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人教A版高中数学选修一高二上学期期末考试(理)试题 (3)

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高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作

辽宁省大连市 2014-2015 学年高二上学期期末考试 数学(理)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡和答题纸 上,在本试卷上答题无效.

第I卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的.

1.“ x ?1 ”是“ x2 ? x ”的

()

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不必要也不充分条件

2.等差数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a9 ? 10 ,则 S9 的值为

A.30

B.45

C.90

D.180

()

3.已知椭圆 x2 ? y 2 ? 1上一点 M 到椭圆的一个焦点的距离等于 4,那么点 M 到另一个焦点的距离等于 25 9

()

A. 1

B. 3

C. 6

D. 10

4. 下列命题错.误.的是
A.命题“若 p 则 q ”与命题“若 ?q ,则 ?p ”互为逆否命题

()

B.命题“ ?x ?R, x2 ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ?R, x2 ? x ? 0 ”

C. ? x ? 0 且 x ? 1,都有 x ? 1 ? 2 x
D.“若 am2 ? bm2 ,则a ? b ”的逆命题为真

5.如图 1 所示,在平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,若 A1B1 ? a , A1D1 ? b , AA1 ? c ,则下列向量中

与 A1C 相等的向量是

()

A. ?a ? b ? c

B. a ? b ? c

C. a ? b ? c

D. a ? b ? c

图1

? y?2

6.

已知变量

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

? 4 ,则 z

? 3x ?

y 的最大值为

?? x ? y ? 1

()

A.12

B.11

C.3

D.-1

7.设抛物线 y2 ? 8x 上一点 P 到 y 轴距离是 6,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ( )

A.12

B.8

C.6

D.4

8.双曲线 x2 ? y2 ? 3 的渐近线方程为

()

A. y ? ?x

B. y ? ?3x

C. y ? ? 3x

D. y ? ? 3 x 3

9.在如图 2 所示的空间直角坐标系中,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 棱长为 2,E 为正方体的棱 AA1 的中点, F

为棱 AB 上的一点,且 ?C1EF ? 90?, 则点 F 的坐标为

()

A.

? ??

2,

1 2

,

0

? ??

B.

? ??

2,

1 3

,

0

? ??

C.

? ??

2,

1 4

,

0

? ??

D.

? ??

2,

2 3

,

0

? ??

图2

10.设 a ? 0,b ? 0 ,若 3 是 3a 与3b 的等比中项,则 1 ? 1 的最小值为 ab

()

A. 8

B. 4

C. 1

D. 1 4

11. 若函数 f ? x? ? x3 ? 2x2 ? mx ?1在 (??, ??) 内单调递增,则 m 的取值范围是( )

A. m ? 4 3

B. m ? 4 3

C. m ? 4 3

D. m ? 4 3

12.

已知 F1, F2 分别是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1的左、右焦点, P 是以 F1F2 为直径的圆与该椭圆的一个交点,且

?PF1F2 ? 2?PF2F1 ,则这个椭圆的离心率是

()

A. 3 ?1

B. 2 ? 3

C. 3 ?1 2

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

D. 2 ? 3 2

?

? 13. 2 2cos xdx ? 0

.

14. 曲线 y ? 1 x2 ? 2x 在点 (1, ? 3) 处的切线方程为________________________.

2

2

15.等差数列

?an

?



?bn

?

满足

an bn

?

3n 4n

? ?

2 3

(

n

?

N*),且前

n

项和分别为

An

, Bn ,

则 A5 的值为

.

B5

16.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?BAC ? 90? , AB ? AC ? CC1 , M 是 A1B1 的中点,则 AC1 与 BM 所成

角的余弦值为________________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 10 分)

已知向量 a ? (1,1, 0) , b ? (?1, 0, 2) .

(Ⅰ)若向量 ka ? b 与向量 2a ? b 互相平行,求实数 k 的值; (Ⅱ) 求由向量 a 和向量 b 所确定的平面的单位法向量.

18.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 5 . (Ⅰ)求 f ? x? 的单调区间; (Ⅱ)求 f ? x? 在[?3,1] 上的最大值和最小值.

19.(本小题满分 12 分)
已知动点 M 到点 ?4, 0? 的距离比它到直线 l : x ? ?3 的距离多 1.
(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)求过点 (4,0) 且倾斜角为 30? 的直线被曲线 C 所截得线段的长度.

20.(本小题满分 12 分)
如图 3 所示,在底面为平行四边形的四棱锥 P PA ? AB ? 2, AC ?1 ,点 E 是 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅱ)求二面角 E AC B 的大小.

ABCD 中 , AB ? AC, PA ? 平 面 ABCD,且

图3

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? ? x ? a?ex ,( a ?R).
(Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 [?3, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;
(Ⅱ)若 f (x) ? e2 在 x ?[0,2] 时恒成立,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ??c,0?, F2 ?c,0? ,椭圆上两点

A,B 坐标分别

为 A?a,0?, B?0,b?,若 ?ABF2 面积为

3 2



?BF2

A

? 1200

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 M , N 两点,证明:点 O 到直线 MN 的距离为定

值.

2014~2015 学年第一学期期末考试答案

高二数学(理科)

1~12 CBCDD BBAAB CA

13. 2

14. 2x ? 2 y ?1 ? 0

11
15.
15

17.解:(1) ka ? b = k ?1,1,0? ? ??1,0, 2? ? ?k ?1, k, 2?

16. 10 5

2a ? b = 2?1,1,0? ? ??1,0,2? ? ?3,2, ?2?

若 ka

?

b



2a

?b

互相平行,则

k

?1 3

?

k 2

?

2 ?2

,故 k

?

?2

·········

5



(2)设法向量 n ? ? x, y, z? ,则 a ? n ? 0, b ? n ? 0,故 x ? y ? 0, ?x ? 2z ? 0

令 z ? 1 ,所以 x ? 2, y ? ?2 ,即所求平面的一个法向量为 (2, ?2,1) ,故单位法向量为 ( 2 , ? 2 , 1) 或 3 33
(? 2 , 2 ,? 1) 3 3 3 ···························· 10 分

18.解:(1)f(x)=x3+2x2-4x+5,

∴f′(x)=3x2+4x-4···········································································2 分

令 f ?(x) ? 0 ,则 x ? ?2 或 x ? 2 ,令 f ?(x) ? 0 ,则 - 2 ? x ? 2 ,

3

3

所以增区间为 ?- ?,- 2?,(2,? ?),减区间为(- 2,2)···································6 分

3

3

(2)令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x=23,

x

[-3,-2) -2

??-2,32??

2 3

??23,1??

f ??x?

+

0

-

0

+

f ?x?

13

95

27

∴ x ? ?2 为极大值点, x ? 2 为极小值点, 3
又 f(-3)=8,f(-2)=13,f??23??=9257,f(1)=4,
∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为9257.··································12 分
19.解:(1)由题意易知,动点 M 到点 ?4,0? 的距离与到直线 x ? ?4 的距离相等,故 M 点的轨迹为以 ?4,0?

为焦点, x ? ?4 为准线的抛物线,此抛物线方程为 y2 ? 16x ········· 4 分

(2)设直线与抛物线交点为 A, B ,直线 AB 方程为 y ? 0 ?

3 3

(

x

?

4)



即y ?

3 x?4 3

3

3

············· 6 分

? ?y ? 将直线方程与抛物线方程联立 ?

3 3

x

?

43 3

,得

x2

? 56x

?16

?

0,

?? y2 ? 16x

故 xA ? xB ? 56, xA ? xB ? 16

AB ? xA ? xB ? p ? 56 ? 8 ? 64

············ 12 分

(其他方法请酌情给分)

20.解:∵ PA ?平面 ABCD , AB, AC ? 平面 ABCD

∴ PA ? AC , PA ? AB ,且 AC ? AB .

以 A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 ?? A; AC, AB, AP?? ; ··· 2 分

(1)∵

D

?1,

?

2

,

0?



P

?0

,

0

,

2?



E

? ??

1 2

,

?1

,

1???



z P



AE

?

? ??

1 2

,

?

1

,

1???



AC

?

?1

,

0

,

0?



E

设平面 AEC 的法向量为 n1 ? ? x , y , z? ,

A By

D C

x

(071223-02)



?? ?

1 2

x

?

y

?

z

?

0

,取

y

?

1,得

n1

?

?0

,1

,

1?



??x ? 0

又 B?0 , 2 , 0? ,所以 PB ? ?0 , 2 , ? 2?

∵ PB? n1 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ PB ? n ,又 PB ? 平面 AEC , 因此: PB // 平面 AEC . ····················· 6 分
(2)∵平面 BAC 的一个法向量为 AP ? ?0 , 0 , 2? , 由(1)知:平面 AEC 的法向量为 n1 ? ?0 ,1,1? ,
设二面角 E AC B 的平面角为? (? 为钝角),则

cos? ? ? cos n1 , n2

? ? n1 ? n2 n1 n2

? ? 1 ? ? 2 ,得:? ? 1350 22

所以二面角 E AC B 的大小为135o . ·············· 12 分

(注:(1)问的证明用几何法亦可,但在(2)问中要体现平面 AEC 法向量的求解过程)

21. 解:(Ⅰ) f '(x) ? (x ? a ?1)ex , x ?R .

因为函数 f ( x) 是区间 [?3, ??) 上的增函数,

所以 f '(x) ? 0 ,即 x ? a ?1? 0 在[?3,??) 上恒成立.

因为 y ? x ? a ?1是增函数,所以满足题意只需 ?3 ? a ?1 ? 0 ,即 a ? 2 . ··· 6 分

(Ⅱ) f ? x? ? ? x ? a?ex

? ? ?? x ? a? ex ? e2 ,即 a ? e2?x ? x 在 x ??0, 2? 上恒成立,即 a ? e2?x ? x max

构造函数 g ? x? ? e2?x ? x , x ??0, 2? ,则 g??x ? ? ?e 2?x ? 1,易知 g?? x? ? ?e2?x ?1 ? 0 ,在 x ??0,2 ? 上恒

成立, g ? x?max ? g (0) ? e2 ,故 a ? e2 .

··· 12 分

22.解:(1)由题意,易知 a ? 2c, b ?

3c , S?ABF2

?

1 ? (2c ? c) ? 2

3c ? 3 c2 ? 3

2

2

?c ? 1, a ? 2, b ? 3 ? 椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1



43

············· 4 分

(2)设 M (x1, y1), N (x2 , y2 ) ,当直线 MN 的斜率不存在时, MN ? x 轴, ?MNO为等腰直角三角形,

?

y1

?

x1

,又 x12 4

?

y12 3

? 1 ,解得

x1

?

12 ? 2 21 , 77

即 O 到直线 MN 的距离 d ? 2 21 ···················· 6 分 7
当 直 线 的 斜 率 存 在 时 , 直 线 MN 的 方 程 为 y ? kx? m , 与 椭 圆 x2 ? y 2 ? 1 联 立 消 去 y 得 43

3x2 ? 4(k 2 x2 ? 2km ? m2 ) ?12 ? 0 ,

? x1

?

x2

?

? 8km 3 ? 4k 2

, x1x2

?

4m2 ?12 3 ? 4k 2

?OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,

? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0

即 (k 2 ? 1)x1x2 ? km(x1 ? x2 ) ? m2 ? 0

? (k 2 ? 1) 4m2 ?12 ? 8k 2m2 ? m2 ? 0 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

整理得 7m2 ? 12(k 2 ? 1)

? O 到直线 MN 的距离 d ? m ? 12 ? 2 21

1? k2

7

7 ··········· 12 分


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