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椭圆的定义及几何性质

时间:2014-01-16

椭圆
一、要点精讲
1.到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定长(>|F1F2|)的点的轨迹 定义 2.到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e(e∈(0,1))的点的轨迹

标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2





焦点 焦距 范围 对称性 顶点

F1 ?? c,0? , F2 ?c,0?
F1F2 ? 2c c ? a 2 ? b2
?a ? x ? a ,?b ? y ?b

F1 ?0,?c ? , F2 ?0, c?

?

?

? b ? x ? b, ? a ? y ? a

对称轴:坐标轴;对称中心:原点

A1 ?? a,0? , A2 ?a,0? , B1 ?0,?b? , B2 ?0, b?

A1 ?0,?a ? ,A2 ?0, a ? ,B1 ?? b,0? ,B2 ?b,0?

性 质

轴 离心率

长轴 A1 A2 的长为 2 a ,短轴 B1B2 的长为 2b

e?
准线方程是 x ? ?

c ? ?0,1? ,其中 c ? a2 ? b2 a
准线方程是

准线

a2 c

y??

a2 c

焦半径

PF 1 ? a ? ex , PF 2 ? a ? ex

PF 1 ? a ? ey , PF 2 ? a ? ey

典例精析 考点一:椭圆的定义与标准方程 x2 y2 3 1、已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .直线 x± y=0 与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点 a b 2 的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( x2 y2 A. + =1 8 2 x2 y2 x2 y2 B. + =1C. + =1 12 6 16 4 ) x2 y2 D. + =1 20 5

x2 2.椭圆 +y2=1 的两个焦点为 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|= 4 7 A. 2 B. 3 C. 3 2 D.4
1

1? x2 y2 2 2 3、若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点? ?1,2?作圆 x +y =1 的切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰 a b 好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________. 4. (2013 新课标)已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B a 2 b2
( )

两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为

A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

y2 5.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 b |AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|=________. x2 y2 6.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左,右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1| 25 16 的最大值为________. 考点二:椭圆的几何性质 x2 y2 3a 7、 (2012 新课标)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 a b 2 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 x2 y2 8、 (2012 江西)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右顶点分别是 A, B, 左、 右焦点分别是 F1、 F2, 若|AF1|, |F1F2|, a b |F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( 1 A. 4 B. 5 1 C. 5 2 ) D. 5-2 ) )

x2 .9.已知点 M( 3,0),椭圆 +y2=1 与直线 y=k(x+ 3)交于点 A、B,则△ABM 的周长为( 4 A.4 B.8 C.12 D.16

10.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1,则椭圆长轴的最小值为( A.1 B. 2C.2 D.2 2

)

x2 y 2 1)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点, a b
连接 AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?

4 ,则 C 的离心率 e= ______. 5

14.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60° . (1)求椭圆离心率的范围;(2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

2

x2 y2 15.(2012 安徽)如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直 a b 线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60° . (1)求椭圆 C 的离心率;(2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.

椭圆与直线 一、公共点问题 通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关系,几何的交点问题与代数的方程根问题完美结合于此 例 1、判断直线 kx ? y ? 3 ? 0 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的位置关系 16 4

二、弦长问题 例 2、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点, 2 1

求⊿ABF2 的面积

三、中点问题 例 4、已知中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆的两准线间的距离为 2 3 ,若椭圆被直线 x+y+1=0 截得的 弦的中点的横坐标是 ?

2 ,求椭圆的方程 3

x2 y2 3 .设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 4 求 C 的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

3

双曲线
一、要点精讲 1、双曲线的定义与几何性质:
1、到两个定点 F 1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长(小于 定义 2、到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e

F1 F2

)的点的轨迹

?e ? 1? e(>1)的点的轨迹
y2 x2 ? =1 ?a ? 0, b ? 0? a2 b2

标准方程

x2 y 2 ? =1 ?a ? 0, b ? 0? a2 b 2





范围 对称性

x ? a 或 x ? ?a , y ? R
对称轴:坐标轴;对称中心:原点

x ? R , y ? a 或 y ? ?a

渐近线

y??

b x a

y??

a x b

顶点 性 质 坐标 焦点 轴 离心率

A1 ?? a,0? , A2 ?a,0? B1 ?0,?b? ,B2 ?0, b?
F1 ?? c,0? , F2 ?c,0?

A1 ?0,?a ? , A2 ?0, a ? B1 ?? b,0? , B2 ?b,0?
F1 ?0,?c ? , F2 ?0, c?

实轴 A1 A2 的长为 2 a 虚轴 B1B2 的长为 2b

e?

c ? 1 ,其中 c ? a2 ? b2 a

准线

a2 准线方程是 x ? ? c

a2 准线方程是 y ? ? c

2、双曲线的形状与 e 的关系:因为双曲线的斜率 k ?

b c2 ? a2 ? ? e 2 ? 1 ,所以 e 越大,则渐近线的 a a

斜率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。故双曲线的离心率越大,它的开口就越 宽阔。 3、共渐近线的双曲线系方程:与

x2 y 2 x2 y 2 ? ? ? ? ?? ? 0? , =1 有相同渐近线的双曲线系方程可设为 a2 b 2 a2 b2

若 ? ? 0 ,则双曲线的焦点在轴上;若 ? ? 0 ,则双曲线的焦点在轴上
4

三、典例精讲 考点一:双曲线的定义 x2 y2 1、平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标为 3,则点 M 到此双曲线的右焦点 4 12 的距离为________. 2 已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=
3. (2013 课标)已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ,则 C 的渐近线方程为 ( ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 a b 2
1 x 3
C. y ? ?



A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

1 x 2

D. y ? ? x

4( .2013 湖南) 设 F1、 F2 是双曲线 C,

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)的两个焦点。 若在 C 上存在一点 P, 使 PF1⊥PF2, a 2 b2

且∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为____ 3 ? 1 _______. 5.(2010 北京)已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲线 的离心率为 2 ,焦点与椭圆 ? ? 1 25 9 a 2 b2

的焦点坐标为;渐近线方程为 考点二:双曲线的几何性质 5 1、设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的 13 差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( ).

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 2- 2=1 B. 2- 2=1C. 2- 2=1 D. 2- 2=1 4 3 13 5 3 4 13 12 x2 y2 2、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与抛物线 y2=16x 的焦 a b 点相同.则双曲线的方程为________. x2 y2 3.(2012 福建)已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近 4 b 线的距离等于( )

A. 5B.4 2C.3 D.5 x2 y2 4.(2012 湖南)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( a b x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1C. - =1 D. - =1 20 5 5 20 80 20 20 80 求双曲线方程 已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为 x ? (Ⅰ)求该双曲线的方程;
5

)

5 ,离心率 e ? 5 . 5

w.w. k. s.5.u.c.o.m

x2 y 2 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心率为 3, 直 a b

线 y ? 2与C的两个交点间的距离为 6. (Ⅰ)求 a, b;

双曲线与直线相交

1.直线与双曲线的位置关系的判断
设直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) ,双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 联立解得 a2 b2 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 mkx? a 2 m2 ? a 2b 2 ? 0 b 2 2 2 若 b ? a k ? 0 即 k ? ? ,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; a b 2 2 2 若b ? a k ? 0即k ? ? , a 2 2 2 ? ? (?2a mk) ? 4(b ? a 2 k 2 )(?a 2 m2 ? a 2b 2 ) ? ? 0 ?直线与双曲线相交,有两个交点; ? ? 0 ?直线与双曲线相切,有一个交点; ? ? 0 ?直线与双曲线相离,无交点;
直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。

2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2), 且由 ?

? F ( x, y ) ? 0 ,消去 y→ax2+bx+c=0(a≠0) ,Δ=b2-4ac。 ? y ? kx ? n
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则弦长公式为:则 | AB |? 1 ? k
2

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

若联立消去 x 得 y 的一元二次方程: ay ? by ? c ? 0(a ? 0) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 | AB |? 1 ? 【例】求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ?
2

1 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 2 k

y2 ? 1截得的弦长; 4

3.中点弦问题:
【例】求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ?
2

y2 ? 1截得的弦中点轨迹方程。 4

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