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2014届高三数学一轮复习 抛物线提分训练题

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抛物线
一、选择题 1.抛物线 x =(2a-1)y 的准线方程是 y=1,则实数 a=( ) 5 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2 1 ?1 ? 2 解析 根据分析把抛物线 方程化为 x =-2? -a?y,则焦参数 p= -a, 2 ?2 ? 1 1 -a -a 2 p 2 3 故抛物线的准线方程是 y= = ,则 =1,解得 a=- . 2 2 2 2 答案 D 2.若抛物线 y =2px(p>0)的焦点在圆 x +y +2x-3=0 上,则 p=( 1 A. 2 C.2
2 2 2 2 2

)

B.1 D.3

解析 ∵抛物线 y =2px(p>0)的焦点为( ,0)在圆 x +y +2x-3=0 上,∴ +p-3=0,解 2 4 得 p=2 或 p=-6(舍去). 答案 C 3.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 x +y -6x-7=0 相切,则 p 的值为( 1 A. 2 解析
2 2 2 2

p

2

2

p2

).

B.1

C.2

D.4
2 2 2 2

抛物线 y =2px( p>0)的准线为 x=- ,圆 x +y -6x-7=0,即(x-3) +y =16, 2
2 2 2

p

则圆心为(3,0),半径为 4;又因抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆 x +y -6x-7=0 相切 , 所以 3+ =4,解得 p=2. 2 答案 C 4.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,

p

P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为(
A.18 B.24 C.36

). D.48

解析 如图,设抛物线方程为

y2=2px(p>0).
∵当 x= 时,|y|=p, 2 |AB| 12 ∴p= = =6. 2 2 又 P 到 AB 的距离始终为 p,
1

p

1 ∴S△ABP= ×12×6=36. 2 答案 C
2 5. 过抛 物线 y ? 4 x 的焦点的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 , 则

?AOB 的面积为(
A.

) B. 2 C.

2 2

3 2 2

D. 2 2

答案 C 6.将两个 顶点在抛物线 y =2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记 为 n,则( A.n=0 C.n=2 解析 结合图象可知,过焦点斜率为 ). B.n=1 D.n≥3 3 3 和- 的直线与抛物线各有两个交点,所以能够构 3 3
2

成两组正三角形.本题也可以利用代数的方法求解,但显得有些麻烦. 答案 C 7.已知点 P 是抛物线 y =2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线 的距离之和的最小值为( ) 17 9 A. B.3 C. 5 D. 2 2 ?1 ? 解析 依题设 P 在抛物线准线的投影为 P′,抛 物线的焦点为 F,则 F? ,0?.依抛物线的定 ?2 ? 义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点 P 到点 A(0,2)的距离与 P 到该抛物线 ?1?2+22= 17. 准线的距离之和 d=|PF|+|PA|≥|AF|= ?2? 2 ? ? 答案 A 二、填空题 8.设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________.
2 2

? ? ? ? 解析 设抛物线的焦点 F? ,0?,由 B 为线段 FA 的中点,所以 B? ,1?,代入抛物线方程得 ?2 ? ?4 ?
p p

2

p p 3p 3 2 p= 2,则 B 到该抛物线准线的距离为 + = = .
4 2 4 4 3 2 4

答案

9.已知动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为________. 解析 设动圆的圆心坐标为(x, y), 则圆心到点(1,0)的距离与其到直线 x=-1 的距离相等, 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y =4x. 答案 y =4x 10 .已知抛物线 y =4x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 M,N 为抛物线上的一点,且满足 |NF|= 3 |MN|,则∠NMF=________. 2 3 MN,∠NMF=∠MNP.又 cos∠ 2
2 2 2

解析 过 N 作准线的垂线,垂足是 P,则有 PN=NF,∴PN=

MNP=

3 , 2

π π ∴∠MNP= ,即∠NMF= . 6 6 答案 π 6
2

11. 设圆 C 位于抛物线 y =2 x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内, 则圆 C 的半径 能取到的最大值为________. 解析 依题意,结合图形的对称性可知,要使满足题目约束条件的圆的半径最大,圆心位于

x 轴上时 才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(0<a<3),则由条件知圆的方程是(x-a)2+y2
=(3-a) .由?
2

? ?
2

x-a

2

+y =

2

-a

2

? ?y =2x
2

消去 y 得 x +2(1-a) x+6a-9=0,结合图形

2

分析可知,当 Δ =[2(1-a)] -4(6a-9)=0 且 0<a<3,即 a=4- 6时,相应的圆满足 题目约束条件,因此所求圆的最大半径是 3-a= 6-1. 答案 6-1
2

12. 过抛物线 y ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于 A, B 两点,若 AB ?

25 , AF ? BF , 则 12

AF =



3

答案

5 6

三、解答题 13.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴 上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与准线 l 相切. 解析 (1)设抛物线 y =2px(p>0),将点(2,2)代入得 p=1. ∴y =2x 为所求抛物线的方程. 1 2 2 (2)证明:设 lAB 的方程为:x=ty+ ,代入 y =2x 得:y -2ty-1=0,设 AB 的中点为 M(x0, 2
2 2

y0),则 y0=t,x0=

1+2t . 2
2

2

1 1+2t 1 2 2 2 ∴点 M 到准线 l 的距离 d=x0+ = + =1+t .又 AB=2x0+p=1+2t +1=2+2t , 2 2 2 1 ∴d= AB,故以 AB 为直径的圆与准线 l 相切. 2 14.抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135°的直线,被抛物线 所截得的弦长为 8,试求该抛物线的方程. 解析 依题意,设抛物线方程为 y =2px(p>0), 1 则直线方程为 y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、D, 则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x1+ +x2+ , 2 2 即 x1+x2+p=8.① 又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点, 1 ? ?y=-x+ p, 2 由? 2 ? ?y =2px,
2 2

p

p

消去 y,

得 x -3px+ =0,所以 x1+x2=3p. 4 将其代入①得 p=2,所 以所求抛物线方程为 y =4x.
2

p2

4

当抛物线方程设为 y =-2px(p>0 )时, 同理可求得抛物线方程为 y =-4x. 综上,所求抛物线方程为 y =4x 或 y =-4x. 【点评】 2px p> 根据问 题的条件,抛物线方程可能是 y =2px p> ,任何一种情况都不要漏掉
2 2 2 2

2

,也可能是 y =-

2

要由定“性”和“量”两个方面来确定抛物线的方程.定“性”, 即确定开口方向, 便于 设抛物线的方程.定“量”,即求所设方程中的参数 p. 15.设抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F,Q 是抛物线上除顶点外的任意一点,直线 QO 交准线 → → 于 P 点,过 Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于 R 点,求证:PF·RF=0.
2

? ? 2 证明 y =2px(p>0)的焦点 F? ,0?准线为 x=- . 2 ?2 ?
p p
设 Q(x0,y0)(x0≠0),则 R?- ,y0?, ? 2 ? 直线 OQ 的方程为 y= x,此直线交准线 x=- 于 P 点, x0 2

? p

?

y0

p

? ? 2 易求得 P?- ,- ?.∴y0=2px0, 2x0? ? 2
p py0 py0 2 2 → → ? py0? 2 ∴PF·RF=?p, ?·(p,-y0)=p - =p -p =0. 2x0 ? 2x0?
16.如图所示,抛物线关于 x 轴对 称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,
2

y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 解析 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y =2px(p>0). ∵点 P(1,2)在抛物线上,∴2 =2p×1,解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y =4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB, 则 kPA=
2 2 2

y1-2 y2-2 (x1≠1),kPB= (x2≠1), x1-1 x2-1

∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB.
5

由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得

y2 1=4x1,① y2 2=4x2,②


y2-2 =- ,∴y1+2=-(y2+2). 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4

y1-2

∴y1+y2=-4. 由①-②得,y1-y2=4(x1-x2), ∴kAB=
2 2

y1-y2 4 = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2

6


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