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椭圆题型归纳大全

时间:2014-07-22


椭圆典型题型归纳
题型一. 定义及其应用 例 1.已知一个动圆与圆 C : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 100 相内切, 且过点 A(4, 0) , 求这个动圆圆心 M 的轨迹方程; 例 2. 方程 3 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? x ? 2 y ? 2 所表示的曲线是
2 2

练习:
2 2 2 2 1.方程 ( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 6 对应的图形是(



A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆 )

2 2 2 2 2.方程 ( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 10 对应的图形是(

A.直线

B. 线段

C. 椭圆

D. 圆 ) D.

2 2 3.方程 x ? ( y ? 3) ? ?

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 成立的充要条件是(
B.

A.

x2 y 2 ? ?1 25 16

x2 y 2 ? ?1 25 9

C.

x2 y 2 ? ?1 16 25

x2 y 2 ? ?1 9 25

2 2 4.如果方程 x ? ( y ? m) ? ?

x 2 ? ( y ? m) 2 ? m ? 1 表示椭圆,则 m 的取值范围是

5.过椭圆 9x ? 4 y ? 1 的一个焦点 F 则 A, B 两点与椭圆的 1 的直线与椭圆相交于 A, B 两点,
2 2

另一个焦点 F2 构成的 ?ABF2 的周长等于



6.设圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 25 的圆心为 C , A(1, 0) 是圆内一定点, Q 为圆周上任意一点,线段

AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M ,则点 M 的轨迹方程为
题型二. 椭圆的方程 (一)由方程研究曲线 例 1.方程



x2 y 2 ? ? 1 的曲线是到定点 16 25



的距离之和等于



点的轨迹; (二)分情况求椭圆的方程 例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴, 且长轴是短轴的 3 倍, 并且过点 P(3, 0) , 求椭圆的方程;

第1页

(三)用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P 1 ( 6,1) 、 P 2 (? 3, ? 2) , 求椭圆的方程; 例 4.求经过点 (2, ?3) 且与椭圆 9x2 ? 4 y 2 ? 36 有共同焦点的椭圆方程;

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1(k ? ?b2 ) ; 注:一般地,与椭圆 2 ? 2 ? 1 共焦点的椭圆可设其方程为 2 a ?k b ?k a b
(四)定义法求轨迹方程;

1 ,0 ) , 1 ( ,0 )C 例 5.在 ?ABC 中,A, B, C 所对的三边分别为 a, b, c , 且 B( ?
且 b, a, c 成等差数列时顶点 A 的轨迹;

, 求满足 b ? a ? c

(五)相关点法求轨迹方程;

x2 ? y 2 ? 1上任一点,求 AQ 的中点 M 的轨迹 例 6.已知 x 轴上一定点 A(1, 0) , Q 为椭圆 4
方程; (六)直接法求轨迹方程; 例 7.设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 x ? 2 y ? 4 交于 A, B 两点,点 P 是直线 l 上满足
2 2

PA PB ? 1的点,求点 P 的轨迹方程;

(七)列方程组求方程 例 8.中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 y ? 3x ? 2 截得的弦的中点的横坐标 为

1 ,求此椭圆的方程; 2

题型三.焦点三角形问题

5 x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 的纵坐标为 ,椭圆的上下两个焦点分别为 F2 、 F1 , 例 1.已知椭圆 3 16 25
求 PF1 、 PF2 及 cos ?F 1PF 2;

第2页

题型四.椭圆的几何性质 例 1.已知 P 是椭圆

5 x2 y 2 ? 2 ? 1 上的点,的纵坐标为 , F1 、 F2 分别为椭圆的两个焦点, 2 3 a b

椭圆的半焦距为 c ,则 PF 1 PF 2 的最大值与最小值之差为

x2 y 2 例 2.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的四个顶点为 A, B, C , D ,若四边形 ABCD 的内切圆恰 a b
好过焦点,则椭圆的离心率为 ;

例 3.若椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k ? 2 k ?1 4



例 4.若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,F1 、F2 为其两个焦点,且 ?PF1F2 ? 150 , a 2 b2

?PF2 F1 ? 750 ,则椭圆的离心率为
题型五.求范围 例 1.方程

x2 y2 ? ? 1 表示准线平行于 x 轴的椭圆,求实数 m 的取值范围; m2 (m ? 1)2

题型六.椭圆的第二定义的应用 例 1. 方程 2 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? x ? y ? 2 所表示的曲线是
2 2

例 2.求经过点 M (1, 2) ,以 y 轴为准线,离心率为

1 的椭圆的左顶点的轨迹方程; 2

例 3.椭圆

5 x2 y 2 ? ? 1 上有一点 P ,它到左准线的距离等于 ,那么 P 到右焦点的距离为 2 25 9

例 4.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M ,使它到 4 3

左准线的距离为它到两焦点 F1 , F2 距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找 到,请说明理由。

第3页

例 5.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(1 , 1) , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是 9 5
3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标. 2

椭圆上一点.求 PA ?

题型七.求离心率

x2 y 2 例 1. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?c,0) , A(?a, 0) , B(0, b) 是两个顶点, a b
AB 的距离为 如果 F 1 到直线

b ,则椭圆的离心率 e ? 7

例 2.若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 、 F2 为其两个焦点,且 ?PF1F2 ? ? , a 2 b2

?PF2 F1 ? 2? ,则椭圆的离心率为

例 3. F1 、 F2 为椭圆的两个焦点,过 F2 的直线交椭圆于 P, Q 两点, PF 1 ? PQ,且

PF 1 ? PQ ,则椭圆的离心率为
题型八.椭圆参数方程的应用 例1. 椭圆



x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 的距离最大时,点 P 的坐标 4 3

2 2 例 2.方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 ( 0 ? ? ? ? )表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值范围;

题型九.直线与椭圆的关系 (1)直线与椭圆的位置关系 例 1. 当 m 为何值时,直线 l : y ? x ? m 与椭圆 9 x ? 16 y ? 144 相切、相交、相离?
2 2

第4页

例 2.曲线 2 x2 ? y 2 ? 2a2( a ? 0 )与连结 A(?1,1) , B(2,3) 的线段没有公共点,求 a 的取 值范围。

例 3.过点 P(? 3, 0) 作直线 l 与椭圆 3x2 ? 4 y 2 ? 12 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,求

?OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
分析: 若直接用点斜式设 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 3) , 则要求 l 的斜率一定要存在, 但在这里 l 的斜率有可能不存在, 因此要讨论 斜率不存在的情形,为了避免讨论,我们可以设直线 l 的方程为

y A P B O x

x ? my ? 3 ,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简化
了运算。 解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , l : x ? my ? 3

S ?AOB ?

1 1 | OP | ? | y1 | ? | OP | ? | y 2 |? 3 (| y1 | ? | y 2 |) ? 3 ( y1 ? y 2 ) 2 2

把 x ? my ? 3 代入椭圆方程得: 3(m2 y 2 ? 2 3my ? 3) ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即

(3m2 ? 4) y 2 ? 6 3my ? 3 ? 0 , y1 ? y 2 ?

3 6 3m , y1 y 2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

| y1 ? y 2 |?

108m 2 12 1 ? ? 144x 2 ? 48 2 2 2 2 (3m ? 4) 3m ? 4 3m ? 4

?

4 9m 2 ? 3 4 3 ? 3m 2 ? 1 4 3 ? 3m 2 ? 1 ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 (3m 2 ? 1) ? 3
4 3m 3m 2 ? 1 ? 3 3m 2 ? 1 ? 4 3 ?2 2 3

?

第5页

∴S ?

3 3 ? 2 ? 3 ,此时 3m 2 ? 1 ? 2 3m 2 ? 1

m??

6 3

令直线的倾角为 ? ,则 tan ? ? ?

3 6 ?? 2 6
6 。 2

即 ?OAB 面积的最大值为 3 ,此时直线倾斜角的正切值为 ?

例 4. 求 直 线 x cos ? ? y sin ? ? 2 和 椭 圆 x2 ? 3 y 2 ? 6 有 公 共 点 时 , ? 的 取 值 范 围

(0 ? ? ? ? ) 。
(二)弦长问题 例 1.已知椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 12 , A 是 x 轴正方向上的一定点,若过点 A ,斜率为 1 的直线被

椭圆截得的弦长为

4 13 ,求点 A 的坐标。 3

分析:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线 f ( x, y) ? 0 相交于两点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) , 则弦 PQ 的长度的计算公式为 | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ?
2

1 | y1 ? y2 | , k2

而 | x1 ? x 2 |?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 , 因 此 只 要 把 直 线 y ? kx? b的 方 程 代 入 圆 锥 曲 线

f ( x, y)? 0方程,消去 y (或 x ) ,结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解: 设 A( x0 ,0) ( x0 ? 0 ) , 则直线 l 的方程为 y ? x ? x0 , 设直线 l 与椭圆相交于 P( x1 , y1 ) 、

? y ? x ? x0 ,可得 3x2 ? 4x0 x ? 2x02 ?12 ? 0 , Q( x2 , y2 ) ,由 ? 2 2 x ? 2 y ? 12 ?
x1 ? x 2 ? 4 x0 2 x0 ? 12 , x1 ? x2 ? ,则 3 3
2

| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

16x0 8x ? 48 2 2 ? 0 ? 36 ? 2 x0 9 3 3

2

2



4 14 4 14 2 2 ? 2 ? ? 36 ? 2 x0 ? 1 ? x 2 ? | x1 ? x2 | ,即 3 3 3
2

∴ x0 ? 4 ,又 x0 ? 0 ,∴ x0 ? 2 ,∴ A(2, 0) ;
第6页

例 2.椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1与直线 x ? y ? 1 相交于 A, B 两点, C 是 AB 的中点, 若 | AB |? 2 2 , O 为坐标原点, OC 的斜率为

2 ,求 a , b 的值。 2

例 3.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2 ,过中心 O 作直线与椭圆交于 A, B 两点,若 45 20

?ABF2 的面积是 20,求直线方程。

(三)弦所在直线方程 例 1.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过点 P(2, 0) 能否作直线 l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是 P ; 16 4

例 2.已知一直线与椭圆 4x ? 9 y ? 36 相交于 A, B 两点,弦 AB 的中点坐标为 M (1,1) ,求
2 2

直线 AB 的方程;

例 3. 椭圆 E 中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,其离心率 e ? 圆 E 相交于 A, B 两点,且 C 分有向线段 AB 的比为 (1)用直线 l 的斜率 k (k ? 0) 表示 ?OAB 的面积; (2)当 ?OAB 的面积最大时,求椭圆 E 的方程. 解: (1)设椭圆 E 的方程为

2 ,过点 C (?1,0) 的直线 l 与椭 3

x2 y2 c 2 ? 2 ? 1 ,由 e ? ? ,∴ a2=3b2 2 a b a 3
第7页

故椭圆方程 x2 ? 3 y 2 ? 3b2 ; 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由于点 C (?1, 0) 分有向线段 AB 的比为 2.

? x1 ? 2 x2 ? ?1 ? ? x1 ? 1 ? ?2( x 2 ? 1) ? 3 ∴? ,即 ? ? y1 ? ?2 y 2 ? y1 ? 2 y 2 ? 0 ? ? 3
由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 消去 y 整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0 ? y ? k ( x ? 1)

由直线 l 与椭圆 E 相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点

? ? Δ ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 2b 2 ) ? 0 ? 6k 2 ? x ? x ? ? ? 1 2 3k 2 ? 1 ? ? 3k 2 ? 3b 2 x x ? ? 1 2 3k 2 ? 1 ?
而 S ?OAB ?

③ ④ ⑤ ⑥

1 1 3 3 3 | y1 ? y2 |? | ?2 y2 ? y2 |? | y2 |? | k ( x2 ? 1) |? | k || x2 ? 1| 2 2 2 2 2 2 3| k | (k ? 0) . 由① ④ 得: x2 ? 1 ? ? 2 ,代入⑥ 得: S ?OAB ? 2 3k ? 1 3k ? 1
(2)因 S?OAB ?

3| k | 3 3 3 , ? ? ? 2 3k ? 1 3 | k | ? 1 2 2 3 |k|
3 , S?OAB 取得最大值. 3
x1 ? 2 x2 ? ?1 ,∴x1 ? ?1, x2 ? ?2 ; 3

当且仅当 k ? ?

此时 x1 ? x2 ? ?1 ,又∵ 将 x1 , x2 及 k ?
2

1 2 2 代入⑤ 得 3b2=5,∴ 椭圆方程 x ? 3 y ? 5 . 3

例 4.已知 A( x1 , y1 ), B(1, y0 ), C ( x2 , y2 ) 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的三点, F 为椭圆的左焦点, 4 3

且 AF , BF , CF 成等差数列,则 AC 的垂直平分线是否过定点?请证明你的结论。

第8页

(四)关于直线对称问题 例 1.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直线 4 3

y ? 4 x ? m 对称;

例 2.已知中心在原点,焦点在 y 轴上,长轴长等于 6,离心率 e ? 线 l ,使 l 与椭圆交于不同两点 A, B ,且线段 AB 恰被直线 x ? ? 线 l 倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由。

2 2 ,试问是否存在直 3

1 平分?若存在,求出直 2

题型十.最值问题 例 1. 若 P(? 2 , 3 ) ,F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点, 点 M 在椭圆上移动, 求 MP ? MF2 25 16
M1 F1 F2 M2 o

的最大值和最小值。 分析:欲求 MP ? MF2 的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义

MF2 ? 2a ? MF1 , F1 为椭圆的左焦点。

解: MP ? MF2 ? MP ? 2a ? MF 1 ,延长 PF 1 交椭圆于点 M1,延长 F 1 P 交椭 1 ,连接 PF 圆于点 M 2 由三角形三边关系知 ? PF 1 ? MP ? MF 1 ? PF 1 当且仅当 M 与 M 1 重合时取右等号、 M 与 M 2 重合时取左等号。 因为 2a ? 10, PF 1 ? 2 ,所以 ( MP ? MF 2 )max ? 12 , ( MP ? MF 2 )min ? 8 ;

结论 1: 设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P( x0 , y0 ) 为椭圆内一点,M ( x, y) 为 a2 b2
第9页

椭圆上任意一点,则 MP ? MF2 的最大值为 2a ? PF 1 ,最小值为 2a ? PF 1 ; 例 2. P(?2, 6) , F2 为椭圆 最大值和最小值。 分析:点 P 在椭圆外, PF2 交椭圆于 M ,此点使 MP ? MF2 值最小,求最大值方法同例 1。 解: MP ? MF2 ? MP ? 2a ? MF 1 并延长交椭圆于点 M1, 1 ,连接 PF 则 M 在 M1 处时 MP ? MF1 取最大值 PF1 ; ∴ MP ? MF2 最大值是 10+ 37 ,最小值是 41 。 结论 2 设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求 MP ? MF2 的 25 16

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,M ( x, y) 为 a2 b2

椭圆上任意一点,则 MP ? MF2 的最大值为 2a ? PF 1 ,最小值为 PF2 ; 2.二次函数法 例 3.求定点 A(a, 0) 到椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点之间的最短距离。 a2 b2

分析:在椭圆上任取一点,由两点间距离公式表示 PA ,转化为 x, y 的函数求最小值。 解:设 P( x, y) 为椭圆上任意一点,

PA ? ( x ? a) 2 ? y 2 ? ( x ? a ) 2 ? 1 ?

2

1 2 1 x ? ( x ? 2a ) 2 ? 1 ? a 2 2 2

由椭圆方程知 x 的取值范围是 [? 2, 2] (1)若 a ?

2 2 ,则 x ? 2a 时, PA min ? 1 ? a 2 2 ,则 x ? 2 时 PA min ? a ? 2 2 2 ,则 PA min ? a ? 2 2

(2)若 a ?

(3)若 a ? ?

结论 3:椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 M ( x, y) 到定点 A(m,0)或 B(0,n)距离的最值问题,可以用 a2 b2

第 10 页

两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱,通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求 最值,注意自变量的取值范围。 3.三角函数法 例 4.求椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点 M ( x, y) 到直线 l : x ? 2 y ? 4 的距离的最值; 2 4

解:三角换元 d ?

x ? 2y ? 4 5

? x ? 2 cos? x2 2 ∵ 2 ? y ? 1 ∴令 ? ?? ? R ? 4 ? y ? sin ?
? 2 5 2 sin(? ? ) ? 2 4

则d ?

2cos ? ? 2sin ? ? 4 5

?

当 sin(? ?

?
4

) ? 1 时 d min ?

? 4 5 ? 2 10 4 5 ? 2 10 ;当 sin(? ? ) ? ?1 时 , d max ? 4 5 5

结论 4: 若椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数 a2 b2

方程,统一变量转化为三角函数求最值。 4.判别式法 例 4 的解决还可以用下面方法 把直线平移使其与椭圆相切,有两种状态,一种可求最小值,另一种求最大值。 解。令直线 m : x ? 2 y ? c ? 0 将 x ? ?2 y ? c 代入椭圆方程整理得 8 y 2 ? 4cy ? c2 ? 4 ? 0 , 由△=0 解得 c ? ?2 2 , c ? ?2 2 时直线 m : x ? 2 y ? 2 2 ? 0 与椭圆切于点 P , 则 P 到直线 l 的距离为最小值,且最小值就是两平行直线 m 与 l 的距离, 所以 d min ?

4 5 ? 2 10 ; 5

c ? 2 2 时直线 m : x ? 2 y ? 2 2 ? 0 与椭圆切于点 Q,则 Q 到直线 l 的距离为最大值,且
最大值就是两平行直线 m 与 l 的距离,所以 d max ?

4 5 ? 2 10 。 5

结论 5: 椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的问 题,利用判别式求出直线 m 方程,再利用平行线间的距离公式求出最值。 例 5.已知定点 A(?2, 3) ,点 F 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,点 M 在该椭圆上移动时, 16 12

求 AM ? 2 MF 的最小值,并求此时点 M 的坐标; (第二定义的应用)

第 11 页

例 3. 已知 F1 、F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点, 椭圆内一点 M 的坐标为 (2, ?6) , 100 64

P 为椭圆上的一个动点,试分别求:
(1) PM ? 解: (1)

5 PF2 的最小值; 3

(2) PM ? PF2 的取值范围.

44 ,此时点 P 为过点 M 且垂直于 l 的线段与椭圆的交点; 3

(2)由椭圆的定义知 PF 1 ? PF 2 ? 20 ,故 PM ? PF 2 ? PM ? 20 ? PF 1 , ① PM ? PF 1 ? MF 1 ? 10 ,故 PM ? PF 2 ? 30 (当且仅当 P 为有向线段 MF1 的延长线与椭圆的交点时取“=”) ; ② PF 1 ? PM ? MF 1 ? 10 ,故 PM ? PF 2 ? 20 ? ( PF 1 ? PM ) ? 10 ; (当且仅当 P 为有向线段 MF1 的反向延长线与椭圆的交点时取“=”) 综上可知, PM ? PF2 的取值范围为 [10,30] ; 题型十一.轨迹问题 例 1.到两定点 (2,1) , (?2, ?2) 的距离之和为定值 5 的点的轨迹是 . 椭圆 B.双曲线
2 2

(

)

C.直线

D.线段

例 2. 已知点 A(3, 0) , 点 P 在圆 x ? y ? 1的上半圆周上(即 y>0), ∠AOP 的平分线交 PA 于 Q,求点 Q 的轨迹方程。

例 3.已知圆 C : ( x ? 3) ? y ? 100 及点 A(?3, 0) , P 是圆 C 上任一点,线段 PA 的垂直平
2 2

分线 l 与 PC 相交于 Q 点,求 Q 点的轨迹方程。

题型十二.椭圆与数形结合 例 1.关于 x 的方程 2 ? 2x2 ? kx ? 2k ? 0 有两个不相等的实数解,求实数 k 的取值范围. 例 2.求函数 ? ? 2t ? 4 ? 6 ? t 的最值。

第 12 页


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