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解析几何中的最值问题

时间:2016-02-19


高考中圆锥曲线最值问题求解方法分析
圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题,体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、 方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似, 。 由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关,所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几 种常见求解方法。 一、定义法 有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式,再利用几何或代数法求最值,可使题 目中数量关系更直观,解法更简捷。 例1、 已知抛物线 y 2 ? 4 x ,定点 A(3,1),F 是抛物线的焦点 ,在抛物线上求一点 P, 使|AP|+|PF|取最小值 ,并求的最小值 。 分析:由点 A 引准线的垂线,垂足 Q,则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。 解: 如图,? y 2 ? 4x,? p ? 2 , 焦点 F(1,0) 。 由点 A 引准线 x= -1 的垂线 ,垂 足 Q,则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值. (| AP | ? | PF |)min ? 4 .



{

y 2 ?4 x y ?1

y , 得 P ( ,1) 为所求点.

1 4

Q

Q?

P O

p?
A(3,1) F(1,0) x

若另取一点 P? , 显然 | AP? | ? | P?F |?| AP? | ? | P?Q? |?| AP | ? | PQ | 。 [点悟] 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强,但可以避繁 就简,化难为易。又如已知圆锥曲线内一点 A 与其上一动点 P,求 | AP | ?

| PF | 的 e

最值时,常考虑圆锥曲线第二定义。 二、参数法 利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题,或利用直线、抛物线参数方程转化为 函数问题求解。 例 2、椭圆 小面积 。

x2 y 2 ? ? 1 的切线 与两坐标轴分别交于 A,B 两点 , 求三角形 OAB 的最 a 2 b2

1

分析;写出椭圆参数方程

{

x ? a cos? y ?b sin ?

,设切点为 P(a cos? , a sin ? ) ,可得切线方程。 则切线方程为

解: 设切点为 P(a cos? , a sin ? ) ,

cos ? sin ? x? y ? 1. a b a b , 0) ;令 x=0,得切线与 y 轴交点 B(0, 令 y=0, 得切线与 x 轴交点 A( ) cos ? sin ? 1 ab ab ? S?AOB ? | OA | ? | OB | = | |?| |? ab. ? Smin ? ab. 2 2sin ? cos ? sin 2?

[点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题,再利用三角函数的有 界性得出结果。 三 、二次函数法 将所求问题转化为二次函数最值问题,再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求 解。 例 3、过动直线 x+2y=p 与定直线 2x-y=a 的交点(其中 p ? (0,3a] )的等轴双曲线系

x2 ? y 2 ? ? 中 , 当 p 为何值时, ? 达到最大值与最小值?
分析:求出交点坐标代入双曲线,可得 ? 的二次函数表达式,再利用函数方法求解。 解:由
2 x? y ?a x?2 y ? p

{

, 得 交点 Q(

p ? 2a 2 p ? a , ), 5 5

交点 Q 坐标代入双曲线,

?? ? x 2 ? y 2 = (

p ? 2a 2 2 p ? a 2 1 ) ?( ) = (?3 p 2 ? 8ap ? 3a 2 ) 5 5 25

1 4a 2 25a 2 [?3( p ? ) ? ]. P ? (0,3a] . = 25 3 3
当 p?

4a 4 a 5a 1 2 4a 4a 5a |? ? p? ? , ?| p ? , ?max ? a ,又 0 ? p ? 3a ,?? ; 3 3 3 3 3 3 3

当 p=3a 时, ?min ? 0. [点悟] 把所求的最值表示为函数,再寻求函数在给定区间上的最值,但要注意函数的定 义域。 四 、几何法 将圆锥曲线问题转化为平面几何问题,再利用平面几何知识,如对称点、三角形三边关 系、平行间距离等求解。

x2 y 2 ? ? 1 和直线 l:x-y+9=0 ,在 l 上取一点 M ,经过点 M 且 例 4、 已知椭圆 12 3

2

以椭圆的焦点 F1 , F2 为焦点作椭圆 ,求 M 在何处时所作椭圆的长轴最短,并求此椭 圆方程 。

F? 分析; 设 F1? 是 F 过 F1? F2 的直线方程与 x-y+9=0 1 关于 l 对称点 , 可求出 1 坐标 ,
联立得交点 M 为所求。

x2 y 2 ? ? 1 ,得 F (?3,0)1 , F2 (3,0) , 设 F1? 是 F1 关于 l 对称点 , 解 :由椭圆方程 12 3
可求出 F1? 坐标为(-9,6) , 过 F1? F2 的直线方程:x+2y-3=0 与 x-y+9=0 联立,得交点 M(-5,4), 即过 M 的椭圆长轴最短。 由 | MF 1 | ? | MF2 |? 2a ,得 2a ? 6 5 , y l

F1?
P

M

? a 2 ? 45 , c 2 ? 9 ,?b2 ? 36

F1 O

F2

x

x2 y 2 ? ?1. 所求椭圆方程为 45 36
[点悟] :在求圆锥曲线最值问题中,如果用代数方法求解比较复杂,可考虑用几何知 识求解,其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。同时,利用平几 知识求解,蕴涵了数形结合的思想。 五、不等式法 列出最值关系式,利用均值不等式“等号成立”的条件求解。 例 5 、过椭圆 2 x ? y ? 2 的焦点的直线交椭圆 A,B 两点 ,求 ?AOB 面积的最大值 。
2 2

分析:由过椭圆焦点,写出直线 AB 方程为 y=kx+1,与椭圆方程联立,消去 y,得关于 x 的一元二次方程,巧妙的利用根与系数的关系,可以起到避繁就简的效果。 解 : 椭圆焦点 (0, ?1) ,设过焦点(0,1) ,直线方程为 y=kx+1 与 2 x ? y ? 2 联立 ,
2 2

消去 y,

得 (2 ? k ) x ? 2kx ?1 ? 0 ,
2 2

其中两根 x1 , x2 为 A,B 横坐标 。 将三角

形 AOB 看作 ?AOF 与 ?BOF 组合而成 ,|OF| 是公共边 ,它们在公共边上的高 长为 | x1 ? x2 | .? S?AOB ?

1 | OF | ? | x1 ? x2 | , 其中 |OF|=c=1. 2

? S?AOB

1 1 1 4k 2 ? 4(2 ? k 2 ) 2 ? | x1 ? x2 | = ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = 2 2 2 (2 ? k 2 ) 2

3

=

1 1 8 2 2 . 当 k ?1 ? 2 即 k=0 时,取等号 , ? k ?1 2 k 2 ?1? 1 ? 2 2 k 2 ?1

即当直线为 y=1 时 , 得到 ?AOB 的面积最大值为

2 。 2

[点悟] 利用均值不等式求最值,有时要用“配凑法” ,这种方法是一种技巧。在利用均 值不等式时,要注意满足三个条件:1、每一项要取正值;2、不等式的一边为常数;3、等 号能够成立。其中正确应用 “等号成立”的条件是这种方法关键。 圆锥曲线最值问题涉及知识较多,在求解时,要多思考、多联系,合理进行转化,以优 化解题方法。

4


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