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专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 第1讲 排列、组合、二项式定理 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 2016考向导航 本讲内容在高考中占有特殊的位置.高考试题中主要以选择 题或填空题的形式呈现,考查排列、组合的实际应用,二项 式系数、常数项、二项式指定项的求解.在近几年的高考 中,排列、组合试题的难度有所下降,且经常与概率、数 列、不等式等知识进行综合考查. 1.活用公式与结论 (1)两个重要公式 ①排列数公式 m An = n! =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n, m∈N*, 且 (n-m)! m≤n). ②组合数公式 m Cn = n! n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = m!(n-m)! m! (n,m∈N*,且 m≤n). (2)二项式定理 n 1 n 1 1 2 n 2 2 k n k k n (a+b)n=C0 a + C a b + C a b +…+ C a b +…+ C n n n n n - - - n r r bn,其中通项 Tr+1=Cr b. na - (3)二项式系数的性质 n 1 n 1 r n r 0 1 2 ①C0 n=Cn,Cn=Cn ,…,Cn=Cn ;②Cn+Cn+Cn+…+ - - n 3 5 0 2 4 n 1 Cn =2n;③C1 + C + C +…= C + C + C +…= 2 . n n n n n n - 2.辨明易错易混点 (1)解决排列组合问题时,不要忽视问题与顺序是否有关这一 条件. (2)二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混, 一定要区分开来. 考点一两个计数原理 [命题角度] 1.两个计数原理的应用问题. 2.同时利用两个计数原理解决综合问题. 3.几何图形中的涂色问题. 如果一个三位正整数“a1a2a3”满足 a1<a2 且 a3<a2,则 称这样的三位数为凸数(如 120,343,275),那么所有凸数的 个数为( A ) A.240 C.729 B.204 D.920 [思路点拨] 先对中间数分类,再分步完成三位数. [解析] 分 8 类, 当中间数为 2 时,有 1×2=2(个); 当中间数为 3 时,有 2×3=6(个); 当中间数为 4 时,有 3×4=12(个); 当中间数为 5 时,有 4×5=20(个); 当中间数为 6 时,有 5×6=30(个); 当中间数为 7 时,有 6×7=42(个); 当中间数为 8 时,有 7×8=56(个); 当中间数为 9 时,有 8×9=72(个). 故共有 2+6+12+20+30+42+56+72=240(个). 方法归纳 应用两个计数原理解题的方法 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时,一般先 分类再分步,每一步当中又可能用到分类加法计数原理. (2)对于复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当列出示意图 或表格,使问题形象化、直观化. 1.某学校高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加 社会实践活动,但去何工厂可自由选择,甲工厂必须有班级 要去,则不同的分配方案共有( C ) A.16 种 C.37 种 B.18 种 D.48 种 解析:三个班去四个工厂不同的分配方案共有43种,甲工厂没 有班级去的分配方案共有33种,因此满足条件的不同的分配方 案共有43-33=37(种). 2.(2015· 济南模拟) 如图所示,用五种不同的颜色分

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