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2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛wodr版

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2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛

一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1. 若 4 ? 3a ? 16, log 2 a ?
a b


.

a ?1 , 则 ab ? b

2. 圆上 30 个点将圆等分,任取其中 3 个不同的点,这 3 个点顺次连结形成正三角形的概率 为 . 3. 已知正三棱锥的底面边长为 6,侧棱为 4,则此正三棱锥的外接球半径为 . 4. 在等差数列 ?an ?中,若 S4 ? 4, S5 ? 15, 则 a4 的最小值是 5. 设 n ? N ,且 n ? 2n ? 5n ? 12n ? 5 为完全平方数,则 n ?
* 4 3 2 2 2

. . . .

6. 若不等式 a sin x ? cos x ? a ? 1 对任意的 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 7. 在 ?ABC 中, AB ? 10, AB 边上的高为 3,当 AC ? BC 最小时, AC ? BC ?

8. 在给定的一个正 n(n ? 10) 边形的 n 个顶点中任取 k 个点,使这 k 个点中存在 4 个点是某 个四边形的顶点, 且该四边形有三条边是所给定的正 n 边形的边, k 的最小值是 则 二、解答题(本题满分 16 分) .

9. 设 ?ABC 的 内 角 A、B、C 所 对 应 的 边 长 分 别 为 a、b、c. 已 知 a ? b ? c ? 16, 求

b 2 ? cos 2

C B B C A ? c 2 ? cos 2 ? 2bc ? cos cos sin 的值。 2 2 2 2 2

三、解答题(本题满分 20 分) 10.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点为 F , 右准线 l 交 x 轴于点 N , 过椭圆上一点 P 作 a 2 b2

PM 垂直于准线 l ,垂足为 M . 若 PN 平分 ?FPM, 且四边形 OFMP 为平行四边形,证明:

2 e? . 3

四、解答题(本题满分 20 分) 11.解关于 x 的方程 (cos
2

?
2

) x 3 ? (3 cos 2

?
2

? 4) x ? sin ? ? 0.


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