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2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第15讲 导数在函数中的应用

时间:2012-04-12


1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数 研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多 项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充要 条件;会用导数求函数的极大值、极小值(对多项 式函数一般不超过三次);会求闭区间上的函数的 最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).

1.函数的单调性与其导数的关系

?1? 对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f ? x ?, 由f ? ? x ? ? 0 ? y=f ? x ? 在(a,b)内单调递增 ? f ? ? x ? ? 0 在(a,b)内恒成立,其中(a,b)为f ? x ?的单调递增区间; ? 2 ? 对于定义在区间(a,b)内连续不间断的函数y=f ? x ?, 由f ? ? x ? ? 0 ? ①  ? f ? ? x ? ? 0在(a,b)内 恒成立,其中区间(a,b)为f ? x ?的单调递减区间.

2.函数的极值与其导数的关系

?1? 极值与极值点:设函数f ? x ? 在点x0 及其附近有定义,
如果对x0附近的异于x0的所有点x,都有② _________ , 则称f ? x0 ? 为f ? x ?的极大值,记作y极大值=f ? x0 ?,x0为极 的极小值,记作y极小值=f ? x0 ?,x0为极小值点,极大值 和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极 值点. ? 若x0为可导函数f ? x ?的极值点,则有④ _____; ?2 反之,不一定成立. 大值点.反之,若③ ____________ ,则称f ? x0 ? 为f ? x ?

3.函数的最值与其导数的关系

?1?函数的最值:如果在函数y=f ? x ?的定义域I内存在 x0,使得对任意的x ? I,都有⑤ ,则称f ? x0 ? 为函数的最大值,记作ymax=f ? x0 ?;反之,若有 ⑥ ___________ ,则称f ? x0 ? 为函数的最小值, 记作ymin=f ? x0 ?.最大值和最小值统称为最值; ? 2 ? 如果函数y=f ? x ? 在闭区间[a,b]上的图象是
⑦ __________ 的曲线,则该函数在闭区间[ a,b] 上一定能够取得最大值与最小值.

4.极值与最值的区别与联系 极值是反映函数的局部性质,最值是反映函数的 整体性质.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大 (小)值也不一定是极大(小)值,极大值不一定比极 小值大.但如果函数的图象是一条不间断的曲线, 在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大(小)值就 是最大(小)值.

【要点指南】 ①y=f ? x ? 在(a,b)内单调递减; ②f ? x ? ? f ? x0 ?;③f ? x ? ? f ? x0 ?; ④f ? ? x0 ?=0;⑤f ? x ? ? f ? x0 ?; ⑥f ? x ? ? f ? x0 ?;⑦一条连续不间断

1.在区间(a,b)内,“f′(x)>0”是“f(x)在区间(a,b)内 单调递增”的( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

易错点:易错选 C,事实上,f(x)在区间(a,b)内单调递 增, f′(x)≥0, f(x)=x3, 如 x∈(-2,3), 此时 f′(x)=3x2≥0(在 x=0 时,f′(x)=0.)

2.已知函数 f(x)=x3+ax2+3x-9 在 x=-3 时取得极 值,则 a 等于( A.2 C.4 ) B.3 D.5

【解析】 因为 f ′(x)=3x2+2ax+3,

又 f(x)在 x=-3 时取得极值,所以 f ′(-3)=30-6a=0, 解得 a=5,此时 f′(x)=(3x+1)(x+3)满足条件,故 a=5.

3.函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值是 最小值是 -17 .

3



【解析】f ′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令 f ′(x)=0, 得 x=-1(x=1 舍去).而 f(-3)=-17,f(-1)=3,f(0)=1, 故 f(x)在[-3,0]的最大值是 3,最小值是-17.

4.函数 y=3x2-6lnx 的单调递减区间是 (0,1) .

【解析】函数 y=3x2-6lnx 的定义域为(0,+∞),
?x>0 ? 6 6 又 y′=6x-x ,由 6x- x<0??6?x+1??x-1? <0 ? x ?

?0<x<1. 所以函数的单调递减区间是(0,1). 易错点:忽视函数的定义域.

5.如图是 y=f(x)是导函数的图象,对于下列四个判断:

①f(x)在[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数; ④x=3 是 f(x)的极小值点. 其中正确的是 ②③ .

【解析】 由导函数研究函数性质, 主要注意导函数值的正、 负及零值,对应性质: ①因在(-2,-1)上,f′(x)<0,所以 f(x)在[-2,- 1]上递减; ②当 x=-1 时,f′(-1)=0 且 x<-1 时,f′(x)<0, x∈(-1,2)时,f′(x)>0,故 f(x)以 x=-1 处有最小值; ③在(-1,2)处,f′(x)>0,在(2,4)上,f′(x)<0,故 f(x) 在[-1,2]上递增,在[2,4]上递减; ④当 x=3 时,f′(x)<0,故 x=3 不是 f(x)的极值点. 因此正确的是②③.



函数的单调性与导数


【例 1】已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)· x(x∈R). e (1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调递减区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)内单调递减,求 a 的取值范围; (3)函数 f(x)是否为 R 上的单调函数,若是,求出 a 的取值 范围;若不是,请说明理由.

【解析】(1)因为 a=-2,所以 f(x)=(-x2-2x)· x, e 所以 f′(x)=(-2x-2)· x-(-x2-2x)· e e =e x(x2-2) =e x· (x+ 2)(x- 2). 由 f′(x)<0,得- 2<x< 2, 故函数 f(x)的单调减区间是(- 2, 2).
- - - -x



(2)因为 f′(x)=(-2x+a)· x-(-x2+ax)· e e =e x· 2-(a+2)x+a]. [x




-x

若 f(x)在(-1,1)内单调递减, f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立, 则 而 e >0,即 x2-(a+2)x+a≤0 在 x∈(-1,1)上恒成立, 所以(1-x)a≤2x-x2,x∈(-1,1), 1-?1-x?2 1 所以 a≤ = -(1-x),x∈(-1,1)恒成立,而 y 1-x 1-x 1 3 = -(1-x)在(-1,1)上为增函数,所以 y>-2, 1-x 3 故 a≤-2.
-x

(3)若 f(x)在 R 上是单调函数, f′(x)=0 至多有一个 则 实数根, 即 x2-(a+2)x+a=0 无实根或有两相等实根, 所以 Δ=(a+2)2-4a≤0,所以 a4+4≤0 不成立. 故函数 f(x)在 R 上不可能为单调函数.

【点评】(1)f′(x)>0(或 f′(x)<0)仅是 f(x)在某个区间上为增 函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数 f(x)在(a, b)上递增(或递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)对 x∈ (a,b)恒成立,但 f′(x)不恒为 0. (2)已知函数 f(x)是增函数(或减函数), 求参数的取值范围 时,应令 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范 围,然后检验参数的取值能否使 f′(x)恒等于 0.若恒等于 0, 则 参 数 的 这 个 值 应 舍 去 ; 若 f′(x) 不 恒 等 于 0 , 则 由 f′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围确定.

素材1

(1)已知函数 f(x)=x3-ax-1. ①若 f(x)在 R 上单调递增, a 的取值范围是 则 (-∞, ; 0] [3,+

②若 f(x)在(-1,1)上单调递减,则 a 的取值范围是 ∞) ; (2)函数 y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数( π 3π A.(2, 2 ) 3π 5π C.( 2 , 2 ) B.(π,2π) D.(2π,3π)

)

【解析】 (1)因为 f′(x)=3x2-a. ①若 f(x)在 R 上单调递增,则 f′(x)≥0 恒成立,即 3x2- a≥0 恒成立,所以 a≤0. ②若 f(x)在(-1,1)上单调递减,则 3x2-a≤0 在(-1,1)上 恒成立,即 a≥3x2 在(-1,1)上恒成立,所以 a≥3. (2)因为 y′=sinx+x· cosx-sinx=x· cosx, 满足 y′>0 的区 3π 5π 间为( 2 , 2 ),故选 C.



函数的极值与导数
ax+b 【例 2】设 a>0,函数 f(x)= 2 ,b 为常数. x +1 (1)证明:函数 f(x)的极大值和极小值点各有一个; (2)若函数 f(x)的极大值为 1,极小值为-1,试求

a 的值.

【分析】(1)若证明有两个极值点,则先求证 f′(x)=0 有两不等实根,且 f′(x)=0 的点左、右两边导数异号,由 极值定义证明. (2)根据(1)及 f(x)=1 和 f(x)=-1 求 a 的值.

a?x2+1?-?ax+b?· 2x 【解析】(1)证明:f′(x)= ?x2+1?2 -ax2-2bx+a = . 2 ?x +1? 由 f′(x)=0,即 ax2+2bx-a=0, 又 a>0,所以 Δ=4b2+4a2>0, 设方程有两不等实根 x1,x2(不妨设 x1<x2), -a?x-x1??x-x2? 所以 f′(x)= , 2 2 ?x +1?

所以当 x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(x1,x2)时,f′(x)>0; 所以 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上递减,在(x1,x2)上 递增, 所以 f(x)在 x=x2 处有极大值,在 x=x1 处有极小值,因 此,函数 f(x)的极大值和极小值点各有一个.

2b (2)由(1)知,f(x2)=1,f(x1)=-1,其中 x1+x2=- a , x1x2=-1,
?ax2+b ? 2 =1 ? x2+1 ? ?ax1+b ? x2+1 =-1 ? 1 ?ax2+b=x2+1 2 ,所以? ax1+b=-x2-1 ? 1

① , ②

①+②,得 a(x1+x2)+2b=x2-x2, 2 1 所以-2b+2b=(x1+x2)(x2-x1)=0,又 x2>x1, 所以 x1+x2=0,所以 b=0,则 f′(x)=0, a 即为 a(x -1)=0,所以 x1=-1,x2=1,所以2=1,
2

所以 a=2.

【点评】(1)运用导数求可导函数 y=f(x)极值的步骤: ①先求函数的定义域,再求函数 y=f(x)的导函数 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③检查 f′(x)在方程根的左右的值的符号, 如果左正右负, 那么 f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正,那么 f(x)在这 个根处取得极小值.

(2)根据定义,极值点是区间[a,b]内部的点,不会是区间 的端点 a、b,且极值必须在区间内的连续点处取得. (3)一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值, 且极小值与极大值没有必然的大小关系.如果函数在[a,b]上 有极值的话,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值 点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极小值点之间必有 一个极大值点,极大值点与极小值点是交替出现的.

(4)若函数 f(x)在[a,b]内有极值,则 f(x)在(a,b)内绝不是 单调函数,即在区间[a,b]上单调的函数没有极值. 注意:可导函数的极值点必须是导数为 0 的点,导数为 0 的点不一定是极值点.可导函数 f(x)在点 x0 处取得极值的充要 条件是 f′(x0)=0,且在 x0 的左侧与右侧的 f′(x)的符号不同, 不可导的点也可能是极值点.

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(1)函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则点 (a,b)为( B ) A.(3,-3) B.(-4,11) C.(3,-3)或(-4,11) D.不存在 (2)已知函数 f(x)=x· x(x∈R),则函数 f(x)有极 大 e 1 (填“大”或“小”)为 e .




【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax-b, 又函数在 x=1 处有极 值 10,
?f′?1?=0 ?3-2a-b=0 则? ,即? , 2 ?f?1?=10 ?1-a-b+a =10 ?a=3 ?a=-4 解得? 或? . ?b=-3 ?b=11

而当 a=3,b=-3 时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x- 1)2≥0, 故函数 f(x)没有极值点, 而当 a=-4,b=11 时,f′(x)=3x2+8x-11=(3x +11)(x-1), 故存在极值点,因此选 B.

(2)因为 f′(x)=e x-x· x=e x(1-x). e 由 f′(x)=0,得 x=1. 当 x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时, f′(x)<0, 所以 f(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 1 故 f(x)有极大值为 f(1)= e.









函数的最值与导数

【例 3】已知函数 f(x)=lnx-ax(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值.

【分析】 (1)已知解析式,求单调区间,实质上就是求 f′(x)>0 与 f′(x)<0 的解区间,但要注意定义域;(2)求闭区 间上函数最值,确定单调性及极值点函数值,端点函数值, 根据大小取值;(3)注意参数对问题的影响.

1 【解析】(1)因为 f′(x)= x-a(x>0). (ⅰ)当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(0,+∞)上递增; 1 1 (ⅱ)当 a>0 时,由 f′(x)= x-a=0,得 x=a. 1 1 而 x∈(0,a)时,f′(x)>0,x∈(a,+∞)时,f′(x)<0, 1 1 所以函数 f(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞)上递减.

1 1 (2)由(1)知,当 a>0 时,f(x)在(0,a)上递增,在(a,+∞) 上递减, 1 则(ⅰ)当a≤1,即 a≥1,f(x)在[1,2]上是减函数, 所以[f(x)]min=f(2)=ln2-2a. 1 1 (ⅱ)当a≥2,即 0<a≤2时,f(x)在[1,2]上是增函数, 所以[f(x)]min=f(1)=-a.

1 1 1 1 (ⅲ)当 1<a<2,即2<a<1 时,f(x)在[1,a]上递增,在[a, 2]上递减. 又 f(2)-f(1)=ln2-a, 1 所以当2<a<ln2 时,[f(x)]min=f(1)=-a;当 ln2≤a<1 时, [f(x)]min=f(2)=ln2-2a. 综上可知,当 0<a<ln2 时,[f(x)]min=-a; 当 a≥ln2 时,[f(x)]min=ln2-2a.

【点评】(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念,最大 值必须是整个区间上所有函数值中的最大值, 最小值必须是整 个区间上所有函数值中的最小值. (2)函数的极值可以有多个,但最大值(最小值)只能有一 个. (3)极值只能在区间内取得,最值却可以在端点处取得.

(4)一般的, 在闭区间[a, b]上的连续函数 f(x)必有最大值 与最小值,在区间(a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小 值.若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上单调递增,则 f(a)是最小 值,f(b)是最大值;若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上单调递减, 则 f(a)是最大值,f(b)是最小值.

素材3

a 已知函数 f(x)=lnx-x (a∈R,a≠0). 1 (1)若 a=-1,求 f(x)在[e ,e]上的最大值和最小值; 3 (2)若 f(x)在区间[1,e]上的最小值是2,求实数 a 的值.

1 【解析】 (1)当 a=-1 时,f(x)=lnx+x ,定义域为(0,+∞). 1 1 x-1 由 f′(x)=x -x2= x2 =0,得 x=1. x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)递减; x∈(1,+∞),f′(x)>0,f(x)递增. 1 1 又 f(1)=1,f(e )=-1+e,f(e)=1+ e, 1 易知 f(e)>f(e)>f(1), 1 f(x)max=f(e)=e-1,f(x)min=f(1)=1.

x+a (2)由 f′(x)= x2 ,x∈[1,e]. ①当 a≥-1 时,因为 x≥1,所以 x+a≥1+a≥0, 所以 f(x)在[1,e]上递增. 3 3 于是 f(x)min=f(1)=-a=2,a=-2,不成立. ②当 a≤-e 时,而 x≤e,x+a≤e+a≤0, 所以 f(x)在[1,e]上递减, a 3 于是 f(x)min=f(e)=1-e =2, e 所以 a=-2,不成立.

③当-e<a<-1 时,在区间[1,-a]上,f′(x)<0, f(x)递减,在区间[-a,e]上,f′(x)>0,f(x)递增, 3 所以 f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=2,所以 a=- e. 综上得,实数 a=- e.

备选例题

x 已知函数 f(x)=(x-k) ·k. e
2

(1)求 f(x)的单调区间; (2)方程 f(x)=k2 有几个不等实根,说明理由; 1 (3)若对任意的 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤e ,求 k 的取 值范围.

【分析】 (1)单调区间,由 f′(x)>0 与 f′(x)<0 区间确定, 注意参数影响;(2)方程根的个数由单调区间及极值与 k2 的 大小来确定;(3)不等式问题可由最值及单调性解决.

x 21 x 【解析】 (1)f′(x)=2(x-k)·k+(x-k) ··k e ke 1 x =k ·k· e (x-k)(x+k). (ⅰ)当 k>0 时,由 f′(x)>0,得 x<-k 或 x>k, 所以 f(x)的增区间为(-∞,-k)和(k,+∞),减区间 为(-k,k). (ⅱ)当 k<0 时,由 f′(x)>0,得 k<x<-k, 所以 f(x)的增区间为(k, -k), 减区间为(-∞, k)和(- k,+∞).

(2)由(1)可知, 4k2 (ⅰ)当 k>0 时,[f(x)]极大值=f(-k)= e ,[f(x)]极小值=f(k)=0, 4k2 而 0<k2< e , 故由单调性可知,方程 f(x)=k2 有三个不等实根.

4k2 (ⅱ)当 k<0 时,[f(x)]极大值=f(-k)= e ,[f(x)]极小值=f(k)=0. 4k2 由单调性及 0<k2< e 可知,f(x)=k2 有三个不同实根, 故方程 f(x)=k2 有三个不同实数根.

k+1 1 (3)当 k>0 时,所以 f(k+1)=e k =e1+ k>e, 1 所以 f(x)≤e 不可能在(0,+∞)上恒成立, 当 k<0 时,由(1)可知,f(x)在(0,-k)上递增,在(-k, +∞)递减, 4k2 所以在(0,+∞)上,f(x)有最大值为 f(-k)= e , 4k2 1 1 2 所以 e ≤e ,即 4k ≤1,又 k<0,所以-2≤k<0, 1 故 k 的取值范围是[-2,0).

1.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法:

?1? 确定函数f ? x ?的定义域;2 ? 令f ? ? x ?=0,求出 ? 此方程在f ? x ?的定义域内的一切实根; ? 3? 把函数f ? x ? 无定义的点的横坐标和上面的各
实根按由小到大的顺序排列起来,这些点把定 义域分成若干个小区间;

? 4 ? 确定f ? ? x ? 在各小开区间内的符号,根据f ? ? x ?的 符号判断函数f ? x ? 在每个相应的小开区间的增减性.

2.求可导函数y=f ? x ?的极值的方法:

?1? 求导数f ? ? x ?; ? 2 ? 求方程f ? ? x ?=0的根; ? 3? 检验f ? ? x ? 在每个根左、右的符号,
如果根的左侧附近为正,右侧附近为负, 则f ? x ? 在这个根处取得极大值; 如果根的左侧附近为负,右侧附近为正, 则f ? x ? 在这根处取得极小值.

3.求可导函数f ? x ? 在闭区间[a,b]上的最值的方法:

?1? 求f ? x ? 在(a,b)内的极值; ? 2 ? 将求得的极值与f ? a ?,f ? b ?比较,其中最大的一个
为最大值,最小的一个为最小值. 4.注意:

?1? 利用导数求单调区间时,必须先求定义域; ? 2 ? 使导函数f ? ? x ?=0的点称为函数的驻点,则可导函
数的极值点必是驻点,但驻点不一定是极值点.求一 个可导函数的极值时,常常把驻点附近的函数值的讨 论情况列成表格,注意这里的“可导”两字必不可少.


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