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【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练21 直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题 理

时间:2017-01-03


【高考领航】2016 届高考数学二轮复习 限时训练 21 直线与圆锥曲 线的位置关系、轨迹问题 理
(建议用时 45 分钟)

x2 y2 1.(2015·高考重庆卷)如图,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直 a b
线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥PF1.

(1)若|PF1|=2+ 2,|PF2|=2- 2,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e. 解:(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 2)+(2- 2)=4,故 a=2. 设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF1⊥PF2, 因此 2c=|F1F2|= |PF1| +|PF2|
2 2 2 2

= ?2+ 2? +?2- 2? =2 3. 即 c= 3,从而 b= a -c =1, 故所求椭圆的标准方程为 +y =1. 4 (2)方法一:连接 F1Q,如图,设点 P(x0,y0)在椭圆上,
2 2

x2

2

且 PF1⊥PF2,则 2+ 2=1,
2 2 x2 0+y0=c ,

x2 y2 0 0 a b

求得 x0=±

a 2 a -2b2, c

b2 y0=± . c
由|PF1|=|PQ|>|PF2|得 x0>0,从而|PF1| =(
2

a a2-2b2 b4 2 +c) + 2 c c
1

=2(a -b )+2a a -2b =(a+ a -2b ) . 由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|, 有|QF1|=4a-2|PF1|, 又由 PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|= 2|PF1|,因此(2+ 2)|PF1|=4a,即(2+ 2)(a+

2

2

2

2

2

2 2

a2-2b2)=4a,于是(2+ 2)(1+ 2e2-1)=4,
解得 e= 4 1? 2 1+? -1? ? ? ?= 6- 3. 2? 2+ 2 ?

方法二:如图,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,从而由|PF1|=|PQ| =|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由 PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|= 2|PF1|,因此,4a-2|PF1|= 2|PF1|,则|PF1|= 2(2- 2)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2- 2)a=2( 2-1)a. 由 PF1⊥PF2,知|PF1| +|PF2| =|F1F2| =(2c) ,
2 2 c |PF1| +|PF2| 因此 e= = a 2a 2 2 2 2 2 2

= ?2- 2? +? 2-1? = 9-6 2= 6- 3. 1 ?1 ? 2.(2016·石家庄市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,一动圆经过点? ,0?且与直线 x=- 2 ?2 ? 相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)设 P 是曲线 E 上的动点,点 B、C 在 y 轴上,△PBC 的内切圆的方程为(x-1) +y =1, 求△PBC 面积的最小值. 1 ?1 ? 解:(1)由题意可知圆心到? ,0?的距离等于到直线 x=- 的距离,由抛物线的定义可知, 2 2 ? ? 曲线 E 的方程为 y =2x. (2)法一:设 P(x0,y0),B(0,b),C(0,c), 直线 PB 的方程为:(y0-b)x-x0y+x0b=0, 又圆心(1,0)到 PB 的距离为 1, 所以 |y0-b+x0b| ?y0-b? +x0
2 2 2 2 2 2

=1,整理得:(x0-2)b +2y0b-x0=0,

2

同理可得:(x0-2)c +2y0c-x0=0, 所以 b,c 是方程(x0-2)x +2y0x-x0=0 的两根, -2y0 -x0 所以 b+c= ,bc= , x0-2 x0-2 依题意 bc<0,即 x0>2,
2

2

4x0+4y0-8x0 2 则(b-c) = 2 , ?x0-2? 因为 y0=2x0,所以|b-c|=?
2

2

2

? 2x0 ?, ? ?x0-2?

1 4 所以 S= |b-c|x0=(x0-2)+ +4≥8, 2 x0-2 当 x0=4 时上式取得等号, 所以△PBC 面积的最小值为 8. 法二:设 P(x0,y0),直线 PB:y-y0=k(x-x0),由题知 PB 与圆(x-1) +y =1 相切,则 |k+y0-kx0| =1,整理得: k2+1 (x0-2x0)k +2(1-x0)y0k+y0-1=0,
2 2 2 2 2

k1+k2=-

2?1-x0?y0 y0-1 ,k1k2= 2 , 2 x0-2x0 x0-2x0

2

依题意 x0>2, 则|yB-yC|=|(y0-k1x0)-(y)-k2x0|=|k1-k2|x0, 2 ? 2x0 ?, 又|k1-k2|= ,则|yB-yC|=? ? |x0-2| ?x0-2? 1 4 所以 S= |yB-yC||x0|=(x0-2)+ +4≥8,当且仅当 x0=4 时上式取得等号, 2 x0-2 所以△ PBC 面积的最小值为 8. 3.(2016·长春市高三模拟)在△ABC 中,顶点 B(-1,0),C(1,0),G,I 分别是△ABC 的重 → → 心和内心,且IG∥BC. (1)求顶点 A 的轨迹 M 的方程; (2)过点 C 的直线交曲线 M 于 P,Q 两点,H 是直线 x=4 上一点,设直线 CH,PH,QH 的斜率 分别为 k1,k2,k3,试比较 2k1 与 k2+k3 的大小,并加以证明. 1 1 解:(1)由题意知 S△ABC= (|AB|+|AC|+|BC|)·r= |BC|·|yA|,且|BC|=2,|yA|=3r, 2 2 其中 r 为内切圆半径, 化简得:|AB|+|AC|=4,顶点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点,4 为长 轴长的椭圆(去掉长轴端点),其中 a=2,c=1,b= 3, 所以轨迹 M 的方程为 + =1(y≠0). 4 3 (2)2k1=k2+k3,以下进行证明: 当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ:y=k(x-1)且 P(x1,y1),Q(x2,y2),H(4,m),

x2 y2

3

x y ? ? + =1 联立? 4 3 ? ?y=k?x-1? x1x2=
4k -12 2 . 3+4k
2

2

2

8k 可得 x1+x2= 2, 3+4k

2

m y1-m y2-m 由题意:k1= ,k2= ,k3= . 3 x1-4 x2-4 k2+k3=
?y1-m??x2-4?+?y2-m??x1-4? ?x1-4??x2-4?

8m+8k+2kx1x2-?m+5k??x1+x2? = x1x2-4?x1+x2?+16 24mk +24m = 2 36k +36 2m = =2k1. 3 3? ? 3? ? 当直线 PQ 的斜率不存在时,不妨取 P?1, ?,Q?1,- ?, 2? ? 2? ? 3 3 m+ 2 2 2m 则 k2+k3= + = =2k1. 3 3 3
2

m-

综上可得 2k1=k2+k3. 4.(2016·洛阳市高三模拟)设 M 是焦距为 2 的椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)上一点,A,B 是其 1 左、右顶点,直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=- . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)上点 N(x0,y0)处切线方程为

x2 y2 a b

x2 y2 a b

x0x y0y + =1,若与椭圆 E 相 a2 b2

→ → 切于 C(x1,y1),D(x2,y2)两点的切线相交于 P 点,且PC·PD=0.求证:点 P 到原点的距离 为定值. (1)解:由题意,2c=2,c=1,A(-a,0),B(a,0),设 M(x,y), 1 y y 1 y 1 ∵k1k2=- ,∴ · =- ,即 2 2=- . 2 x+a x-a 2 x -a 2 ∵M(x,y)在椭圆上,∴ 2+ 2=1.
2

x2 y2 a b



? x? b ?1- 2? ? a?
2

2

1 b 1 2 2 =- ,∴ 2= ,∴a =2b . x2-a2 2 a 2
4

2

又 a -b =c =1,∴a =2,b =1. ∴椭圆 E 的方程为 +y =1. 2 (2)证明:依题意,切线 PC,PD 的方程分别为

2

2

2

2

2

x2

2

x1x
2

+y1y=1,

x2x
2

+y2y=1,即 x1x+2y1y=2,

x2x+2y2y=2.
由?
? ?x1x+2y1y=2 ?x2x+2y2y=2 ?

,得 P?

?2?y2-y1?, x1-x2 ?, ? ? x1y2-x2y1 x1y2-x2y1?

→ → ∵PC·PD=0,∴PC⊥PD, ∴?

?-x1??-x2?=-1,即 x x =-4y y . ?? ? 1 2 1 2 ? 2y1 ?? 2y2 ?
2 2 2 2 2 2 2 2

∵C,D 在椭圆 E 上,∴x1+2y1=2,x2+2y2=2. ∴x1=2-2y1,x2=2-2y2. 4?y2-y1? +?x2-x1? 2 ∴|PO| = 2 ?x1y2-x2y1?
2 2 2 2 2 2

4y1+4y2+2-2y1+2-2y2-2?x1x2+4y1y2? = 2 2 2 2 2 2 ?2-2y1?y2+?2-2y2?y1+8y1y2
2 y2 1+y2+2 = 2 2 2 2. y1+y2+2y1 y2

∵x1x2=-4y1y2,∴x1x2=16y1y2. 即(2-2y1)(2-2y2)=16y1y2,(1-y1)(1-y2)=4y1y2, 1-y1-y2 得yy= . 3
2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

∴|OP| =

2

y2 1+y2+
∴|PO|= 3,

2 2 2 y2 3?y1+y2+2? 1+y2+2 = =3. 2 2 2 2-2y1-2y2 y2 1+y2+2 2

3

∴P 到原点的距离为定值 3.

5


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