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抛物线专题复习讲义及练习

时间:2014-09-11


抛物线专题复习
【知识梳理】
1.抛物线定义:
平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e, (e ? 1) , 的点 的轨迹为抛物线

2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ):
标准方程 图形
y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点

F(

p ,0) 2 p 2

F (? p 2

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,? p 2

p ) 2

准线

x??

x?

y??

p 2

y?

范围 对称轴 顶点 离心率

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴
(0,0)

y轴

e ?1

3.抛物线的焦半径、焦点弦
① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ; 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦,则 x A xB ?

p2 2 , y A yB ? ? p , | AB | = xA ? xB ? p 4



【题型分类】
题型 1:利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换
[例 1 ]已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和的最小值为 【变式训练】 1.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P ,y3 ) 在抛 1 ( x1 3 ( x3 物线上,且 | P 1F | 、 | P 2F | 、 | P 3 F | 成等差数列, 则有 A. x1 ? x2 ? x3 C. x1 ? x3 ? 2 x2 B. y1 ? y2 ? y3 D. y1 ? y3 ? 2 y2 ( )
2

2. 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时, M 点坐标是 A. (0, 0) B. (3, 2 6 ) C. ( 2, 4) ( )

D. (3, ? 2 6 )

题型 2:抛物线的标准方程
[例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) 【变式训练】 3.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线
2

(2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值 3

4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这抛物线方程为 y =10x 的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)
2

5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A 为抛物线上一
点,且 | AM |? 17,| AF |? 3 ,求此抛物线的方程



题型 3:有关焦半径和焦点弦的计算与论证
[例 3 ]设 A、B 为抛物线 y 点坐标为__________. 【变式训练】 6. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则实数 a ? 7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、 B,若 A、 B 在抛物线准线上的射影为 A1 , B1 , 则 ?A1 FB1 ? A. 45
?

2

? 2 px 上的点,且 ?AOB ? 90? (O 为原点),则直线 AB 必过的定

( B. 60
?

)

C. 90

?

D.

120?



基础巩固训练 1.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于

a2 ? 2a ? 4(a ? R) ,则这样的直线( )
A.有且仅有一条 [解析]C B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在

| AB |? xA ? xB ? p ? a2 ? 2a ? 5 ? (a ? 1)2 ? 4 ? 4 ,而通径的长为 4.

2.在平面直角坐标系 xOy 中,若抛物线 x2 ? 4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5,则点 P 的纵坐标为 ( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

[解析] B 利用抛物线的定义,点 P 到准线 y ? ?1 的距离为 5,故点 P 的纵坐标为 4. 3.两个正数 a、b 的等差中项是 的焦点坐标为( ) A. (0, ? )

9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则抛物线 y 2 ? (b ? a) x 2 1 2 1 4

1 4

B. (0, )

1 4

C. ( ? , 0)

D. ( ? , 0)

[解析] D. a ? 5, b ? 4, b ? a ? ?1 4. 如果 P1 ,P2 , ?,P8 是抛物线 y 2 ? 4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 , x2 ,?, x8 , F 是抛物线的焦点, 若 x1, x2 ,?, xn (n ? N ? ) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , 则| P 5F |= ( ) . A.5 [解析]B B.6 C. 7 D.9

? xi ? 根据抛物线的定义,可知 PF i

p ? xi ? 1 ( i ? 1 ,2,??,n) , 2

? x1, x2 ,?, xn (n ? N ? ) 成等差数列且 x1 ? x2 ? ? ? x9 ? 45 , x5 ? 5 , | P5 F | =6
5、抛物线 y ? 4x的焦点为 F , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的
2

直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等 于( ) A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3

[解析] C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,设 A(m, n) ,则

AF ? AB ? m ? 1, FH ? OH ? OF ? m ? 1 ,?m ? 1 ? 2(m ? 1) ? m ? 3, n ? 2 3
四边形 ABEF 的面积= [ 2 ? (3 ? 1)] ? 2 3 ? 6 3 6、设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向
2

1 2



的夹角为 60 ,则 OA 为 [解析] 21 .



过 A 作 AD ? x 轴于 D,令 FD ? m ,则 FA ? 2 m 即 2 ? m ? 2m ,解得 m ? 2 .

? A(3,2 3) ? OA ? 32 ? (2 3 ) 2 ? 21
综合提高训练 7.在抛物线 y ? 4 x 2 上求一点,使该点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离为最短,求该点的坐标 [解析]解法 1:设抛物线上的点 P( x,4 x 2 ) ,

| 4x2 ? 4x ? 5 | ? 点 P 到直线的距离 d ? 17
当且仅当 x ?

1 | 4( x ? ) 2 ? 4 | 4 17 2 ? , 17 17

1 1 ( , 1) 时取等号,故所求的点为 2 2

解法 2:当平行于直线 y ? 4 x ? 5 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直 线方程为 y ? 4 x ? b ,代入抛物线方程得 4 x ? 4 x ? b ? 0 ,
2

由 ? ? 16 ? 16b ? 0 得 b ? ?1, x ?

1 1 ( , 1) ,故所求的点为 2 2

8. 已知抛物线 C : y ? ax2 ( a 为非零常数)的焦点为 F ,点 P 为抛物线 c 上一个动点,过 点 P 且与抛物线 c 相切的直线记为 l . (1)求 F 的坐标; (2)当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小? 解: (1)抛物线方程为 x ?
2

1 y a

故焦点 F 的坐标为 (0,

1 ) 4a

2 (2)设 P( x0 , y0 ) 则 y0 ? ax0

? y' ? 2ax, ?在P点处抛物线(二次函数 )的切线的斜率k ? 2ax0
2 直线 l 的方程是 y ? ax0 ? 2ax0 ( x ? x0 ) 2 即 2ax0 x -y ? ax0 ?0

0? ?d ?

1 2 ? ax0 4a
2 2

(2ax0 ) ? (?1)

?

1 1 2 4a 2 x0 ? 1 ? . 4a 4a

当且仅当x0 ? 0 时上式取“=”此时P的坐标是 (0,0)


?当P在(0,0) 处时,焦点 F到切线L的距离最小 .
9. 设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点.点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥ X 轴.证明直线 AC 经过原点 O. 证明:因为抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F ? 可设为

?p ? , 0 ? ,所以经过点 F 的直线 AB 的方程 ?2 ?

x ? my ?

p ,代人抛物线方程得 2

y 2 ? 2 pmy ? p2 ? 0 .
若记 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 , y2 是该方程的两个根,所以

y1 y2 ? ? p 2 .
因为 BC∥ X 轴,且点 C 在准线 x ? ? 故直线 CO 的斜率为 k ?

p ? p ? 上,所以点 C 的坐标为 ? ? , y2 ? , 2 ? 2 ?

y2 2 p y1 ? ? . p y1 x1 ? 2

即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O. 10.椭圆

9 x2 y2 ? 2 ? 1 上有一点 M(-4, )在抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的准线 l 上,抛物 2 5 a b

线的焦点也是椭圆焦点. (1)求椭圆方程; (2)若点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求|MN|+|NQ|的最小值.

x2 y2 2 解: (1)∵ 2 ? 2 ? 1 上的点 M 在抛物线 y ? 2 px a b
(p>0)的准线 l 上,抛物线的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4,p=8??① ∵M(-4,

9 )在椭圆上 5



16 81 ? ? 1 ??② 2 a 25b 2
2 2 2

∵ a ? b ? c ??③


∴由①②③解得:a=5、b=3

∴椭圆为

x2 y2 ? ?1 25 9

由 p=8 得抛物线为 y 2 ? 16x 设椭圆焦点为 F(4,0) , 由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF| = (?4 ? 4) ? ( ? 0) ?
2 2

9 5

41 ,即为所求的最小值. 5

参考例题: 1、已知抛物线 C 的一个焦点为 F( ,0) ,对应于这个焦点的准线方程为 x=- . (1)写出抛物线 C 的方程; (2)过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,O 点为坐标原点,求△AOB 重心 G 的轨 迹方程; (3)点 P 是抛物线 C 上的动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=2 的切线,切点分别是 M, N.当 P 点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值. 解: (1)抛物线方程为:y2=2x. (2)①当直线不垂直于 x 轴时,设方程为 y=k(x- ),代入 y2=2x, 得:k2x2-(k2+2)x+
k2 ?0. 4 k2 ?2 2 ,y1+y2=k(x1+x2-1)= . k k2
1 2 1 2 1 2

(4 分)

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),则 x1+x2=

? 0 ? x1 ? x 2 k 2 ? 2 x? ? ? ? 3 3k 2 ? 设△AOB 的重心为 G(x,y)则 ? 0 ? y1 ? y 2 2 , y? ? ? 3 3k ?

消去 k 得 y2= x ? 为所求, ②当直线垂直于 x 轴时,A( ,1) ,B( ,-1) ,
1 2 1 2

2 3

2 9

(6 分) (8 分)

△AOB 的重心 G( ,0)也满足上述方程.

1 3



综合①②得,所求的轨迹方程为 y2= x ? , (3)设已知圆的圆心为 Q(3,0) ,半径 r= 2 , 根据圆的性质有: |MN|=2
| MP || MQ | | PQ | 2 ?r 2 2 ? 2r ? 2 2 ? 1? . | PQ | | PQ | 2 | PQ | 2

2 3

2 9

(9 分)

(11 分)

当|PQ|2 最小时,|MN|取最小值,
2 设 P 点坐标为(x0,y0),则 y 0 =2x0. 2 2 |PQ|2=(x0-3)2+ y 0 = x0 -4x0+9=(x0-2)2+5,

∴当 x0=2,y0=±2 时,|PQ|2 取最小值 5, 故当 P 点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值
2 30 . 5

抛物线专题练习
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0) ) ( )

2.圆心在抛物线 y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( A.x2+ y 2-x-2 y -

1 =0 B.x2+ y 2+x-2 y +1=0 4
D.x2+ y 2-x-2 y +

C.x2+ y 2-x-2 y +1=0

1 =0 4


2 3.抛物线 y ? x 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是 (

A. (1,1) B. (

3 9 1 1 , ) C. ( , ) 2 4 2 4

D. (2,4) )

4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为( A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m )

5.平面内过点 A(-2,0) ,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x

6.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是 6,则抛物线 的方程是 A. y 2=-2x C. y 2=2x ( B. y 2=-4x D. y 2=-4x 或 y 2=-36x )

7.过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于 A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果 x1+ x2=6,那 么|AB|= ( )


A.8

B.10

C.6

D.4 )

8. 把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a ? (2,?3) 平移, 所得的曲线的方程是 ( A. ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) C. ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) B. ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) D. ( y ? 3) 2 ? ?4( x ? 2) ( )

9.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条

10.过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长 分别是 p、q,则

1 1 ? 等于 p q
D.





A.2a

B.

1 C.4a 2a

4 a

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离 为 . .

12.抛物线 y =2x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是

13.P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经 过一个定点 Q,点 Q 的坐标是 .

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程 14 . 抛 物 线 的 焦 点 为 椭 圆 9 4
为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C: x ? ( y ? 3) ? 1 外切,求动圆圆心 M 的
2 2

轨迹方程.(12 分)



16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离 等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. (12 分)

17.动直线 y =a,与抛物线 y ?
2

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 AB 中 2

点 M 的轨迹的方程.(12 分)

18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4 米,高 2

10

米,载货后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时, 小船开始不能通航?(12 分)

19.如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任 一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形,|AM|= 且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.(14 分) ,|AN|=3,

20.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交
2

于不同的两点 A、B, | AB |? 2 p . (Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求 Rt?NAB面积的最大值.(14 分)

11

参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 C

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.2 12. x ?

k 4

13. (1,0)

14. y 2 ? ?4 5x

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分)[解析]:设动圆圆心为 M(x,y) ,半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3) 的距离与到直线 y=3 的距离相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以 C(0, -3)为焦点,以 y=3 为准线的一条抛物线,其方程为 x 2 ? ?12y . 16. (12 分)[解析]:设抛物线方程为 x ? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?
2

p ,0 ) ,由题意可得 2

?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? 2 p 2 p ? 4 p ? 4 m ? ( 3 ? ) ? 5 ? ? ? 2 ?

故所求的抛物线方程为 x ? ?8 y , m的值为? 2 6
2

?x ? a 2 17. (12 分)[解析]:设 M 的坐标为(x,y) ,A( 2 a , a ) ,又 B (0,3a) 得 ? ? y ? 2a
2

y2 2 消去 a ,得轨迹方程为 x ? ,即 y ? 4 x 4

y O A' A x
12

B

18. (12 分)[解析]:如图建立直角坐标系, 设桥拱抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,由题意可知, B(4,-5)在抛物线上,所以 p ? 1.6 ,得 x 2 ? ?3.2 y , 当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为 AA’,则 A( 2, y A ) ,由

2 2 ? ?3.2 y A 得 y A ? ?

5 , 又 知 船 面 露 出 水 面 上 部 分 高 为 0 . 75 米 , 所 以 4

h ? y A ? 0.75=2 米
19.(14 分) [解析]:如图建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标 原点.由题意可知:曲线 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、 B 分别为 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0), ( xA ? x ? xB , y ? 0) , 其中 xA , xB 分别为 A、B 的横坐标, p ? MN . 所以, M ( ?

p p ,0), N ( ,0) . 由 AM ? 17 , AN ? 3 得 2 2
① ②

( xA ?

p 2 ) ? 2 px A ? 17 2 p ( x A ? ) 2 ? 2 px A ? 9 2

联立①②解得 x A ?

?p ? 4 ?p ? 2 4 .将其代入①式并由 p>0 解得 ? ,或 ? . p ?xA ? 1 ?xA ? 2 ?p ? 2 p ? x A ,故舍去 ? . ∴p=4, xA ? 1 . 2 ?xA ? 2
2

因为△AMN 为锐角三角形,所以

由 点 B 在 曲 线 段 C 上 , 得 xB ? BN ? p ? 4 . 综 上 得 曲 线 段 C 的 方 程 为

y 2 ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0) .
2 20.(14 分) [解析]: (Ⅰ)直线 l 的方程为 y ? x ? a ,将 y ? x ? a代入y ? 2 px ,



x 2 ? 2(a ? p) x ? a 2 ? 0 .

设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) ,

13

?4(a ? p) 2 ? 4a 2 ? 0, 则 ? ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p), ? 2 ? x1 x 2 ? a .

又 y1 ? x1 ? a, y 2 ? x2 ? a ,

∴ | AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) .



0 ?| AB |? 2 p, 8 p( p ? 2a) ? 0 , ∴ 0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p . 解得

?

p p ?a?? . 2 4

(Ⅱ)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令坐标为 ( x3 , y3 ) ,则由中点坐标公式,得

x3 ?
∴ ∴

x1 ? x 2 ? a ? p, 2

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? p. 2 2

| QM |2 ? (a ? p ? a) 2 ? ( p ? 0) 2 ? 2 p 2 . 又 ?MNQ 为等腰直角三角形,

| QN |?| QM |? 2 p ,

∴ S ?NAB ?

1 | AB | ? | QN | ? 2 p | AB | 2 2

?

2 p?2p 2

? 2 p2
即 ?NAB 面积最大值为 2 p 2
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