?1 1 1 因为 g (n) ? 1 ? 在 n ? N * 上是单调递增的,所以 g ( n) 的最小值为 g (1) ? . n ?1 2
所以 m 2 ?

? 1 2? ?. .由 m ? 0 得 m 的取值范围是 ? 0 , ? 2 2 ? ? ? 2? ? 时,数列 {c n } 是单调递减数列. ………………..16 分 2 ? ?
x ? sin x sin x x cos x ? sin x ? 1? , 所以 f ' ( x) ? , 因为当 x ? ?0, ? ? x x x2

所以,当 m ? ? 0 ,

? ? ?

20. (Ⅰ) 因为 f ( x) ?

时, g ' ( x) ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x ? 0 , 所以 g ( x) 在 ?0, ? ? 上单调递减,又 g (0) ? 0 ,所以当 x ? ?0, ? ?时, g ( x) ? 0 即当 x ? ?0, ? ?时, x cos x ? sin x ? 0 ,所以 f ' ( x) ? 0 ?????????6 分 所以 f ( x) 在 ?0, ? ? 上单调递减,则当 x ? ?0, ? ?时, f ( x) min ? f (? ) ? 1?????8 分 由题意知, f ( x) ? a 在 ?0, ? ? 上恒成立,所以 a ? 1 ????????8 分 (2)由 g (bx) ? bx cosbx ? b sin x (b ? ?1) 得 sin bx ? b sin x (b ? ?1) 对 x ? ?0, ? ?恒成立,

b ? ?1,0,1 时,不等式显然成立????????9 分
②当 b ? 1 时,因为 bx ? ?0, b? ? ,所以取 x0 ?

?
b

? ?0, ? ? ,则有 sin bx0 ? 0 ? b sin x0 ,从而

此时不等式不恒成立?????????????????????11 分 ③当 0 ? b ? 1 时,由(Ⅱ)可知 h( x ) ? ∴

sin x 在 ?0, ? ? 上单调递减,而 0 ? bx ? x ? ? , x

sin x sin bx ? , ∴ sin bx ? b sin x 成立???????????13 分 x bx ④当 ? 1 ? b ? 0 时,当 x ? ?0, ? ?时, 0 ? ?bx ? x ? ? ,则 sin x sin( ?bx ) sin bx ? ? ,∴ sin bx ? b sin x 不成立,????????15 分 x ? bx bx
综上所述, 当 b ? ?1 或 0 ? b ? 1 时, 有 g (bx) ? bx cos bx ? b sin x(b ? ?1) 对 x ? (0, ? ] 恒 成立。?16 分

第Ⅱ卷
? ?0 a b ? ? ?1 AA ? 21. 解析:设 A?1 ? ? ,则 ? ? ?1 ?c d ? ? ? 1? 3 ? ? a b ? ?1 0? ?? , ? 2? ? c d? 0 1? ? ? ? ? ? 3? ?

1 1 2 2 所以 c ? 1, d ? 0, a ? c ? 0, b ? d ? 1 , 3 3 3 3
? 2 1? 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3, d ? 0 ,即 A?1 ? ? ?. ?3 0 ? ? 2 1? ? ?1? ? ?1? ? 2 1? ?0 ? ? 2? 由? ?? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? ,知点 M ? ? ?1, ?3? , N ? ? 2,0? , ?3 0? ? 1 ? ? ?3? ?3 0? ? 2? ?0 ?

所以 M ?N ? ?

? ?1 ? 2 ?

2

? ? ?3 ? 0 ? ? 3 2 .
2

22.解析:直线 l 的直角坐标方程为 y ? 3x ? 1 ,故直线 l 的倾斜角为 曲线 C 的普通方程为 x 2 ? y ? 1 ? 2 ? x ? 2 ,

?
3



?

?

? ? y ? 3x ? 1 由? ? ?x 2 ? y ? 1 ? 2 ? x 2

?

?

?x ? 0 ? ?? , 解得 ? . 所以交点的极坐标为 ?1,? ? . 2? y ? ? 1 ? ?

0 0) , A(3,, 0 0) , 23 .证明:如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz ,则 C (0,, B(0,, 3 0) , P(0,, 0 4) ,D(1,2,0).
⑴ BC ? (0 , ?3 , 0) , PD ? (1 ,, 2 ? 4) . 设 BC 与 PD 所成的角为 ? ,则 ??? ? ??? ? BC ? PD 6 2 21 cos ? ? ??? ? ? ??? ? ? , 21 BC PD 3 21 ∴异面直线 BC 与 PD 所成角的余弦值为

??? ?

??? ?

2 21 .…… 5 分 21

⑵ PA ? (3 设平面 PAB 的一个法 ,, 0 ? 4) ,PB ? (0,, 3 ? 4) .

??? ?

??? ?

y z ) ,则由 n ? PA ? 0 , n ? PB ? 0 ,得 ? 向量为 n ? ( x,,

??? ?

??? ?

?3x ? 4 z ? 0, 4 3) ,则 .可取 n ? (4,, 3 y ? 4 z ? 0 ?

??? ? n ? BC ? 4 ?0 ?4 ?( ? 3) ? 3 ? 0 ? 12 ?
??? ? n ? BC ??? ? ? si? n? |n|?| BC | ?1 2 4 ? 4 ? 3 ?3
2 2 2

. 设 直 线 BC 与 平 面 PAB 所 成 角 为 ? , 则

?

4 41 ,∴直线 BC 与平面 PAB 所成角的余弦值为 41

cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

5 41 . ……10 分 41

24. (I)由统计结果可得 T 的频率分步为 25 30 35 40 ? (分钟) 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得 T 的分布列为 25 30 35 40 ? 0.2 0.3 0.4 0.1 ? 从而

ET ? 25 ? 0.2 ? 30 ? 0.3 ? 35 ? 0.4 ? 40 ? 0.1 ? 32 (分钟)……4 分

(II)设 T1 , T2 分别表示往、返所需时间, T1 , T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同.设事件 A 表示“唐教授共用时间不超过 120 分钟” ,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应于“唐 教授在途中的时间不超过 70 分钟”. 解法一: P(A) ? P(T1 ? T2 ? 70) ? P(T1 ? 25, T2 ? 45) ? P(T1 ? 30, T2 ? 40)

? P(T1 ? 35, T2 ? 35) ? P(T1 ? 40, T2 ? 30) ? 1? 0.2 ? 1? 0.3 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.1 ? 0.91 .
解 法 二 :

P(

=

1

A

T+

2

)

+P(T 40, T2 = 40) T > 1 = 1

P

= T

? 0.4 ? 0.1 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.1 ? 0.09


P(A) =1 - P(A) = 0.91.

答:略。……10 分


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