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圆锥曲线基础测试题及答案0

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圆锥曲线基础题训练
一、选择题:

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 ( 25 16 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 18 6 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 ,焦距为 ,则椭圆的方程为 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y ? ? 1 B. ? ?1 ? ? 1或 ? ? 1 D.以上都不对 A. C. 9 16 25 16 25 16 16 25
1. 已知椭圆 3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是 A.双曲线
2





( D.一条射线 (



B.双曲线的一支

C.两条射线

4.抛物线 y ? 10x 的焦点到准线的距离是 A.



5 2

B. 5

C.

15 2

D. 10 ( )

5.若抛物线 y 2 ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为 A. (7, ? 14) 二、填空题 B. (14, ? 14) C. (7, ?2 14) D. (?7, ?2 14)

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2 7.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。
6.若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k 2 9.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为 . 10.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 。
8.若曲线 三、解答题



11. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?

12.在抛物线 y ? 4 x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。
2

13.双曲线与椭圆有共同的焦点 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,点 P (3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点, 求渐近线与椭圆的方程。

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2 2 3 14.(本题 12 分)已知双曲线 x ? y ? 1 的离心率 e ? 2 3 ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 . 2 2 2 3 a b

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值.

15 (本小题满分 12 分) 经过坐标原点的直线 l 与椭圆

(x?3 )2 y2 ? ?1相交于 A、B 两 6 2

点,若以 AB 为直径的圆恰好通过椭圆左焦点 F,求直线 l 的倾斜角.

16. (本小题满分 12 分)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭 圆交于 P 和 Q,且 OP⊥ OQ,|PQ|=

10 ,求椭圆方程. 2

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参考答案
1.D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7 2.C

2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1
得 a ? 5, b ? 4 ,?

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

3.D 4.B

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

5.C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 6. 1, 或2 当 m ? 1 时,

x2 y2 ? ? 1, a ? 1 ; 1 1 m

y 2 x2 a 2 ? b2 3 1 1 2 ? ? 1, e ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 当 0 ? m ? 1 时, 2 1 1 a 4 4 m m
7.

x2 y 2 ? ? ?1 20 5

设双曲线的方程为 x ? 4 y ? ?,(? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c ? 25
2 2 2

当 ? ? 0 时,

x2

?

?

y2

?

? 1, ? ?

?
4

? 25, ? ? 20 ;

4
当 ? ? 0 时,

y2 ?

?
4

?

x2 ? ? 1, ?? ? (? ) ? 25, ? ? ?20 ?? 4

8. (??, ?4) ? (1, ??) 9. x ? ?

(4 ? k )(1 ? k ) ? 0,(k ? 4)(k ?1) ? 0, k ? 1, 或k ? ?4
p 3 ?? 2 2

3 2

2 p ? 6, p ? 3, x ? ?

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10. 1

焦点在 y 轴上,则

y2 x2 5 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 5 1 k k

三、解答题 11.解:由 ?

? y ? kx ? 2 ?2 x ? 3 y ? 6
2 2

,得 2 x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 6 ? 0

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48
当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 k ?
2

当 ? ? 72k ? 48 ? 0 ,即 ?
2

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ?k? 3 3

12.解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

4t 2 ? 4t ? 5 ? 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2

13.解:由共同的焦点 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1; a 2 a 2 ? 25

16 9 y2 x2 ? 1, a 2 ? 40 ? 1 ,点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 双曲线方程为 2 ? 2 a a ? 25 b 25 ? b
双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ?

b 25 ? b
2

x ,即 4 ?

b 25 ? b
2

? 3, b2 ? 16

所以椭圆方程为

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ? 1 40 15 16 9
AB : x ? y ? 1 的 距 离
a b

14 . ( 本 题 12 分 ) ∵ ( 1 ) c ? 2 3 , 原 点 到 直 线 a 3
d ? ab a ?b
2 2

? 3.

ab ? c

3 2 . 2 . 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.
3

? b ? 1, a ?

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则

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x0 ? k BE

x1 ? x2 15k 5 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
( 为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程.)
2 2

故所求 k=± 7 .

15. (本小题满分 12 分)分析:左焦点 F(1,0), 直线 y=kx 代入椭圆得 ( , 3 k? 1 ) x? 6 x ?? 30

3 6 x x? 2 , x ? x ?2 , 12 1 2 3 k? 1 3 k? 1

y1y2 ?

y y 3k2 。 由 AF ? 。 1 B F知 1 · 2 ?? 2 x 1 x 1 3k ?1 1? 2?

将上述三式代入得 k ? ?

3 ? ? ,? 或 150 。 ??3 0 3

16. (本小题满分 12 分)解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)

?y ? x ? 1 由? 2 得(m+n)x2+2nx+n-1=0, 2 ?mx ? ny ? 1
Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0, 由 OP⊥ OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,

2(n ? 1) 2n +1=0,∴ m+n=2 ? m?n m?n 4(m ? n ? mn) 10 2 ?( ) , 又2 m?n 2 3 将 m+n=2,代入得 m· n= 4 1 3 3 1 由① 、② 式得 m= ,n= 或 m= ,n= 2 2 2 2 2 x 3 3 1 故椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ y2=1. 2 2 2 2






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