nbhkdz.com冰点文库

《志鸿优化设计》2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习题库:第八章立体几何8.7空间向量的应用练习

时间:2014-02-08


课时作业 42

空间向量的应用

一、选择题 1.平面 α 经过三点 A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面 α 的法向 量不垂直的是( ). 1 ? A.? B.(6,-2,-2) ?2,-1,-1? C.(4,2,2) D.(-1,1,4) 2.已知 AB =(1,5,-2), BC =(3,1,z),若 AB ⊥ BC , BP =(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为( ). 33 15 40 15 A. ,- ,4 B. ,- ,4 7 7 7 7 40 40 C. ,-2,4 D.4, ,-15 7 7 3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所 成的角为( ).

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

A.30° B.45° C.60° D.90° 4.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直, 则 m,n 的值分别为( ). A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 5.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC 上的 2a 点,A1M=AN= ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ). 3

A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 6. 在空间直角坐标系 O-xyz 中, 平面 OAB 的一个法向量为 n=(2, -2,1), 已知点 P(- 1,3,2),则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( ). A.4 B.2 C.3 D.1 7.如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABEF 是矩形, 1 且 AF= AD=a,G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( ). 2

6 3 6 2 B. C. D. 6 3 3 3 二、填空题 8.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小 为________. 9.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,∠ABC= 90° ,点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成角的大小是__________. A.

10.已知 PD⊥正方形 ABCD 所在平面,PD=AD=1,则点 C 到平面 PAB 的距离 d= __________. 三、解答题 11.如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,△ABC 为等腰直角三角形, ∠BAC=90° ,且 AB=AA1,D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点.求证:

1 12.(2012 课标全国高考)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= AA1,D 是棱 2 AA1 的中点,DC1⊥BD.

(1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF.

(1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

参考答案
一、选择题 1.D 解析: AB =(2,1,1), AC =(3,-1,-1), 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z).

??? ?

????

??? ? ? ? AB ? n = 2 x ? y ? z ? 0, ? ???? ? ? AC ? n = 3x ? y ? z ? 0,

?x=0, ? 得? ? ?y=-z. 取 y=1,则 n=(0,1,-1). D 选项中(-1,1,4)· (0,1,-1)=1-4=- 3≠0.故选 D.
[来源:学§科§网 ]

2.B 解析: AB ⊥ BC ? AB · BC =3+5-2z=0,∴z=4. 又 BP⊥平面 ABC, ∴ BP · AB =x-1+5y+6=0,① 40 15 由①②得 x= ,y=- . 7 7 3.D 解析:以 D 点为原点,建立空间直角坐标系,

??? ?

??? ?

? ??? ? ???

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? BC =3x-3 +y-3z=0,② BP ·

1 1 ? 设正方体棱长为 1,则相关点的坐标为 C(0,1,0),E? ?2,2,1?,B(1,1,0),D(0,0,0),

??? ? 1 1 ? ∴ CE =? ?2,-2,1?,

??? ? BD =(-1,-1,0). ? ??? ? ??? 1 1 ∴ CE · BD =-2+2+0=0. ? ??? ? ??? ∴ CE ⊥ BD ,即 CE⊥BD.
4.A 解析:c=(m,m,m)+(0, 2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1). ∵c 与 a 及 b 都垂直, ? a=0, ?c· ∴? ?c· b=0, ?
?m+4+m+2n-4+m-n+1=0, ? 即? ? ?2m+4n-8-m+n-1=0, ? ? ?3m+n+1=0, ?m=-1, 即? 解得? ?m+5n-9=0, ?n=2. ? ? 5.B 解析:分别以 C1B1,C1D1,C1C 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系.

∵A1M=AN=

2 a, 3

2 a? ?2 2 ? ∴M? ?a,3a,3?,N?3a,3a,a?.

???? ? a 2 ? ∴ MN =? ?-3,0,3a?.
∴ C1 D1 =(0,a,0).

又 C1(0,0,0),D1(0,a,0),

?????
?????

C1 D1 =0.∴ MN ⊥ C1 D1 . ∴ MN ·
∵ C1 D1 是平面 BB1C1C 的法向量, 且 MN ? 平面 BB1C1C , ∴MN∥平面 BB1C1C.

???? ? ?????

???? ?

?????

6.B 解析: OP =(-1,3,2),| OP |= 1+9+4= 14,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? OP ? n 14 ?-2-6+2? 14 |cos〈 OP ,n〉|= ??? =? ? ?= 7 .d= 7 × 14=2. 14 × 3 ? ? OP ? n

7.C 解析:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,

???? ???? 则 A(0,0,0), B(0,2a,0), C(0,2a,2a), G(a, a,0), F(a,0,0),AG =(a, a,0),AC =(0,2a,2a), ??? ? ??? ? BG =(a,-a,0), BC =(0,0,2a),
[来源 :学科网]

设平面 AGC 的法向量为 n1=(x1,y1,1),

???? ? ?ax1+ay1=0, ?x1=1, ? ? AG ? n1 = 0, ? 由 ? ???? ?? ?? ?n1=(1,-1,1). ? ? 2 ay y ? ? 1+2a=0 1=-1 AC ? n = 0 ? ? 1 ??? ? BG ? n1 2a 6 sin θ= ??? = = . ? 3 2 a × 3 BC n1
二、填空题 8.45° 或 135° 解析:cos〈m,n〉= m· n 1 2 = = , |m||n| 2 2

∴ 〈m,n〉=45° .∴二面角为 45° 或 135° . 9.60° 解析:分别以 BA,BC,BB1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,如图,设 AB=1,

1 1? ? ? 则 B(0,0,0),E? ?2,0,0?,F?0,0,2?,C1(0,1,1),

???? ? ??? ? 1 1 - ,0, ?, BC1 =(0,1,1). ∴ EF =? 2? ? 2

1 ??? ? ???? ? ? ??? ? ???? 2 EF ? BC1 1 cos〈 EF , BC1 〉= ??? = , ? ???? ? = 2 2 EF BC1 × 2 2 ∴直线 EF 和 BC1 所成角的大小为 60° . 2 10. 解析:以 D 为原点,以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立 2 如图所 示的空间直角坐标系.

则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

∴ AP =(-1,0,1), AB =(0,1,0), AC =(-1,1,0), CP =(0,-1,1). 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ? ? ?-x+z=0, ?n ? AP ? 0, ? ∴ ? ??? 即? ? ?y=0, ? ?n ? AB ? 0, ? ???? AC ? n n
|-1| 2 = = . 2 2

[来源 :学科网][来源 :学科网 ZXXK]

令 x=1,则 z=1,∴n=(1,0,1). ∴d=

三、解答题 11.证明:如图建立空间直角坐标系 A-xyz,令 AB=AA1=4,

则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4). (1)取 AB 中点为 N, 则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),

???? ??? ? ??? ? ???? ∴ DE = NC .∴DE∥NC.
???? ?

∴ DE =(-2,4,0), NC =(-2,4,0). 又 NC 在平面 ABC 内,故 DE∥平面 ABC.

(2) B1 F =(-2,2,-4), EF =(2,-2,-2), AF =(2,2,0),

??? ?

??? ?

???? ? ??? ? B1 F · EF =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, ???? ? ??? ? 则 B1 F ⊥ EF ,∴B1F⊥EF. ???? ? ??? ? ∵ B1 F · AF =(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. ???? ? ??? ? ∴ B1 F ⊥ AF ,即 B1F⊥AF.

又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面 AEF. 12.解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形. 由于 D 为 AA1 的中点,故 DC=DC1. 1 又 AC= AA1,可得 DC12+DC2=CC12, 2 所以 DC1⊥DC. 而 DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以 DC1⊥平面 BCD. BC?平面 BCD,故 DC1⊥BC. (2)由(1)知 BC⊥DC1,且 BC⊥CC1, 则 BC⊥平面 ACC1, 所以 CA,CB,CC1 两两相互垂直. 以 C 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴的正方向,| CA | 为单位长,建立如图所示的空间 直角 坐标系 C-xyz.

??? ?

??? ?

由题意 知 A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2). 则 A1 D =( 0,0,-1), BD =(1,-1,1), DC1 =(-1,0,1). 设 n=(x,y,z)是平面 A1B1BD 的法向量,

???? ?

??? ?

???? ?

??? ? ?n ? BD ? 0, ? ?x-y+z=0, ? 则 ? ???? 即? ? ?z=0. ? ? ?n ? A1D ? 0,

可取 n=(1,1,0). 同理,设 m 是平面 C1BD 的法向量,

??? ? ? n ? BD ? 0, ? 则 ? ???? 可取 m=(1,2,1). ? n ? D C ? 0. ? ? 1

3 n· m 从而 cos〈n,m〉= = . |n||m| 2 故二面角 A1-BD-C1 的大小为 30° .

[来源 :学科网 ZXXK]


2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第八章立....doc

2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第八章立体几何8.6空间向量及其

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第八章 立体几何考....doc

志鸿优化设计高考数学一轮复习 第八章 立体几何考点规范练39 文 - 考点规范练 39 空间点、直线、平面之间的位置关系 ) 一、非标准 1.在正方体 AC1 中,...

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第八章立体几何8.2....doc

志鸿优化设计高考数学一轮复习 第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积教

【志鸿优化设计】(赢在课堂)2014届高考一轮复习理科数....doc

志鸿优化设计】(赢在课堂)2014届高考一轮复习理科数学(人教A版)目录_调查/...第八章 立体几何 第 1 讲 空间几何体的结构、三视图和直观图 第 2 讲 ...

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第八章立体几何8.4....doc

志鸿优化设计高考数学一轮复习 第八章立体几何8.4空间中的平行关系教学案 新

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第八章 立体几何考....doc

志鸿优化设计高考数学一轮复习 第八章 立体几何考点规范练41 直线、平面垂直的判定与性质 文_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【志鸿优化设计高考数学一轮...

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第八章立体几何8.6....doc

志鸿优化设计高考数学一轮复习 第八章立体几何8.6空间向量及其运算教学案 新

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第八章立体几何8.3....doc

志鸿优化设计高考数学一轮复习 第八章立体几何8.3平面的基本性质及两直线的位

...总复习》数学(理科)一轮复习练习:第八章立体几何(含....doc

《南方新课堂高考总复习》数学(理科)一轮复习练习:第八章立体几何(含答案解析) - 第八章 第1讲 立体几何 空间几何体的三视图和直观图 1.下列说法正确的是...

...2015届高考数学(理科)一轮总复习精品课件:8.1 空间....ppt

志鸿优化设计】2015届高考数学(理科)一轮总复习精品课件:8.1 空间几何体的结构和其三视图和直观图 - 第八章 立体几何与空间向量 8.1 空间几何体的结构及其...

【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 立体几何单元讲评教....doc

志鸿优化设计高考数学一轮复习 立体几何单元讲评教案 文 新人教版_教学案例.

【志鸿优化设计】(山东专用)2014届高考数学一轮复习 第....doc

志鸿优化设计(山东专用)2014届高考数学一轮复习 第二章函数2.5指数与指

《志鸿优化设计》第八章立体几何8.5直线、平面垂直的判....doc

《志鸿优化设计》第八章立体几何8.5直线、平面垂直的判定及其性质练习_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业 39 直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1...

《志鸿优化设计》第八章立体几何8.4直线、平面平行的判....doc

《志鸿优化设计》第八章立体几何8.4直线、平面平行的判定及其性质练习_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业 38 直线、平面平行的判定及其性质 一、选择题 1...

【志鸿优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品....ppt

志鸿优化设计高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件第七章立体几何 7.2

...文科)一轮总复习精品课件第七章立体几何 7.1 空间几....ppt

志鸿优化设计高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件第七章立体几何 7.1 空间几何体的结 - 第七章 立体几何 7.1 空间几何体的结构及其三视图 与直观...

《志鸿优化设计》第八章立体几何8.1空间几何体的结构及....doc

《志鸿优化设计》第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图练习_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业 35 空间几何体的结构及其三视图与直观图...

【志鸿优化设计】2015届高考数学(理科)一轮总复习精品....ppt

志鸿优化设计】2015届高考数学(理科)一轮总复习...第八章 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 -8...想一想平面几何中成立的有关结论在空间立体几何中...

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)高考专....doc

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破:高考中的立体几何问题 - 高考专题突破 高考中的立体几何问题 考点自测 1.(2013 广东)某四棱台的三...

...2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:8.....ppt

志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮...以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解...第八章 8.5 直线、平面垂直的判定及其性质 -7- ...