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2013高考数学高频考点、提分密码:第二部分 导数

时间:2013-04-07


第二部分:导数 一、考试要求: 1、了解导数概念的实际背景。 2、理解导数的几何意义。 3、掌握函数 y=xn (n∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数。 4、理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的 单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。 5、会利用导数求最大值和最小值的方法,解决科技、经济、社会中的某些简单 实际问题。 二、知识与方法 1、导数的定义 设函数 y=f(x)在点 x0 及其近旁有定义,当自变量 x 在 x0 处有增量(或称改为量) △x,那么函数 y 相应的有增量(或称改变量)△y, △y=f(x0+△x)-f(x0)
?y 就叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0+△x 之间的平均变化率. ?x ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = . ?x ?x ?y 如果当△x→0 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在 x0 处可导,并把这个 ?x

比值

极限值叫做函数 f(x)在 x0 处的导数(或称变化率) ,记作 f′(x0)或 y′|x=x0 或 f′(x)|x=x0.即: f′(x0)= lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
0

这里须指出:f′(x0)是函数 y=f(x)在 x0 点的导数值,瞬时速度 vt 就是位移函数 s(t)在点 t0 处的导数,即:S′(t0)= vt
0

2、求函数 y=f(x)在 x0 点处的导数的步骤 ⑴求函数的增量△y=f(x0+△x)-f(x0) ⑵求平均变化率:
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = . ?x ?x ?y . ?x ?0 ?x

⑶取极限,求函数在 x0 点的变化率,即导数:f′(x0)= lim

3、 “函数 f(x)在点 x0 处的导数”“导函数”及“导数”的概念间的区别与联系: 、 ⑴函数在一点处的导数,就是在该点的函数增量△y=f(x0+△x)-f(x0)与自变量 的增量△x 之比的极限。它是一个常数,不是变量。 ⑵如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点处均可导,这时称 y=f(x)在区间(a,b) 内可导,对于区间(a,b)内一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′(x0), 这样的对应就构成了以区间(a,b)为定义域的一个新函数,称为函数 f(x)的导函 数,简称导数,所以函数的导数是对某一区间内任意一点 x 而言的。 ⑶y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值, 即 f′(x)| x? x =f′(x0),值得注意的是:f′(x0)≠[f(x0)]′
0

4、导数的几何意义 ⑴函数 f(x)在点 x0 处有导数,则函数 f(x)的曲线在该点处必有切线,且导数值 是该切线的斜率;但函数 f(x)的曲线在点 x0 处有切线,函数 f(x)在该点处不一 定可导。如 f(x)= x 在 x=0 有切线,但不可导。 ⑵函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是指:曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)) 处切线的斜率,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0),切线 方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 5、常见函数的导数公式 ⑴C′=0 (C 为常数) ⑵(xn)′=nxn-1 (n∈Q) 6、可导函数四则运算法则 设函数 f(x)、g(x)都是可导函数,则: (f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x) 三、导数的应用 1、利用导数判断函数的单调性 设函数 y=f(x)在某区间内可导,并且在该区间内,f′(x)>0,则 f(x)在该区间 内为增函数;若在该区间内,f′(x)<0,则 f(x)在该区间内为减函数. 指出: 若可导函数只有某区间的个别点处导数等于零,不影响函数在该区间内的 单调性,如 y=x3,在(-∞,+∞)内,y=3x2≥0(只在 x=0 处 y′=0)不影响 y=x3 在 (-∞,+∞)内为单调增加. 2、求可导函数 f(x)单调区间的一般方法和步骤如下: ⑴确定函数 f(x)的定义区间; ⑵求函数 f(x)的导数 f′(x); ⑶令 f′(x)>0,所得 x 的范围(区间)为函数 f(x)的单调增区间;令 f′(x)<0, 得单调减区间. 3、利用导数求函数的极值 ⑴极值的定义: 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 左右近旁的所有 x 值, 都有 f(x)<f(x0) 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0), 如果对 x0 左右近旁的所有 x 值,都有 f(x)>f(x0) 我们就说 f(x0)是 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0) 极大值、极小值统称为 f(x)的极值. 指出: 一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或 等于极大值);极值是函数的局部性质,它仅与左右近旁的函数值进行比较;极 值点一定是区间的内点。 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,不是充分条 件。 ⑵极值的判定方法。 当函数 f(x)在 x0 处连续时,判别 f(x0)是极大(小)值的方法是: ①如果在 x0 在左侧近旁 f′(x0)>0,右侧近旁 f′(x0)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 在左侧近旁 f′(x0)<0,右侧近旁 f′(x0)>0,那么 f(x0)是极小值. ⑶求函数的极值的步骤: ①求函数的定义域 ②求导数 f′(x)

③求导数 f′(x)=0 的根. ④检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右的符号,如果左正、右负,那么 f(x) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 4、函数的最大值与最小值 ⑴闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有 最大值和最小值). ⑵求闭区间[a,b]上的连续函数 f(x)的最大值和最小值的步骤: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与端点函数值 f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值. ⑶如果函数 f(x)在开区间(a,b)或(-∞,+∞)内可导且有惟一的极值点 x0,那么 当 f(x0)是极大值时,f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值;当 f(x0)是极小值时, f(x0)就是 f(x)在该区间上的最小值. ⑷对于实际问题,如果连续函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个点使 f′(x)=0, 而且实际问题本身又可以知道 f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值, f(x0) 则 就是所求的最大值或最小值,这时也就无须判断是极大值还是极小值.


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