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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1教案:第3章 教材解读:双曲线

时间:2015-01-18


双曲线 教材解读
一、知识精讲 1、正确理解双曲线的定义 一要注意不要将“绝对值”丢掉,否则就不是整个双曲线了(仅表示双曲线的一支) ;二要 注意“常数”的条件,即常数 2a<|F1F2|,因为当 2a=|F1F2|时,其轨迹是以 F1 和 F2 为端点的两条 射线,而当 2a> |F1F2|时,其轨迹不存在。 2、准确把握双曲线的标准方程 (1)双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层:一是两个焦点在坐标轴上;二是两个焦 点的中点与坐标原点重合。 (2)两种双曲线的异同:①相同点:形状、大小相同,都有 a>0,b>0,c =a +b ; ②不同点:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不相同。 (3)判断焦点位置的方法:双曲线的焦点在 x 轴上 ? 标准方程中 x 项的系数为正;双
2 2 2 2

曲线的焦点在 y 轴上 ? 标准方程中 y 项的系数为正。
2

(4)与椭圆标准方程的不同: ①双曲线有两条渐近线,而椭圆没有渐近线;椭圆标准方程中是“+”号,双曲线标准方程 中是“-”号; ②双曲线方程和椭圆方程各有两种形式,其判断方法不同:对于双曲线

x2 y2 ? ? 1和 a2 b2

y2 x2 ? 2 ? 1 来说,如果 x 2 项为正的,则焦点在 x 轴上;x 2 项的分母是 a 2 ;如果 y 2 项为正 2 a b
的,则焦点在 y 轴上;y 项的分母是 a ,a 不一定大于 b,这和椭圆有明显的不同。 ③双曲线有两个顶点,离心率 e>1;而椭圆有四个顶点,离心率 e<1;椭圆标准方程中 a =b + c ,而双曲线中 c =a +b 。 3、 对双曲线的简单几何性质的加强理解 (1)双曲线的焦点(两个)总在它的实轴上;椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个 重要数据。同样,双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据,由于
2 2 2 2 2 2 2 2

b c2 ? a2 b ? ? e 2 ? 1 ,当 e 从接近 1 逐渐增大时, 的值就从接近于 0 逐渐增大,双曲 a a a
-1-

线的“张口”逐渐增大。 (2)要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法。 因为 y=± x ?

b a

x2 y2 x2 y2 x y ± =0 ? 2 - 2 =0, 所以把标准方程 2 - 2 =1 (a>0, b>0) a b a a b b

中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。 (3)已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法: ①渐近线方程为 mx± ny=0 的双曲线的方程为:m x -n y = ? ( ? ≠0 且为常数) 。
2 2 2 2

②与双曲线

x2 y2 x2 y2 - = 1 ( a>0 , b > 0 )有共同渐近线的双曲线方程可设为 - =? a2 a2 b2 b2

( ? ≠0 且为常数) 。 二、方法点拨 1、应用双曲线的定义和标准方程解题时,应注意: (1)动点是否满足双曲线的准确定义。 (2)条件“2a<|F1F2|”是否成立。 (3)是否使|PF1|-|PF2|=2a 与|PF1|-|PF2|=-2a 同时成立。 (4)焦点 所在坐标轴是否明确。 2、求双曲线标准方程的方法 (1)求双曲线的标准方程包括“定量”和“定位”。要求出双曲线的标准方程,就要求出 a
2

2 和 b 2 这两个“待定系数”,于是需要两个独立的条件,按条件列出方程关于 a 和 b 2 的方程

2 组。解得 a 和 b 2 的具体数值后,再按位置特征写出标准方程,因此“定量”是指 a、b、c 等

数值的确定;“定位”则是指除了中心在原点以外,判断焦点在哪条坐标轴上,以便在使方程的
2 右边为 1 时,确定方程的左边哪一项为正,哪一项为负,同时也就确定了 a 和 b 2 在方程中

的位置。 (2)求双曲线方程一般可用待定系数法,其解题方法是先定型,再定量。解题步骤分为: 首先判断曲线的类型,其次求出关键数据(即待定系数) ,最后写出曲线方程。 (3)如果已知渐近线方程 y=± x ,双曲线方程可设为 双曲线方程。 三、高考考情分析与应试策略 双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点和热点之一,高考中主要以选择题、

b a

x2 y2 ? ? ? ,通过求出 ? 确定 a2 b2

-2-

填空题为主,其次考查以双曲线为载体,融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题,这 类问题以解答题为主。高考会从以下几个方面来命题: (1)运用双曲线的定义解决到焦点的 距离,焦点弦等有关问题,双曲线的定义仍将是今后考查的重点。 (2)灵活运用双曲线的性 质, 解决离心率、 渐近线问题, 也是今后考查的重点。 有关离心率的问题将会是一个热点。 (3) 以双曲线为载体的开放题、研究性问题,将逐步取代繁冗的解答题,成为高考的热点。 在学习中掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质时,要注重数形结合。 一是结合图形理解标准方程中的参数 a、b、c、e 的几何意义及相互关系;二是结合图形理解 双曲线的简单几何性质。 四、高考热点题型展现 1、有关基本概念的考查 双曲线的定义及标准方程是双曲线的基础知识,高考中多为基础性题目。 例 1. (上海春)若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程 (A)充分不必要条件. (C)充要条件.

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线”的( k ?3 k ?3

)

(B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.

解:应用直接推理和特值否定法.当 k>3 时,有 k-3>0,k+3>0,所以方程

表示双曲线;当方程 该选 A. 2、双曲线的几何性质的考查

表示双曲线时,k=-4 是可以的,这不在 k>3 里.故应

双曲线的几何性质作为是高考的重点和热点之一,高考中必定考查,有离心率的题目出 现上升趋势。 x2 y2 π 例 2. (陕西卷)已知双曲线 2 - =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率 a 2 3 为 A.2 B. 3 2 6 C. 3 2 3 D. 3

解法 1:双曲线

x2 y 2 2 ? 3 π ? ? 1 (a> 2)的两条渐近线的夹角为3 ,则 ? tan ? ,所以 2 a 2 a 6 3

2 3 a2=6,双曲线的离心率为 ,选 D. 3 解法 2:认识两条渐近线的夹角和几何量之间的关系,构建方程有

-3-

2 3 2 3 ,选 D; ? , 所以a 2 ? 6, b 2 ? 2, c 2 ? 8, e ? a 3 3
3、双曲线有关的综合问题 以双曲线为载体,融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题,是高考考查的重点, 也是我们学习中的难点。 例 3. (四川卷) 已知两定点 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 ,满足条件 PF2 ? PF1 ? 2 的点 P 的

?

轨迹是曲线 E ,直线 y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点。如果 AB ? 6 3 ,且曲线 E 上存在 点 C ,使 OA ? OB ? mOC ,求 m 的值和 ?ABC 的面积 S 。 分析:本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等 知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。 解:由双曲线的定义可知,曲线 E 是以 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 为焦点的双曲线的左支,且

?

c ? 2, a ? 1 ,易知 b ? 1 , 故曲线 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 1? x ? 0?
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ?
2 2 消去 y ,得 1 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0

? y ? kx ? 1 2 2 ?x ? y ? 1

?

?

又已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,有

? 1? k 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0 ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?
2

解得 ? 2 ? k ? ?1

2 又因为 AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?

? x1 ? x2 ?
2 2 2

2

? 4 x1 x2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k 2 ? ? ? 4? 2 ? 1 ? k 1 ? k2 ? ?
依题意得 2

2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3

4 2 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0

-4-

2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 2

故直线 AB 的方程为

5 x ? y ?1 ? 0 2

设 C ? xc , yc ? ,由已知 OA ? OB ? mOC ,得 ? x1, y1 ? ? ? x2 , y2 ? ? ? mxc , myc ? 所以 ? mxc , myc ? ? ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? , ? m ? 0? m ? ? m

又 x1 ? x2 ?

2k 2k 2 2 ? ? 4 5 , y ? y ? k x ? x ? 2 ? ?2? 2 ?8 ? 1 2? 1 2 2 k 2 ?1 k ?1 k ?1

? ? 即点 C ? ?4 5 , 8 ? ? m m? ? ?

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得

80 64 ? ?1 m2 m2

得 m ? ?4 ,但当 m ? ?4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 所以 m ? 4 , C 点的坐标为 ? 5, 2

?
?

?
1 3

C 到 AB 的距离为

5 ? ? 5 ? 2 ?1 2 ? 5? 2 ? ? ?1 2 ? ?
2

?

?

所以 ?ABC 的面积 S ?

1 1 ?6 3? ? 3 2 3

-5-


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