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椭圆和标准方程_图文

时间:2019-07-14

教学目标
(1)明确椭圆的定义 标准方程的两种形式

教学重点

(2)掌握椭圆的两种标准方程和推导

标准方程的求法 (3)会求椭圆的方程

教学难点

标准方程的推导

两种标准方程的区别

教学方法

讲练结合法、数形结合法

课型设计

多媒体教学
课时计划

2课时

美丽的椭圆存在于生活中
相框

美丽的椭圆存在于生活中
丰田汽车标志

美丽的椭圆存在于生活中
北宋 汝窑天青无文椭圆水仙盆

美丽的椭圆存在于生活中
玉石

神州六号搭乘两名航天员从酒泉卫
星发射中心发射升空,运行在轨道倾角 42.4度,近地点高度200千米,远地点高度 347千米的椭圆轨道上运行了5圈。

美丽的椭圆存在于生活中

运行轨迹

椭圆

椭圆定义的引入

F1

F2

一、椭圆的定义:

平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常

数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离

叫做椭圆的焦距。

M

几点说明:

F1

F2

1、F1、F2是两个不同的定点

2、M是椭圆上任意一点,且|MF1| + |MF2| = 常数

3、通常这个常数记为2a,焦距记为2c,且2a>2c(?)

4. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?
5.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?
注:如果2a = 2c,则M点的轨迹是线段F1F2
2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?
注:如果2a < 2c,则M点的轨迹不存在

练习1:动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0) 的距离之和为8,则动点P的轨迹为 B
A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定

二、椭圆标准方程的推导
(1)如何求到两个定点 F1 , F 2 的距离之和等于定 值2a(2 a?F 1 F 2?2 c ) 的点的轨迹? 坐标法
(2)求曲线方程的步骤是什么? 建系、设点;列式;代入;化简;证明(讨论)
(3)如何建立坐标系呢? 建立适当的直角坐标系

YM

F1

O

F2 X

方案一

YM

F1

O

F2 X

方案一

Y

F2 M

O

X

F1

方案二

y

?M

(?c,0)

(c,0)

o ?
F1

?
F2

1.建系设点 2.几何列式 3.代入坐标 4.化简方程

以线段F1F2的中点为原点,F1、F2所在的 直线为x轴建立直角坐标系,设椭圆上任意
x 一点的坐标为M?x,y?, 则F1、F2的坐标为
(?c,0),(c,0),由椭圆定义有:
M1F?M2F?2a,所以有
(x? c )2? y 2?(x? c )2? y 2? 2 a

移项得: (x? c )2? y2? 2 a ?(x? c )2? y2

? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4 a 2 ? 4 a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2

整理得:a2?cx ?a(x?c)2?y2,平方得:

a 4 ? 2 a 2 c ? c x 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2 a 2 c ? a x 2 c 2 ? a 2 y 2

整理得:(a 2? c 2 )x 2? a 2 y 2? a 2 (a 2? c 2 )

因为 a2?c2 ?0

可得: x2 ? y2 ?1 a2 a2 ?c2

令b b2 2? ?a a2 2? ?cc2 2 (b?0)

得:

x2 a2

?

y2 b2

?1

焦点在 x轴上

x2 a2

?

y2 b2

?1

y

B 2M

A1

F

c

b
o

1

a c

F

2

A

x
2

焦点坐标

F1 ??c,0? F2 ? c, 0?

B1

其中 c2?a 2? b 2(a?b?0 ,c?0 ) y A 2

焦点在 y轴上
焦点坐标
其中

y2 x2

F2

a2 ? b2 ? 1

B1

o
F1

F1 ?0,?c? F2 ?0, c ?

A1

c2?a 2? b 2(a?b?0 ,c?0 )

B2
Mx

y

M(x, y)

ba

x

?
F1

(0,?co)

?
F2 (0, c)

M(x, y)

y
F2(0 , c)

O

X

F1 (0,-c)

x2 a2

?by22

?1(a?b?0)

y2 a2

?bx22

?1(a?b?0)

椭圆的标准方程的再认识:

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个式子的平方和,右边是1 (2)标准方程中三个未知常数a、b、c满足a2=b2+c2且a>b>0 (3)求椭圆的标准方程即求出a、b、c三者之二的值 (4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪
一个轴上

?再认识!
标准方程



图形





x2

y2 +

=1?a>b>0?

a2 b2

y P

F1 O F2

x

x2

y2 +

=1?a>b>0?

b2 a2

y

F2

P

O

x

F1

焦点坐标

F 1?-c,0?, F 2?c,0? F 1?0?,?-c?, F 2?0?,?c?



定义

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹

同 点

a、b、c 的关系

a2 =b2 +c2

焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

1,口答:

1.

x2 52

?

y2 32

? 1,则a=

5

,b=

3



2.

x2 42

?

y2 62

? 1,则a=

6

,b=

4



3. x2 ? y2 ?1 96

则a= 3 ,b= 6 ;

x2 y2 4. ? ?1
74

则a= 7 ,b= 2 .

2,填空:

(1)已知椭圆的方程为:

x2 25

?

y2 16

?1

,则

a=___5__,b=___4____,c=___3____,焦点坐标

为:__(_3_,0_)_、_(_-_3,_0_) _焦距等于___6___;若CD为过

左焦点F1的弦,则三角形F2CD的周长为

___2_0____ C

F1

F2

D

(2)已知椭圆的方程为:x42

?

y2 5

?1

,则

a=__5___,b=__2_____,c=__1_____,焦点坐

标为:(_0_,-_1_)、__(_0,_1_) __焦距等于____2______;曲

线上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另 一个焦点F2的距离等于___2___5_?__3,则三角形 F1PF2的周长为____2__5__?_2__

3、求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)满足a=4,b=1,焦点在X轴上的椭圆 的标准方程为______1x_62_?__y 2 ? 1
(2)满足a=4,c= 15 ,焦点在Y轴上的椭圆
的标准方程为__1_y6_2 _?__x_2 _?_1__

三、例题

例1:若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点

在y轴上的椭圆,求k的取值范围。

解:由 4x2+ky2=1,可得

x2 1

?

y2 1

?1

4

k

因为方程表示的曲线是焦点在y轴上

的椭圆,所以

1?1

k

4

即:0<k<4

所以k的取值范围为0<k<4

例 2、如图所示,已知椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1, 43
若点 P 在第二象限,且?PF1F2 ? 120? ,求?PF1F2 的面积

P

F1

F2

例2: 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),

并且椭圆经过点

? ??

?

3 2

,

5 2

? ??

步骤:

解:∵ 椭圆的焦点在y轴上,

∴ 设它的标准方程为 由椭圆的定义知,

y2 a2

?x2 b2

?1(a?b?0)

2a?????3 2???2????5 2?2???2?????2 3???2????5 2?2???2

定形式 设方程 求未常

? 2 10

?a ? 10

得方程

又 ∵ c=2 ? b 2? a 2? c2? 1 0 ? 4? 6

∴ 所求的椭圆的标准方程为 y 2 ? x 2 ? 1
10 6

例3.已知方程x 2 + y 2 = 1表示焦点在x轴上的椭圆,则m

的取值范围是 4

m
(0,4)

.

变1:已知方程 x2 + y2 = 1 表示焦点在y轴上的 m -1 3-m

椭圆,则m的取值范围是(1,2)

.

例4. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程 如图:求满足下列条件的椭圆方程
|P1F |?|P2F |?1,0| F1F2 |?8

解:椭圆具有标准方程

x2 ? y2 ?1 a2 b2

其中 2c?8,2a?10

因此 c?4,a?5, b 2? a 2? c 2? 2? 5 1? 6 9所求方程为 x2 ? y 2 ? 1
25 9

或 y2 ? x2 ? 1 25 9

1、设点A、B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线 AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积是-2,求点 M的轨迹方程.
M ( x, y)
y ?0 y ?0 ? ?2 x ?5 x ?5
y 2 ? x2 ? 25 2
y2 ? x2 ? 1 50 25

练习5、化简:

Y

x2?(y?3 )2?x2?(y?3 )2?10 F2(0 , 3)

M (x,y)

y2 ? x2 ?1 25 16

O

X

F1 (0,-3)

四、小 结:
1、椭圆的定义 2、两种标准方程及其比较 3、会求椭圆方程。要弄清焦点
在哪个轴上,是x轴还是y轴, 或者两个轴都有可能。
五、布置作业:


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