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2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.4直线平面平行的判定及性质模拟演练文

时间:2017-10-27

2018 版高考数学一轮总复习 第 7 章 立体几何 7.4 直线、平面平行 的判定及性质模拟演练 文
[A 级 基础达标](时间:40 分钟) 1. [2015·北京高考]设 α , β 是两个不同的平面, m 是直线且 m? α , “m∥β ”是“α ∥β ”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 B ? 解析 当 m∥β 时,过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能相交,因而 m∥β / α ∥β ; 当 α ∥β 时,α 内任一直线与 β 平行,因为 m? α ,所以 m∥β .综上知,“m∥β ”是“α ∥β ”的必要而不充分条件. 2.[2017·福建联考]设 l,m,n 表示不同的直线,α ,β ,γ 表示不同的平面,给出 下列四个命题: ①若 m∥l,且 m⊥α ,则 l⊥α ; ②若 m∥l,且 m∥α ,则 l∥α ; ③若 α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,则 l∥m∥n; ④若 α ∩β =m,β ∩γ =l,γ ∩α =n,且 n∥β ,则 l∥m. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 答案 B 解析 对①,两条平行线中有一条与一平面垂直,则另一条也与这个平面垂直,故①正 确;对②,直线 l 可能在平面 α 内,故②错误;对③,三条交线除了平行,还可能相交于同 一点,故③错误;对④,结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上,①④正 确,故选 B. 3.[2017·南开模拟]下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 答案 C 解析 若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线, 也可能相交,所以 A 错;一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离 相等,则这两个平面平行,故 B 错;若两个平面垂直同一个平面,两平面可以平行,也可以 相交,故 D 错;故选项 C 正确. 4.若平面 α ∥平面 β ,直线 a∥平面 α ,点 B∈β ,则在平面 β 内且过 Β 点的所有 直线中( )
1

) B.2 D.4

A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一与 a 平行的直线 答案 A 解析 当直线 a 在平面 β 内且过 B 点时,不存在与 a 平行的直线,故选 A. 2a 5. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 棱长为 a, M, N 分别为 A1B 和 AC 上的点, 若 A1M=AN= , 3 则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( A.相交 C.垂直 答案 B ) B.平行 D.不能确定

2a 解析 连接 CD1,在 CD1 上取点 P,使 D1P= , 3 ∴MP∥BC,PN∥AD1. ∵AD1∥BC1,∴PN∥BC1. ∴MP∥面 BB1C1C,PN∥面 BB1C1C. ∴面 MNP∥面 BB1C1C,∴MN∥面 BB1C1C. 6.设 α ,β ,γ 为三个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,在命题“α ∩β =m,

n? γ ,且________,则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题.
可以填入的条件有( A.①② C.①③ 答案 C 解析 由面面平行的性质定理可知①正确;当 n∥β ,m? γ 时,n 和 m 在同一平面内, 且没有公共点,所以平行,③正确. ) B.②③ D.①②③ ①α ∥γ ,n? β ;②m∥γ ,n∥β ;③n∥β ,m? γ .

2

7.[2017·云南统考]设 a,b 为不重合的两条直线,α ,β 为不重合的两个平面,给出 下列命题: ①若 a? α ,b?α ,a,b 是异面直线,那么 b∥α ; ②若 a∥α 且 b∥α ,则 a∥b; ③若 a? α ,b∥α ,a,b 共面,那么 a∥b; ④若 α ∥β ,a? α , 则 a∥β . 上面命题中,所有真命题的序号是________. 答案 ③④ 解析 ①中的直线 b 与平面 α 也可能相交,故不正确;②中的直线 a,b 可能平行、相 交或异面,故不正确;由线面平行的性质得③正确;由面面平行的性质可得④正确.

8.如图所示,在四面体 ABCD 中,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,则四面体的四个面 中与 MN 平行的是________. 答案 平面 ABC、平面 ABD

解析 连接 AM 并延长,交 CD 于 E,连接 BN,并延长交 CD 于 F,由重心性质可知 E,F 重合为

EM EN 1 一点,且该点为 CD 的中点 E,连接 MN,由 = = ,得 MN∥AB,因此,MN∥平面 ABC 且 MN MA NB 2
∥平面 ABD.
3

9.[2017·沈阳模拟] 如图,在多面体 ABCDEF 中,DE⊥平面 ABCD,AD∥BC,平面 BCEF∩平面 ADEF=EF,∠BAD =60°,AB=2,DE=EF=1. (1)求证:BC∥EF; (2)求三棱锥 B-DEF 的体积. 解 (1)证明:∵AD∥BC,AD? 平面 ADEF,BC?平面 ADEF,∴BC∥平面 ADEF. 又 BC? 平面 BCEF,平面 BCEF∩平面 ADEF=EF, ∴BC∥EF.

(2)过点 B 作 BH⊥AD 于点 H. ∵DE⊥平面 ABCD,

BH? 平面 ABCD,
∴DE⊥BH. ∵AD? 平面 ADEF,

DE? 平面 ADEF, AD∩DE=D,
∴BH⊥平面 ADEF. ∴BH 是三棱锥 B-DEF 的高. 在 Rt△ABH 中,∠BAD=60°,AB=2,故 BH= 3.

4

∵DE⊥平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, ∴DE⊥AD. 由(1)知 BC∥EF,且 AD∥BC, ∴AD∥EF,∴DE⊥EF. ∴三棱锥 B-DEF 的体积

V= ×S△DEF×BH= × ×1×1× 3=

1 3

1 1 3 2

3 . 6

10.如图,在底面是正三角形的直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=2,D 是 BC 的中点.

(1)求证:A1C∥平面 AB1D; (2)求点 A1 到平面 AB1D 的距离. 解 (1)证明:连接 A1B,交 AB1 于点 O,连接 OD.

∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴四边形 ABB1A1 是平行四边形, ∴O 是 A1B 的中点. 又 D 是 BC 的中点, ∴OD∥A1C, ∵OD? 平面 AB1D,A1C?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. (2)由(1)知 O 是 A1B 的中点,
5

∴点 A1 到平面 AB1D 的距离等于点 B 到平面 AB1D 的距离. ∵ABC-A1B1C1 是直三棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC, ∴平面 BCC1B1⊥平面 ABC. ∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC,∴AD⊥平面 BCC1B1,∴AD⊥B1D. 设点 B 到平面 AB1D 的距离为 d, ∵VB1-ABD=VB-AB1D, ∴S△ABD·BB1=S△AB1D·d, ∴d= =

S△ABD·BB1 AD·BD·BB1 BD·BB1 = = S△AB1D AD·B1D B1D

2 5 , 5

2 5 ∴点 A1 到平面 AB1D 的距离为 . 5 [B 级 知能提升](时间:20 分钟) 11.[2017·兰州调研]设 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 内的两条不同的直 线,l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α ∥β 的一个充分而不必要条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β 答案 D ? 解析 m∥l1,且 n∥l2? α ∥β ,但 α ∥β / m∥l1 且 n∥l2,∴“m∥l1,且 n∥l2”是 “α ∥β ”的一个充分不必要条件. 12.[2015·安徽高考]已知 m,n 是两条不同直线,α ,β 是两个不同平面,则下列命 题正确的是( ) A.若 α ,β 垂直于同一平面,则 α 与 β 平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若 α ,β 不平行,则在 α 内不存在与 β 平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案 D 解析 A 中,垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行,故 A 错误;B 中,平行 于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面,故 B 错误;C 中,若两个平面相交,则一 个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行,故 C 错误;D 中,若两条直线垂直于同 一个平面,则这两条直线平行,所以若两条直线不平行,则它们不可能垂直于同一个平面, 故 D 正确. 13.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1 cm,过 AC 作平行于对角线 BD1 的截面,则截面面 积为________cm . 答案 6 4
6
2

)

B.l1∥α 且 l2∥α D.m∥l1 且 n∥l2

解析 如图所示,截面 ACE∥BD1,平面 BDD1∩平面 ACE=EF,其中 F 为 AC 与 BD 的交点, ∴E 为 DD1 的中点, 1 3 6 2 ∴S△ACE= × 2× = (cm ). 2 2 4

π 14.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AB∥CD,∠BAD= ,AB=1,CD=3,M 3 为 PC 上一点,且 MC=2PM. (1)证明:BM∥平面 PAD; (2)若 AD=2,PD=3,求点 D 到平面 PBC 的距离.

7

解 (1)证明:如上图,过点 M 作 ME∥CD,交 PD 于点 E,连接 AE. 因为 AB∥CD,故 AB∥EM. 又因为 MC=2PM,CD=3,且△PEM∽△PDC, 故

EM PM 1 = = ,解得 EM=1. DC PC 3

由已知 AB=1,得 EM 綊 AB,故四边形 ABME 为平行四边形,因此 BM∥AE, 又 AE? 平面 PAD,BM?平面 PAD, 所以 BM∥平面 PAD. π (2)连接 BD,由已知 AD=2,AB=1,∠BAD= , 3 可得 DB =AD +AB -2AD·AB·cos∠BAD=3, 即 DB= 3. 因为 DB +AB =AD ,故△ABD 为直角三角形, π 且∠ABD= . 2 π 因为 AB∥CD,故∠BDC=∠ABD= . 2 又 DC=3,故 BC= DC +DB =2 3. 由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥DB,PD⊥DC, 故 PB= PD +DB =2 3,PC= PD +DC =3 2, 则 BC=PB,故△PBC 为等腰三角形, 1 其面积为 S△PBC= ·PC· 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ? BC2-? PC?2= ×3 2×
1 2 ? ? 1 2

9 3 15 12- = . 2 2

1 15 设点 D 到平面 PBC 的距离为 h,则三棱锥 D-PBC 的体积为 V 三棱锥 D-PBC= ·S△PBC·h= 3 2

h.
而直角三角形 BDC 的面积为 1 2 1 2 3 3 , 2
8

S△BDC= ·DC·DB= ×3× 3=

三棱锥 P-BDC 的体积为

V 三棱锥 P-BDC= ·S△BCD·PD= ×

1 3

1 3 3 3 3 ×3= . 3 2 2 15 3 3 3 5 h= ,故 h= . 2 2 5

因为 V 三棱锥 D-PBC=V 三棱锥 P-BDC,即

3 5 所以点 D 到平面 PBC 的距离为 . 5

9


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