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从一道高考题谈椭圆中点弦问题的处理策略

时间:2017-08-09


从一道高考题谈椭圆中点弦问题的处理策略
甘肃省秦安县第二中学( 741600 )
中图分类号: G632 文献标识码: B

罗文军 ●

文章编号: 1008 - 0333 ( 2016 ) 28 - 0029 - 02

2015 全国数学高考新课标 Ⅱ 卷理科第 20 题是一道 该题考查了椭圆的几何性质以及直 椭圆的中点弦问题, 也较全面地考查了学生掌握基础 线与椭圆的位置关系, 知识与基本方法的程度, 入手容易, 但是要想完整解法, 需要考生具备扎实的基础知识和较强的分析解决问题的 能力, 梯度性较强 . 笔者对该题进行了探究和推广, 现介 以飨读者 . 绍如下, 一、 真题再现 2015 年全国高考新课标 Ⅱ 卷理科第 20 题: 已知椭圆 C : 9 x 2 + y 2 = m2 ( m > 0 ) , 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐 l 与 C 有两个交点 A, B, 标轴, 线段 AB 的中点为 M. ( 1 ) 证明: 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; m ( 2 ) 若 l 过点( , m) , 延长线段 OM 与 C 交于点 P, 3 四边形 OAPB 能否为 平 行 四 边 形? 若 能, 求此时 l 的斜 率; 若不能, 说明理由 . 二、 解法探究 该试题第( 1 ) 问是椭圆中点弦的定值问题, 笔者对第 ( 1 ) 问的解法进行了探究, 给出了四种解法, 并且从相应 解法出发, 总结出了处理椭圆中点弦问题的四种策略 . b ≠0 ) , A ( x1 , y1 ) , 解法 1 设直线 l : y = kx + b ( k ≠0 , B ( x2 , y2 ) , M( x M , yM ) . 2 2 2 2 2 将 y = kx + b 代入 9 x + y = m 得( k + 9 ) x + 2 kbx + 2 2 b -m , 故 x1 + x2 9b kb = - 2 xM = , y M = kx M + b = 2 . 2 k +9 k +9 yM 9 = - , 于是直线 OM 的斜率 k OM = xM k

即 k OM ·k = - 9 , 所以 OM 直线的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 . 点评 1 将直线方程代入椭圆的方程, 消元后得到一 个一元二次方程, 利用韦达定理和中点坐标公式建立等 式求解 . y1 ) , B ( x2 , y2 ) , M ( xM , yM ) , 解法 2 设 A ( x1 , 因为直 x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 , 所以, 线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, y2 - y1 x 1 + x 2 ≠0 , y1 + y2 ≠0 , , 直线 AB 斜率为 k AB = 把点 x2 - x1 2 2 2 A, B 分别代入 C : 9 x + y = m ( m > 0 ) 椭圆的方程得, 9 x2 1 y2 - y1 2 2 2 2 2 + y1 = m , 9 x2 + y2 = m , = - 两 式 相 减 可 得, x2 - x1 y1 + y2 9 ( x1 + x2 ) yM y1 + y2 2 , = , = 直线 OM 的斜率为 k OM = y1 + y2 x M x1 + x2 x1 + x2 2 9 ( x1 + x2 ) y2 - y1 y1 + y2 · = - · 所以 k AB · k OM = x2 - x1 x1 + x2 y1 + y2 y1 + y2 = - 9, 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定 x1 + x2 值. B, 点评 2 点差法, 若直线 l 与椭圆 C 有两个交点 A、 A ( x , y ) 、 B ( x , y ) , 设出 代入椭圆方程, 通过作差, 构造 1 1 2 2 y1 + y2 、 x1 - x2 、 y1 - y2 , 出 x1 + x2 、 从而建立中点坐标和斜 率的关系 . 点差法是解决椭圆的中点弦问题的一种常用 方法, 本解法达到“设而不求 ” 的目的, 同时, 还可以降低 优化解题过程 . 解题的运算量,

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①两圆外离: 轨迹为双曲线( 无论两定圆半径大小如何) . 2 2 例 7 动圆 P 和定圆 C1 : ( x - 2 ) + y = 1 内切,和圆 2 2 C2 : ( x - 2 ) + y = 4 外切, 求 P 点的轨迹. 解 由 题 意 得 | PC1 | = r - 1, | PC2 | = r + 2 , 如图 7 ,则 | PC2 | - | PC1 | = 3 < | C1 C2 | = x2 y2 4 ,则轨迹方程为 - =1 9 7 4 4 ( x < 0) . 说明 若动圆 P 与圆 C1 外切, 和圆 C2 内切, 则其轨 迹为上双曲线对应的右支 . ②外切: 轨迹为一条射线( 除去定圆圆心和两圆切点) . ③相交: 轨迹为双曲线的一支( 在某定圆内的部分) . ④内切: 轨迹为一椭圆( 除去切点) . ? 例 8 动圆 P 和定圆 C1 : ( x - 1 ) + y = 1 外切,和圆 C2 : ( x - 2 ) 2 + y2 = 4 内切, 求 P 点的 轨迹 . 解 由 题 意 得 | PC1 | = r + 1 , | PC2 | = 2 - r, 如 图 8 ,则 | PC1 | + | PC2 | = 3 > | C1 C2 | = 1 ,则轨迹方程 x2 y2 = 1 ( x≠0 ) . 为 - 9 2 4 ⑤内含: 轨迹为椭圆 . 说明 此种情况, 无论半径大小, 情况一样, 因为具 体与哪个圆内切不确定 . 综上所述, 解决与两定圆相切的问题, 应当首先确定 两定圆的半径的大小关系, 然后判断两定圆的位置关系, 最后是动圆与两定圆的相切类型, 由圆锥曲线的定义求 . 轨迹方程, 注意排除不合要求的点
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y1 ) , B ( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) , 解法 3 设 A( x1 , 由题设可知 x1 ≠ x2 且 y1 ≠y2 且 x0 ≠0 且 y0 ≠0 . π 设直线 AB 的倾斜角为 α, 又已知 α≠0 且 α≠ , 2 x = x0 + t cosα, 设直线 AB 的参数方程为 { 其中 t 为参 y = y0 + t sinα, 2 2 2 代入椭圆 C: 9 x + y = m ( m > 0 ) 的 方 程 得 9 ( x0 + 数, 2 2 2 t cosα) + ( y0 + t sin α) = m , ( 9cos2 α + sin2 α ) t2 + 整理得, 2 2 2 ( 18 x0 cosα + 2 y0 sin α) t + 9 x0 + y0 - m = 0 . 因为 M ( x0 , y0 ) 为线段 AB 中点, 所以 t1 + t2 = 0, 所以 18x0 cosα + 2y0 sinα = 0, 9x0 9x0 y0 sinα = tanα = - = kAB . 所以 kAB ·kOM = - · = - 所以 cosα y0 y0 x0 9, 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 点评 3 参数方程法, 若直线 l 与椭圆 C 有两个交点 A、 B, 设出直线 l 的参数方程, 将参数方程代入椭圆 C 方 程得到一个关于 t 的一元二次方程, 再根据参数的几何意 义 t1 + t2 = 0 化简 . y1 ) , B ( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) , 解法 4 设 A( x1 , 由题设可 知 x1 ≠x2 且 y1 ≠y2 且 x0 ≠0 且 y0 ≠0 . 由题设可知直线 AB 的斜率存在且不为 0 , 设直线 AB 方程为: y - y0 = k ( x - x2 y2 x 2 2 2 x0 ) , 9x + y = m ( m > 0 ) , 可化为 2 + 2 = 1 , 令 x' = , m m m 3 9 y 2 2 2 2 2 y' = , 则椭圆 9 x + y = m ( m > 0 ) 变为圆 x' + y' = 1 , m m 直线 AB 方程: y - y0 = k ( x - x0 ) 变为 my' - y0 = k ( x' - 3 x0 y0 x0 ) , y0 ) 变为 M' ( , ) , 点 M ( x0 , 弦 AB 变为弦 A'B'. 因 m m 3 2 2 M' x' + y' = 1 为 为圆 的弦 A'B' 的中点, 所以 OM' ⊥A'B'. y0 y k k 0 , k = , · = - 1, 又 k O'M' = 所以 所以 k = - 3 x0 A'B' 3 3 x0 3 9 x0 y0 - 9 x0 , = - 9, 所以 k OM · k AB = · 所以直线 OM 的斜 y0 x0 y0 率与 l 的斜率的乘积为定值 . 点评 4 伸缩变换法 . 先引用高中数学人教 A 版《数 学 . 选修 4 - 4 . 坐标系与参数方程 》 给出的平面直角坐标 y ) 是平面直角坐标系 系坐标伸缩变换的定义: 设点 P ( x, x' = λx( λ > 0 ) , 在变换 φ: { 的作用下, 点P 中的任意一点, y' = μy( μ > 0 ) ( x, y) 对应到点 P' ( x' , y' ) , 则称 φ 为平面直角坐标系中 的坐标伸缩变换 . 坐标伸缩变换具有性质: ( 1 ) 直线与曲 μ 线的位置关系保持不变; ( 2 ) 直线 l 变成直线 l' , 且 k l' = λ k l' ( 当 k l 不存在时, k l' 也不存在) . 对于中点弦问题, 若直线 l 与椭圆 C 有两个交点 A、 x x' = , x2 y2 a B, 先在变换 下, 将椭圆 C 的方程 2 + 2 = 1 ( a > y a b y' = b b > 0 ) 化为圆的方程 x' 2 + y' 2 = 1 , 弦 AB 变为弦 A' B' , 弦 xM yM AB 的中点 M ( x M , y M ) 化为 M' ( , ) , 再根据圆的几何 a b 将椭圆的中 性质 OM' ⊥A'B' 求解 . 本解法利用伸缩变换, 点弦问题化为圆中弦的问题 .

{

笔者通过对该题进行探究, 得出了两个结论, 并利用 简解两道历年高考真题 . 两个结论, 三、 拓展推广与应用 y2 x2 直线 l 结论 1 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) , a b l 与 C 有两个交点 A, B, 不过原点 O 且不平行于坐标轴, 线段 AB 的中点为 M. 则直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘 a2 积为定值 - 2 . b y1 ) , B ( x2 , y2 ) , M ( x0 , y0 ) , 证明 设 A( x1 , 因为直线 l x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 , x1 + 不过原点 O 且不平行于坐标轴, 所以, y2 - y1 y0 x2 ≠0 , y 1 + y 2 ≠0 , kl = , k = . 因为 M 为线 于是, x2 - x1 OM x0 y2 x2 1 1 y1 + y2 = 2 y0 . 又 2 + 2 = 段 AB 的中点, 所以 x1 + x2 = 2 x0 , a b y2 x2 1 1 2 2 1, 2 + 2 = 1, 两式相减得, 2 ( y1 + y2 ) ( y1 - y2 ) + 2 ( x1 a b a b + x2 ) ( x1 - x2 ) = 0 , y2 - y1 y1 + y2 y2 - y1 2 y0 a2 · = - 2, · = - 整理得 所以 x2 - x1 x1 + x2 x2 - x1 2 x0 b a2 a2 所以 k l ·k OM = - 2 , 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率 2 , b b a2 的乘积为定值 - 2 . b 同理可证以下结论 2 x2 y2 结论 2 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) , 直线 l a b l 与 C 有两个交点 A, B, 不过原点 O 且不平行于坐标轴, 线段 AB 的中点为 M. 则直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘 b2 积为定值 - 2 . a 10 ) 已知椭圆 例 1 ( 2013 年全国新课标 Ⅰ 卷理科, 2 2 x y E : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的右焦点为 F( 3 , 0) , 过点 F 的直 a b B 两点. 若 AB 的中点坐标为 ( 1 ,- 1 ) , 线交 E 于 A, 则E ). 的方程为( x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 45 36 36 27 27 18 18 9 b2 解 记 AB 中点为 M , 由结论 2 得 k AB · k OM = - 2 . 又 a 1 b2 1 k = - 1, 因为 k AB = k FM = , 所以 2 = . 解方程组 2 OM 2 a 2 2 a = 2b , x2 2 b2 = 9 . 所以椭圆 E 的方程为 { a2 - b2 = 9 , 解得 a = 18 , 18 y2 + = 1, 故选 D. 9 15) 过点 M( 1, 1) 作斜率为 - 例 2 ( 2014 年江西卷理科, 1 x2 y2 B 两点, 的直线与椭圆 C: 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 相交于 A, 2 a b . 若 M 是线段 AB 的中点, 则椭圆 C 的离心率等 b2 1 k = 解 由结论 2 得 kAB ·kOM = - 2 . 因为 kAB = - , 2 OM a 1, 所以 b2 1 c , = 椭圆 C 的离心率 e = 2 = 2 a a



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b2 槡 2 . 2 = 2 a

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