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安徽省江南十校联考2016届高三上学期期末数学试卷(理科)

时间:2017-09-07


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全国知名数学老师——曹炜

2015-2016 学年安徽省江南十校联考高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合 A={y|y=x A. (0, ) B. ( },B={y|y=( )x,x>1},则 A∩B=( ) C. (0,1) D.? ) )

2.已知复数 z 满足 z?(1+i2015)=i2016(i 是虚数单位) ,则复数 z 在复平面内所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列命题中,真命题的是( ) x 2 A.?x>0,2 >x B.?x0∈R,e ≤0

C.“a>b“是“ac2>bc2”的充要条件 D.“ab>1”是“a>1,b>1”的必要条件 4.截至 11 月 27 日,国内某球员在 2015﹣2016 赛季 CBA 联赛的前 10 轮比赛中,各场得分 xi (i=1,2,3,…, 10)的茎叶图如图①所示,图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图,则输出的结果是( )

A.8 B .7 C.6 D.5 5. 将函数 y=cos2x 的图象向右平移 φ 个单位得到函数 y=cos2x﹣ A. B. C. D.

sin2x 的图象, 则 φ 的一个可能取值为 (



6.某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班,现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江 大学两所高校进行研学,每个班级去一所高校,每所高校至少有一个班级去,则恰好有一个文科班和一个理科班分 配到上海交通大学的概率为( ) A. B. C. D.

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7.已知实数 x,y 满足

,且目标函数 z=y﹣x 取得最小值﹣4,则 k 等于(



A.

B.

C.﹣

D.﹣ ,且 a2=b2+c2﹣bc,则△ABC 的面积 S 的最大

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 值为( ) A. B. C. D. =n (n∈N*) , =x

9. 已知△ABC 的边 BC 上一动点 D 满足 A. B. C. D.

+y

, 则数列{ (n+1) x}的前 n 项和为 (



10.若抛物线 C1:y= x2 的焦点 F 到双曲线 C2:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为

,抛物

线 C1 上的动点 P 到双曲线 C2 的一个焦点的距离与到直线 y=﹣1 的距离之和的最小时为 ( ) A. ﹣y2=1B.x2﹣ =1C. ﹣ =1 D. ﹣ =1 )

,则双曲线 C2 的方程为

11.一个三棱锥的三视图如图所示,则它的体积为(

A.

B .1

C.

D.2 + ﹣ +…+ ﹣ 在区间[﹣2,2]上的零点个数为( )

12.函数 f(x)=1+x﹣ A.1 B .2 C.3

D.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置
5

13.已知(

+

)5 的展开式中的常数项为 80,则 x 6 的系数为______. 的最小值为______.

14.已知正数 x,y 满足 2x+y=1,则 4x2+y2+

15.若对于任意实数 t,圆 C1: (x+4)2+y2=1 与圆 C2: (x﹣t)2+(y﹣at+2)2=1 都没有公共点,则实数 a 的取 值范围是______. 16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ (x)+m 在 x ≤φ≤ )的图象如图所示,若函数 g(x)=3[f(x)]3﹣4f

上有 4 个不同的零点,则实数 m 的取值范围是______.

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三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在答题卡的指 定区域 17.已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且 2a1,a3,3a2 成等差数列. (Ⅰ)求等比数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 cn=an?( ) ,n=1,2,3,…,且数列{cn}为单调递减数列,求 λ 的取值范围.

18.从某企业的一种产品中抽取 40 件产品,测量其某项质量指标,测量结果的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求这 40 件样本该项质量指标的平均数 ; (Ⅱ)从 180(含 180)以上的样本中随机抽取 2 件,记质量指标在[185,190]的件数为 X,求 X 的分布列及数 学期望.

19. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥CD, ∠ABC=90° , AB=2, AD= E 总是线段 PB 上的动点. (Ⅰ)当 E 点在什么位置时,CE∥平面 PAD?证明你的结论. (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的点 E,求 AE 与底面 ABCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 A﹣PD﹣C 的正弦值.

, PA=PD=CD=CB=1,

20.已知椭圆 C 的左、右焦点 F1,F2 在 x 轴上,左顶点为 A,离心率 e=

,过原点 O 的直线(与 x 轴不重合) .

与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点,△PF1F2 的周长为 8+4 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求 的值;

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(Ⅲ)求四边形 MF1NF2 面积的最小值.

21.已知函数 f(x)=e

﹣ax2(其中 e 是自然对数的底数) .

(Ⅰ)判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)若 f(x)≤0 在定义域内恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a=0,当 x>0 时,求证:对任意的正整数 n 都有 f( )<n!x﹣n. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚.选修 4-1:几 何证明选讲 22.已知 AB 是圆 O 的一条弦,过点 A、B 分别作 AE⊥AB,BF⊥AB,交弧 AB 上任意一点 T 的切线于点 E、F, OT 交 AB 于点 C,求证: (Ⅰ)∠CBT=∠CFT; (Ⅱ)CT2=AE?BF.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的参数方程为 (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若倾斜角为 45°的直线 l 经过点 P(1,2)且与直线 C 相交于点 A、B,求线段 AB 的长度. 选修 4-5:不等式选讲 24.设 f(x)=|x+3|﹣a|2x﹣1| (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)>3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≥0 对 x∈[﹣1,1]恒成立,求实数 a 的取值范围. (θ 为参数) .

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2015-2016 学年安徽省江南十校联考高三(上)期末数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的 1.已知集合 A={y|y=x A. (0, ) B. ( },B={y|y=( )x,x>1},则 A∩B=( ) C. (0,1) D.? )

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域;交集及其运算. 【分析】利用函数的单调性可得:A=[0,+∞) ,B= 【解答】解:A={y|y=x 则 A∩B= 故选:A. 2.已知复数 z 满足 z?(1+i2015)=i2016(i 是虚数单位) ,则复数 z 在复平面内所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的混合运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数单位的幂运算,然后利用复数的乘法的运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 z 满足 z?(1+i2015)=i2016, 可得 z(1﹣i)=1,可得 z= 对应点的坐标( 故选:A. 3.下列命题中,真命题的是( A.?x>0,2x>x2 B.?x0∈R,e ≤0 ) ) . = = . ) , ,即可得出 A∩B. ,

}=[0,+∞) ,B={y|y=( )x,x>1}=

C.“a>b“是“ac2>bc2”的充要条件 D.“ab>1”是“a>1,b>1”的必要条件 【考点】特称命题;全称命题. 【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断即可. 【解答】解:A.若 x=3,则 23=8,32=9,此时 2x>x2 不成立,故 A 错误, B.∵?x∈R,ex>0,∴?x0∈R,e ≤0 不成立,故 B 错误,

C.当 c=0,当 a>b 时,“ac2>bc2”不成立,即“a>b“是“ac2>bc2”的充要条件错误,故 C 错误, D.当 a>1,b>1 时,ab>1 成立,即“ab>1”是“a>1,b>1”的必要条件成立,故 D 正确, 故选:D

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4.截至 11 月 27 日,国内某球员在 2015﹣2016 赛季 CBA 联赛的前 10 轮比赛中,各场得分 xi (i=1,2,3,…, 10)的茎叶图如图①所示,图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图,则输出的结果是( )

A.8 B .7 C.6 D.5 【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,得到程序的功能,由茎叶图写出所有的数据,计算得分超过 20 分(不包括 20 分) 的场数即可得解. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得其功能是计算得分超过 20 分(不包括 20 分)的场数, 有茎叶图知,各场得分的数据为: 14,17,27,21,28,20,26,26,31,44, ∴根据茎叶图可知得分超过 20 分(不包括 20 分)的场数有 7 场. 故选:B. 5. 将函数 y=cos2x 的图象向右平移 φ 个单位得到函数 y=cos2x﹣ A. B. C. D. sin2x 的图象, 则 φ 的一个可能取值为 ( )

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】由和差角的公式化简可得 y=2cos2(x﹣ 【解答】解:∵y=cos2x﹣ ∴φ 的一个可能取值为 故选:D. 6.某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班,现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江 大学两所高校进行研学,每个班级去一所高校,每所高校至少有一个班级去,则恰好有一个文科班和一个理科班分 配到上海交通大学的概率为( ) sin2x=2cos(2x+ . ) ,由三角函数图象变换的规则可得. )=2cos2(x﹣ ) ,

)=2cos(2x﹣

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A.

B.

C.

D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案,代入概率计算公式计算. 【解答】解:将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学,每所高校至少有一个班级 去,则共有 24﹣2=14 种分配方案. 恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有 2×2=4 种,∴P= 故选:B. = .

7.已知实数 x,y 满足

,且目标函数 z=y﹣x 取得最小值﹣4,则 k 等于(



A.

B.

C.﹣

D.﹣

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,由题意可知,直线 y=x+z 经过可行域,且在 y 轴上的截距的最小值为﹣4 时, 直线 kx﹣y+2 过点(4,0) ,由此求得 k 的值. 【解答】解:如图,由题意可知,直线 y=x+z 经过可行域,且在 y 轴上的截距的最小值为﹣4. ∴直线 kx﹣y+2 过点(4,0) , 从而可得 k= 故选:D. .

8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a= 值为( ) A. B. C. D.

,且 a2=b2+c2﹣bc,则△ABC 的面积 S 的最大

【考点】余弦定理. 【分析】由已知及余弦定理可得 cosA= ,解得 A= ≤3,根据三角形面积公式即可得解. 【解答】解:∵a2=b2+c2﹣bc, ∴由余弦定理可得:cosA= = ,A 为三角形内角,解得 A= , ,由余弦定理可得:b2+c2=3+bc,利用基本不等式可求 bc

∵a= , ∴3=b2+c2﹣bc,可得:b2+c2=3+bc, ∵b2+c2≥2bc(当且仅当 b=c 时,等号成立) ,

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∴2bc≤3+bc,解得 bc≤3, ∴S△ABC= bcsinA= 故选:C. 9. 已知△ABC 的边 BC 上一动点 D 满足 A. B. C. D. =n (n∈N*) , =x +y , 则数列{ (n+1) x}的前 n 项和为 ( ) bc≤ .

【考点】数列的求和;向量的共线定理. 【分析】通过 论. 【解答】解:∵ ∴ 又∵ ∴x= = =x , + +y , =n (n∈N*)可知 (n∈N*) , , = + ,与 =x +y 比较可得 x= ,进而计算可得结

=n

∴数列{(n+1)x}是首项、公差均为 1 的等差数列, ∴则数列{(n+1)x}的前 n 项和为 故选:C. ,

10.若抛物线 C1:y= x2 的焦点 F 到双曲线 C2:



=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为

,抛物

线 C1 上的动点 P 到双曲线 C2 的一个焦点的距离与到直线 y=﹣1 的距离之和的最小时为 ( ) A. ﹣y2=1B.x2﹣ =1C. ﹣ =1 D. ﹣ =1

,则双曲线 C2 的方程为

【考点】圆锥曲线的综合. 【分析】 确定抛物线的焦点坐标, 双曲线的渐近线方程, 利用抛物线 C1: y= x2 的焦点 F 到双曲线 C2: ﹣ =1

(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为

,可得 =

,再利用抛物线的定义,结合抛物线 C1 上的动点 P 到双曲 ,可得 c2+1=5,从而可求双曲线的几何量,可得

线 C2 的一个焦点的距离与到直线 y=﹣1 的距离之和的最小时为 结论.

【解答】解:抛物线 C1:y= x2 的焦点 F(0,1) ,双曲线 C2: 为 bx﹣ay=0, ∵抛物线 C1:y= x2 的焦点 F 到双曲线 C2: ﹣



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程

=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为



∴ =



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∵直线 y=﹣1 是抛物线的准线,抛物线 C1 上的动点 P 到双曲线 C2 的一个焦点的距离与到直线 y=﹣1 的距离之 和的最小时为 , ∴根据抛物线的定义可知,当 P,F 及双曲线 C2 的一个焦点三点共线时最小, ∴c2+1=5, ∴c=2, ∵c2=a2+b2, ∴b= ,a=1, ∴双曲线的方程为 x2﹣ 故选:B. 11.一个三棱锥的三视图如图所示,则它的体积为( ) =1.

A.

B .1

C.

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知该三棱锥为棱长为 2 的正方体切割得到的,作出图形,结合图形代入体积公式计算. 【解答】解:由三视图可知该三棱锥为棱长为 2 的正方体切割得到的.即三棱锥 A1﹣MCD. ∴V= × ×2×2×2= . 故选 C.

12.函数 f(x)=1+x﹣

+



+…+



在区间[﹣2,2]上的零点个数为(



A.1 B .2 C.3 D.4 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】求导 f′(x)=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014﹣x2015,分类讨论以确定 f(x)的单调性,从而确定函数的极值的正 负,从而利用函数的零点判定定理判断即可. 【解答】解:∵f(x)=1+x﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ,

∴f′(x)=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014﹣x2015, 当 x=﹣1 时,f′(x)=2016>0,

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当 x≠﹣1 时,f′(x)=



故当﹣2<x<﹣1 或﹣1<x<1 时,f′(x)>0; 当 1<x<2 时,f′(x)<0; 故 f(x)在[﹣2,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减, 又∵f(﹣2)<0,f(1)>0,f(2)<0, ∴f(x)在(﹣2,1)和(1,2)内各有一个零点, 故选:B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置
5

13.已知(

+

)5 的展开式中的常数项为 80,则 x 6 的系数为 40 .

【考点】二项式定理. 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得常数项,再根据常数项等
5

于 80 求得实数 a 的值,从而求得 x 6 的系数. 【解答】解:∵( + )5 的展开式中的通项公式为 Tr+1= ?ar? ,令 =0,求得 r=3,

即常数项为

?a3=80,求得 a=2.
5

故展开式中的通项公式为 Tr+1= 故答案为:40.

?2r?

,令 r=2,可得则 x 6 的系数为 40,

14.已知正数 x,y 满足 2x+y=1,则 4x2+y2+ 【考点】基本不等式在最值问题中的应用.

的最小值为



【分析】由基本不等式可得 0<xy≤ ,令 t=xy,0<t≤ ,由 4t﹣ 在 0<t≤ 递增,可得最小值. 【解答】解:正数 x,y 满足 2x+y=1, 可得 2x+y≥2 , 即有 0<xy≤ , 则 4x2+y2+ =1﹣(4xy﹣ =(2x+y)2﹣4xy+ ) ,

令 t=xy,0<t≤ , 由 4t﹣ 在 0<t≤ 递增, 可得 t= 时,4t﹣ 取得最大值,且为﹣ 则 4x2+y2+ , = .

在 xy= 时,取得最小值,且为 1+

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故答案为:



15.若对于任意实数 t,圆 C1: (x+4)2+y2=1 与圆 C2: (x﹣t)2+(y﹣at+2)2=1 都没有公共点,则实数 a 的取 值范围是 a<﹣ 或 a>0 . 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【分析】通过两个圆的方程求出两个圆的圆心与半径,利用圆心距与半径和与差的关系即可求解. 【解答】解:圆 C2: (x﹣t)2+(y﹣at+2)2=1 的圆心在直线 y=ax﹣2 上, ∴要使圆 C1: (x+4)2+y2=1 与圆 C2: (x﹣t)2+(y﹣at+2)2=1 没有公共点, 必须使圆心 C1(﹣4,0)到直线 y=ax﹣2 的距离大于两圆半径之和,即 d= ∴a<﹣ 或 a>0. 故答案为:a<﹣ 或 a>0. >2,

16.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ (x)+m 在 x

≤φ≤

)的图象如图所示,若函数 g(x)=3[f(x)]3﹣4f , ) .

上有 4 个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 [

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数的零点与方程根的关系. 【分析】利用由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象可求得 A,T,从而可得 ω,又曲线经过( ,0) ,|φ|< ,

可得 φ 的值,从而可求函数 f(x)的解析式,将函数进行换元,转化为一元二次函数问题,由导数求出单调区间, 结合函数 f(x)的图象,即可确定 m 的取值范围. 【解答】解:由图知 T=4( ∴ω=1, ∴f(x)=sin(x+φ) , ∵f ( ∴ )=0, +φ=kπ,k∈Z. ,k∈Z. , ﹣ )=2π,

∴φ=kπ﹣ 又|φ|≤ ∴φ= ,

∴函数 f(x)的解析式为:f(x)=sin(x+

) .

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由 f(x)的图象可知,对于 f(x)∈[ ,1)上的每一个值,对应着[﹣



]上的两个 x 值,

又 g(x)=3[f(x)]3﹣4f(x)+m=0,?m=﹣3[f(x)]3+4f(x)有 4 个不同的零点, 令 f(x)=t,则 m=﹣3t3+4t. ∵m′=﹣9t2+4=﹣9(t+ ) (t﹣ ) , ∴m=﹣3t3+4t 在[ , ]上单调递增,在[ ,1]上单调递减, 而当 t= 时,m= ;当 t= 时,m= , ;当 t=1 时,m=1, ,

结合图象可知,对于 m∈[ ]上的 4 个 x 值. 故答案为:[ , ) .

)上的每一个值,对应着 t=f(x)∈[ ,1)上的两个值,进而对应着[﹣

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在答题卡的指 定区域 17.已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且 2a1,a3,3a2 成等差数列. (Ⅰ)求等比数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 cn=an?( ) ,n=1,2,3,…,且数列{cn}为单调递减数列,求 λ 的取值范围.

【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】 (Ⅰ) 设等比数列的公比为 q (q>0) , 由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式, 解方程可得 q=2, 进而得到所求通项; (Ⅱ)把数列{an}的通项公式 an 代入 cn=2n?( 案. 【解答】解: (Ⅰ)设等比数列的公比为 q(q>0) , 由 2a1,a3,3a2 成等差数列,可得 2a3=2a1+3a2, 即为 2a1q2=2a1+3a1q,可得 2q2﹣3q﹣2=0, 解得 q=2(﹣ 舍去) , 则 an=a1qn﹣1=2n; (Ⅱ)cn=an?( )=2n?( ) , ﹣λ) ,由 cn+1﹣cn 分离 λ 后,求出 ﹣ 的最大值得答

由数列{cn}为单调递减数列,可得 则 cn+1﹣cn=2n+1?( =2n?( ﹣ ﹣λ)﹣2n?( )

﹣λ)<0 对一切 n∈N*恒成立, ﹣λ<0,即 λ> ﹣ ,





=

=

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当 n=1 或 2 时,n+ 取得最小值,且为 3, 则 ﹣ 的最大值为 = ,

即有 λ> .即 λ 的取值范围是( ,+∞) .

18.从某企业的一种产品中抽取 40 件产品,测量其某项质量指标,测量结果的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求这 40 件样本该项质量指标的平均数 ; (Ⅱ)从 180(含 180)以上的样本中随机抽取 2 件,记质量指标在[185,190]的件数为 X,求 X 的分布列及数 学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (Ⅰ)根据频率分布直方图,计算数据的平均值是各小矩形底边中点与对应的频率乘积的和; (Ⅱ)首先分别求质量指标在[180,185]的件数:0.020×5×40=4,质量指标在[185,190]的件数有:0.010× 5×40=2,然后求出 X=0、1、2 时的概率,进而求出 X 的分布列及数学期望即可. 【解答】 解: (Ⅰ) 由频率分布直方图可知, 这 40 件样本该项质量指标的平均数 =162.5×0.05+167.5×0.125+172.5 ×0.35+177.5×0.325+182.5×0.1+187.5×0.05=174.75cm; (Ⅱ)由频率分布直方图可知,质量指标在[180,185]的件数:0.020×5×40=4,质量指标在[185,190]的件 数有:0.010×5×40=2,∴X 的可能值为:0,1,2; P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,

所以分布列为: X P 数学期望 E(X)=0× +1× +2× = . 0 1 2

19. 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥CD, ∠ABC=90° , AB=2, AD= E 总是线段 PB 上的动点. (Ⅰ)当 E 点在什么位置时,CE∥平面 PAD?证明你的结论. (Ⅱ)对于(Ⅰ)中的点 E,求 AE 与底面 ABCD 所成角的正弦值;

, PA=PD=CD=CB=1,

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(Ⅲ)求二面角 A﹣PD﹣C 的正弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法. 【分析】 (Ⅰ)取 PA 的中点 F,连接 DF,EF,由已知结合三角形中位线定理可得四边形 DFEC 是平行四边形, 从而得到 CE∥DF.再由线面平行的判定得答案; (Ⅱ)由题意证明 OA,OG,OP 两两互相垂直,故以 OA,OG,OP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示空 间直角坐标系 Oxyz.求出所用点的坐标,求得 成角的正弦值可求; 的坐标,再求出底面 ABCD 的一个法向量,则 AE 与底面 ABCD 所

(Ⅲ)分别求出平面 APD 与平面 PCD 的一个法向量,求出两法向量所成角的余弦值,则二面角 A﹣PD﹣C 的正 弦值可求. 【解答】解: (Ⅰ)当 E 为 PB 的中点时,CE∥平面 PAD. 证明如下:取 PA 的中点 F,连接 DF,EF,则 EF∥ 由已知 CD ,CD= ,则 EF∥CD,EF=CD. , .

∴四边形 DFEC 是平行四边形,∴CE∥DF. 又 CE?平面 PAD,DF?平面 PAD,∴CE∥平面 PAD; (Ⅱ)取 AD 中点 O,AB 的中点 G,连接 OP,OG, ∵PA=PD,∴PO⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PO⊥平面 ABCD. 由已知可得 AD2+BD2=AB2,∴BD⊥AD, 又 OG∥BD,∴OG⊥AD, ∴OA,OG,OP 两两互相垂直, 故以 OA,OG,OP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz. A( D( ∴ ) ,P(0,0, ) ,C( ) ,B( , , 是平面 ABCD 的一个法向量, 设 AE 与底面 ABCD 所成角为 θ,则 ,0) . ) ,E( ) ,

sinθ=|cos

|=

=



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(Ⅲ)平面 APD 的一个法向量为 , 再设平面 PCD 的一个法向量为 =( , ,

, ,﹣ ) .



,得



取 z=1,则 x=﹣1,y=﹣1, ∴ .

∴二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值的绝对值为

=



∴二面角 A﹣PD﹣C 的正弦值为



20.已知椭圆 C 的左、右焦点 F1,F2 在 x 轴上,左顶点为 A,离心率 e=

,过原点 O 的直线(与 x 轴不重合) .

与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别与 y 轴交于 M,N 两点,△PF1F2 的周长为 8+4 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求 的值;

(Ⅲ)求四边形 MF1NF2 面积的最小值.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (Ⅰ)根据 e= ,2a+2c=8+4 ,求解即可; 的坐标,然后求 的值即可;

(Ⅱ)设 P(x0,y0) ,则 Q(﹣x0,﹣y0) ,求出

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(Ⅲ)先把四边形 MF1NF2 面积表示出来,然后求其最小值即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵e= ∴a=4,c=2 ∴b=2, , ,2a+2c=8+4 ,

故椭圆的方程为:

(Ⅱ)设 P(x0,y0) ,则 Q(﹣x0,﹣y0) ,且 ∵A(﹣4,0) , ∴直线 PA 的方程为 y= ,

,即



∴M(0,

) .

同理,直线 QA 的方程为



∴N(0, 又 F1(﹣2 ∴

) , ,0) , , ,



=12+

(Ⅲ)|MN|=|

|=|

|=|

|=|



∴四边形 MF1NF2 的面积 S= ∵|y0|∈(0,2], ∴当 y0=±2 时,S 有最小值 8 21.已知函数 f(x)=e

=





﹣ax2(其中 e 是自然对数的底数) .

(Ⅰ)判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)若 f(x)≤0 在定义域内恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a=0,当 x>0 时,求证:对任意的正整数 n 都有 f( )<n!x﹣n.

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【考点】函数恒成立问题. 【分析】 (Ⅰ)利用定义判断,先判断定义域关于原点对称,再判断 f(﹣x)=f(x) ; (Ⅱ)不等式可整理为 a≥ 出导函数 g'(x)=﹣ (Ⅲ)若 a=0,f(x)= 恒成立,只需求出右式的最大值即可,利用构造函数令 g(x)= ,求

(2x+1) ,得出函数的单调性,求出最大值; ,得出 xn<n!ex,利用数学归纳法证明不等式对一切 n∈N*都成立即可.

【解答】解: (Ⅰ)函数定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称, ∵f(﹣x)=f(x) , ∴函数 f(x)为偶函数; (Ⅱ)由偶函数性质可知,只需求当 x∈(﹣∞,0)时, f ( x )= ∴a ≥ 令 g(x)= 当 x∈(﹣∞, ﹣ax2≤0 恒成立, 恒成立, ,g'(x)=﹣ (2x+1) , ,0)时,g'(x)<0,g(x)递减,

)时,g'(x)>0,g(x)递增,当 x∈(

∴g(x)的最大值为 g(﹣ )=4e﹣2, ∴a≥4e﹣2, (Ⅲ)若 a=0,f(x)=e 当 x>0 时,f(x)= , ,f ( )=e﹣x<n!x﹣n.

∴xn<n!ex, (i)当 n=1 时,设 g(x)=ex﹣x, (x>0) , x ∵x>0 时,g'(x)=e ﹣1>0, ∴g(x)是增函数, 故 g(x)>g(0)=1>0, 即 ex >x , (x>0) 所以,当 n=1 时,不等式成立 (ii)假设 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 xk<k!?ex 当 n=k+1 时设 h(x)=(k+1)!?ex﹣xk+1, (x>0) x k 有 h'(x)=(k+1)!?e ﹣(k+1)x =(k+1) (k!?ex﹣xk)>0 故 h(x)=(k+1)!?ex﹣xk+1, (x>0)为增函数, 所以,h(x)>h(0)=(k+1)!>0,即 xk+1<(k+1)!?ex, 这说明当 n=k+1 时不等式也成立, 根据(i) (ii)可知不等式对一切 n∈N*都成立, 故原不等式对一切 n∈N*都成立. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清楚.选修 4-1:几 何证明选讲

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22.已知 AB 是圆 O 的一条弦,过点 A、B 分别作 AE⊥AB,BF⊥AB,交弧 AB 上任意一点 T 的切线于点 E、F, OT 交 AB 于点 C,求证: (Ⅰ)∠CBT=∠CFT; (Ⅱ)CT2=AE?BF.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)证明 B,C,T,F 四点共圆,可得∠CBT=∠CFT; (Ⅱ)延长 EF 与 ABM 交于 P,利用△PBF∽△PTC,△PAE∽△PTC,结合切割线定理,即可证明 CT2=AE?BF. 【解答】证明: (Ⅰ)∵OT⊥EF,BF⊥AB,∠CTF=∠CBF=90°, ∴∠CTF+∠CBF=180°, ∴B,C,T,F 四点共圆, ∴∠CBT=∠CFT; (Ⅱ)延长 EF 与 ABM 交于 P,则△PBF∽△PTC, ∴ = ①, = ②

△PAE∽△PTC,∴ ①×② =

由切割线定理可得 PT2=PA?PB, ∴CT2=AE?BF.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的参数方程为 (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程; (θ 为参数) .

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(Ⅱ)若倾斜角为 45°的直线 l 经过点 P(1,2)且与直线 C 相交于点 A、B,求线段 AB 的长度. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】 (I)用 x,y 表示出 cosθ,sinθ,根据正余弦的平方和等于 1 消参数得到普通方程; (II)写出直线 l 的参数方程,代入曲线的普通方程得到关于参数 t 的一元二次方程,根据参数的几何意义解出 AB. 【解答】解: (1)∵ (θ 为参数) ,∴cosθ= ,sinθ= ,∴ .

∴曲线 C 的普通方程为



(II)直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

将 l 的参数方程代入

得 7t2+22

t+14=0,

设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=﹣ ∴t1,t2 符号相同. ∴|AB|=|t1﹣t2|= =

,t1t2=2.

=



选修 4-5:不等式选讲 24.设 f(x)=|x+3|﹣a|2x﹣1| (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)>3 的解集; (Ⅱ)若 f(x)≥0 对 x∈[﹣1,1]恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)当 a=1 时,对 x 分类讨论,去绝对值,分别求出 f(x)>3,得解集为( ,1) ; (Ⅱ)若 f(x)≥0 对 x∈[﹣1,1]恒成立,对 x 分类讨论:当 x= 时,a∈R;当 x≠ 时,| )∪( ,1]恒成立,只需求出左式的最小值即可.利用分离常数法得出 (4,+∞) ,进而求出最小值. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=1 时, 当 x<﹣3 时, f(x)=x﹣4,f(x)>3, ∴无解 当﹣3≤x≤ 时, f(x)=3x+2,f(x)>3, = + |≥a 对[﹣1, ∈(﹣∞,﹣ )∪

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∴ <x



当 x> 时, f(x)=4﹣x,f(x)>3, ∴ x<1,

∴解集为( ,1) ; (Ⅱ)若 f(x)≥0 对 x∈[﹣1,1]恒成立, ∴|x+3|≥a|2x﹣1|恒成立, 当 x= 时,a∈R, 当 x≠ 时,∴| ∵ = + |≥a 对[﹣1, )∪( ,1]恒成立, , ∈(﹣∞,﹣ )∪(4,+∞)

∴| ∴a ≤ .

|的最小值为 ,


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