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辽宁师大附中2018届高三上学期期中考试数学(理)+Word版含答案

时间:2017-12-24

2017--2018 年度上学期辽师附中高三年级期中考试

数学试卷(理)
命题人:高三理科备课组
时间:120 分钟

复查人:高三理科备课组
满分:150 分

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题(单选题,每小题 6 分,共 60 分) 1、 已知集合
A ? ? y y ? log2 x , x ? 1?
1? ? ?y 0 ? y ? ? 2?
1 ? ? B ? ? y y ? ( ) x , x ? 1? 2 ? ?

, 集合 C. ?

, 则 A? B ? D. ?
? 1 ? ? y ? y ? 1? 2 ?





1? ? ?y y ? ? 2? ? A.

B. ?

y y ? 1?

2.定义运算 A.第一象限 3.已知 A. B.

=ad﹣bc,则符合条件

=0 的复数 z 对应的点在 D. 第四象限 ( ( ) )

B.第二象限 C.C 第三象限 ,则 C. D.

4. 设 l,m,n 是空间三条互相不重合的直线,α,β 是空间两个不重合的 平面,则下列结论中 ①当 m ? ?,且 n ? ?时,“n∥m”是“n∥α ”的充要条件 ②当 m ? ?时,“m⊥β ”是“α ?β ”的充要条件 ③当 n⊥α 时,“n⊥β ”是“α ∥β ”成立的充要条件 ④当 m ? ?且 n 是 l 在α 内的射影时,“m⊥n”是“l⊥m”的充要条件 正确的个数有 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 5.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是 ( ) A. B. C.5 D.6

6. O 为 ?ABC 外心, AB = 4, AC = 3, 则 BC × OA 的值为

??? ? ??? ?





A.

7 2

B.

5 2

C.

?

5 2

D. ?

7 2

1

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为 A. B. C. D.3 ( )

8.函数 f(x)=x ﹣ax +2x 在实数集 R 上单调递增的一个充分不必要条件 是 ( ) A.a∈[0,6] B. C.a∈[﹣6,6] D.a∈[1,2] 9.函数 y ?

3

2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x ( ?2 ? x ? 4 )的图像所有交 x ?1

点的横坐标之和等于 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 ? 10.已知 PC 为球 O 的直径, A, B 是球面上两点, 且 AB ? 2 , ?APC ? ?BPC ? ,
4

若球 O 的体积为 32? ,则棱锥 A ? PBC 的体积为(
3

) D. 3 2
2

A. 4 3

B. 4 3
3

C. 2
2

11.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为 整数的点)按如下规则表上数字标签:原点处标 0, 点(1,0)处标 1,点(1,-1)处标 2,点(0,-1) 处标 3,点(-1,-1)处标 4,点(-1,0)标 5,点 (-1,1)处标 6,点(0,1)处标 7,以此类推,
2 则标签 2009 的格点的坐标为

y

? ? ? ?

? ?
6

? ?
7

? ?
8

? ?9 ?10 ? 11 ?
12

?5 ? ?
4

?0 ?3 ?

?1 ?2 ?
13

x

(

)

?

A.(1005,1004) C.(2009,2008)

B.(1004.1003) D.(2008,2007)
2 2

12.设函数 f ( x) ? ln x ? x ? a , 若曲线 y ? e ? 1 sin x ? e ? 1 上存在点 ( x0 , y0 ) 使得

f ( f ( y0 )) ? y0 成立则实数 a 的取值范围为(
A.
[0,e ? e ? 1]
2

) D.
[0,e2 ? e ?1]

B.

[0,e2 ? e ?1]

C.

[0,e ? e ? 1]
2

2

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.变量 x ,y 满足约束条件 ?x
? 2y ? 2 ,则目标函数 z ? 3 ? ?2x ? y ? 4 ? 4 x ? y ? ?1 ?

x ? y ? 3 的取

值范围是______. 14.定积分
?
1 0

? 1 1 ? 等于____________. ? 1? x2 ? ?dx ? 4 2 x ? 2? ? ?

15.若实数 a,b ,c ,d 满足 b ? a 2 ? 3 ln a ? (c ? d ? 2)2 ? 0
2 2 则(a ? c) ? (b ? d ) 的最小值为____.

16.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 0,a2 ? 3 且(n ? 1) an +1 ? (n ? 1) an ? n ? 1 (n ? N ?,n ? 2), 数列 ?bn ? 满足 bn
?

a n ? 1 ? an ?1 ? 1 ? ( )n ?1 ,则数列 ?bn ? 的最大项为第___项
8 11

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明,证明过 程和演算步骤.) 17(10 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知
sin 2 B ?C 1. +sinBsinC= 2 4

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b+c=2,求 a 的取值范围. 18(12 分)已知数列{an}满足 Sn= ,等比数列{bn}满足 b2=4,b4=16.

(1) 求数列{an}、 数列{bn}的通项公式; (2) 求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn; (3)在(2)的条件下,当 n≥2 时, 范围. 19(12 分)已知函数 象如图所示: (1)求 f(x)的单调区间和对称中心坐标; 的部分图 +2n﹣5≥k 恒成立,求 k 的取值

3

(2) 将f (x) 的图象向左平移

个单位, 在将横坐标伸长到原来的 2 倍,

纵坐标不变,最后将图象向上平移 1 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 函数 y=g(x)在 上的最大值和最小值.

20.已知函数 f ( x)对任意 x ? R都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 2 (I)求 f ( 1 )和f ( 1 ) ? f ( n ? 1)( n ? N *) 的值;
2 n n

(II)数列{an}满足 a

n

1 2 n ?1 ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1), (n ? N *) 数列{an}是 n n n

等差数列吗?请给予证明; (III)b ? n
4 16 试比较 2 2, , S n ? 32 ? , Tn ? b12 ? b2 ? b12 ? ? ? bn 4an ? 1 n

Tn 与 Sn 的大小.

21 ( 12 分)如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ,
?ABC ? 120? ,Q 是 AC 上的点, AB1

/ / 平面 BC1Q .

(Ⅰ)确定点 Q 在 AC 上的位置; (Ⅱ)若 QC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 角 Q ? BC1 ? C 的余弦值. 22(12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 x 3
3

2 4

,求二面

?

3 2 ,( x ? log a x 2

a ? 0 且 a ? 1 )为定义域

上的增函数, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导数, 且 f ? ? x ? 的最小值小于等于 0 . (Ⅰ)求 a 的值; ( Ⅱ ) 设 函 数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x3 ? 4 ln x ? 6 x , 且 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , 求 证 :
3

x1 ? x2 ? 2 ? 6 .

4

2017--2018 年度上学期辽师附中高三年级期中考试

数学试卷答案
1.A 2. B 3.C 4. B 5.C 6.A 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 15.8 16. 6 13. ? 3 ? ? 2 ,9? 14. ? ? 3 ? 1 ln 2
? ?
6 4 2

12 .D

17..【解答】解: (Ⅰ)由已知得 化简得 ,由于 0<B+C<π,则 (Ⅱ)根据余弦定理,得 =b ﹣2b+4=(b﹣1) +3. 所以 a 的取值范围是
2 2

, ,整理得 ,所以
2 2

,即 . =b +c +bc=b +(2﹣b) +b(2﹣b)
2 2

又由 b+c=2,知 0<b<2,可得 3≤a <4, .

2

18. (1)数列{an}满足 Sn=

,∴n=1 时,a1=S1=1;n≥2 时, =n.n=1 时也满足,∴an=n. =16,解

an=Sn﹣Sn﹣1=



设等比数列{bn}的公比为 q>0,∵b2=4,b4=16.∴b1q=4, 得 b1=q=2,∴bn=2 . (2) an?bn=n?2n.
n

数列{an?bn}的前 n 项和 Tn=2+2×22+3×23+?+n?2n, 2Tn=22+2×23+?+(n﹣1) ?2n+n?2n+1,

∴﹣Tn=2+22+?+2n﹣n?2n+1= (3) 在 (2) 的条件下, 当 n≥2 时
﹣5

﹣n?2n+1, ∴Tn=(n﹣1) ?2n+1+2. +2n﹣5≥k 恒成立, 等价于: k≤ +2
n﹣5

+2n

(n≥2)恒成立. ∵n≥2 时,

≥2

= ,当且仅当

n=2 时取等号.

5

∴k≤ ,∴k 的取值范围是 19.解: (1)由图象可知 由图象及五点法作图可知: . (2)由(1)知, 令 , ,得

. ,又由于 ,所以 ,所以 ,所以 ,

, , , . , ,得 时,g(x)取

所以 f(x)的单调递增区间为 令 ,得

所以 f(x)的对称中心的坐标为 (3)由已知的图象变换过程可得: 因为 得最小值 当 ,所以 , 时,即 x=0 g(x)取得最小值 ,所以当



20. 解析:(1)f(x)对任意 x ? R都有 f ( x) ? f (1 ? x) ?
1 1 1 1 x ? 时有 f ( ) ? f (1 ? ) ? 2 2 2 2 1 1 ? f( )? 2 4

1 2

令x ?

1 n ?1 1 1 1 1 1 )? (n ? N *)时有 f ( ) ? f (1 ? ) ? ? f ( ) ? f ( n n 2 n n n 2
f(x)对任意 x∈R 都有

(2)数列{an}是等差数列

f ( x) ? f (1 ? x) ?
则令 x ?

1 , 2

k k n?k 1 时 有f ( ) ? f ( )? n n n 2

6

1 2 n ?1 ? a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) n n n
? a n ? f (1) ? f ( n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n n

1 n ?1 n ?1 1 ? 2a n ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f (1) ? f (0)] n n n n
? 2a n ? n ?1 (n ? N *) ? a n 2

?

n ?1 ( n ? N *) ? a 4
bn ?

n ?1

? an ?

(n ? 1) ? 1 n ? 1 1 ? ? (n ? N *) 4 4 4

∴{an}是等差数列.

(3)由(2)有

4 4 ? (n ? N *) 4a n ? 1 n

2 2 Tn ? b12 ? b2 ? b12 ? ? ? bn ?

42 42 42 42 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 16( 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 2 2 2 1 2 3 n 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 16(1 ? ? ??? ) ? 16(1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 2 3 n ?1 n 1 16 ? 16(2 ? ) ? 32 ? ? Sn n n

该题也可用数学归纳法做. 21. 因为直线 AB1∥平面 BC1Q,AB1? 平面 AB1C,平面 BC1Q∩平面 AB1C =PQ, 所以 AB1∥PQ. 因为 P 为 B1C 的中点, 且 AB1∥PQ, z B 所以,Q 为 AC 的中点. ?4 分 1 (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系. A1 设 AB=BC=a,BB1=b,则 P 面 BC1C 的法向量为 m=(1,0,0). 3 1 B (0,0,0),C1(0,a,b),Q a, a,0 , 4 4 B 3 3 A =(0,a,b),= - a, a,b . Q 4 4 x 2 因 QC1 与面 BC1C 所成角的正弦值为 , 4 3 a |m·→ QC1| ___________ 4 ___________ ________ = 2,解得 b= 3 a. 故 = 4 2 3 2 2 |m|·|→ QC1| a +b 4

∴Tn≤Sn?

C1

(

)

(

)

C

y

?

?8 分
7

设平面 C1BQ 的法向量 n=(x,y,z),则 3 3 3 - ax+ ay+ az=0, 4 4 2 即 取 n=(1,- 3,2). 3 ay+ az=0, 2 ?10 分 m·n 2 所以有 cos ?m,n?= = . |m|·|n| 4 2 故二面角 Q-BC1-C 的余弦值为 . 4 12 分

? ? ?

?

22.
f ?( x ? x 2 ? x ?







1 ,????????????????????1 分 ) 2 3 x ln a

由 f ( x ) 为增函数可得, f ?( x) ? 0 恒成立,
1 则 由 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ? 2 x 3 ? 3 x ?2 ? x ln a ln a

, 设 m( x) ? 2x3 ? 3x2 , 则

m?( x) ?

2 6 x ?

, 6x

若由 m?( x) ? 6x ? x ?1? ? 0 和 m?( x) ? 6x ? x ?1? ? 0 可知,

m( x) 在 ? 0,1? 上减,在 ?1, +? ? 上增,在1 处取得极小值即最小值,
所以 m( x)min =m(1) ? ?1 ,所以 ?1 ? ? 1 ,1 ? 1 ,
ln a

ln a

当 a ? 1 时,易知 a ? e , 当 0 ? a ? 1 时,则 1 ? 0 ,这与1 ?
ln a

1 ln a

矛盾, 所 以









使



f ?( x) ? 0









a ? e ???????????????3 分
由 f ?( x)min ? 0 可得, 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,即 2 x3 ? 3x 2 ? ? 1 ,
x ln a
ln a

由之前讨论可知, ?1 ? ? 1 ,
ln a

当 1 ? a ? 0 时 , ?1 ? ?

1 恒 成 立 , ln a

当 a ?1 时 ,

8

1?

1 ? ln a ? 1 ? ln a ? ln e ? a ? e , ln a





a ? e ...................................................................................................................6
分 (II) g ( x) ? 2 x3 ? 3 x 2 ? ln x ? 2 x3 ? 4 ln x ? 6 x= ? 3 x 2 ? 3ln x ? 6 x ,
3 2 3 2

因为 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,
? 2 所以 ? 3 x12 ? 3ln x1 ? 6 x1 + ? ? 3 x2 ? 3ln x2 ? 6 x2 =0 , 2 ? ? 2 ? ?
2 所以 ? 3 ? x12 ? x2 ? ? 3ln( x1x2 ) ? 6 ? x1 ? x2 ? ? 0

2

2 1 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? ? ? ? ln( x1 x2 ) ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 0 ? ? 2

?

2 1 ? x1 ? x2? ? x1 x2 l?n ( x1 x)2 ??2 2

x1?? x2 ?0


? 1 ? x1 2



?

2

2?

?

, ……………………………………..9 分 ? x2

l

令 x1 x2 =t , g (t ) ? ln t ? t , g ?(t ) ? ? 1 ?

1 t

1? t , t

g (t ) 在 ? 0,1? 上增,在 ?1, +? ? 上减,
g (t ) ? g (1) ? ?1 ,所以 ?
整理得 x1 ? x2
2 1 x1 ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ? ?1 , ? 2

?

?

2

? 4 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 0 ,

解得 x1 ? x2 ? 2 ? 6 或 x1 ? x2 ? 2 ? 6 (舍), 所 以

x1 ? x2 ? 2 ? 6



证………………………………………………………….. 12 分

9

10


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