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补充1:数列通项公式求法

时间:2013-04-16

课题:求数列通项公式常用方法
一、公式法: 利用熟悉的公式求通项公式的方法。 常用公式有等差数列和等比数列的通项公式
?a1 (n ? 1) 及 an ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

例 二、累加法: 利用恒等式 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ... ? (an ? an?1 ) 求通项公式的方法, 通常适用 an ? an?1 ? f (n) ( n ? 2 ) 例:1、已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? n ( n ? N ? ) ,则数列 ?a n ? 的通 项公式为 a n ?
n2 ? n ? 2 2

2、已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ? 3 n ?1 ( n ? N ? ) ,则数列 ?a n ? 的通项 公式为 a n ?
3n ? 1 2

3、已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 的通项公式为 a n ? ( A:
1 n ?1

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ( n ? N? ) ,则数列 ?a n ? 2 n ? 3n ? 2

B

) C:
n ?1 n?2

B:

n n ?1

D:

1 n ?1 ? 2 2 n ? 3n ? 2

三、累积法: 利用恒等式 a n ? a1 ?
a a 2 a3 ? ? ... ? n ( a n ? 0 )求通项公式的方法,通常适 a1 a 2 a n ?1

用 a n ? g (n)a n ?1 ( n ? 2 ) 例:已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a n ? n(a n ?1 ? a n ) ( n ? N ? ) ,则数列 ?a n ?的通 项公式为 a n ? ( A: 2n ? 1 四、转化法: D ) B: (
n ? 1 n ?1 ) n

C: n 2

D: n

通过变换递推关系,将非等差(比)数列转化为与等差(比)有关的数列而求得 通项公式的方法 1、凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式 a n ?1 ? qan ? d ,通过凑配变成
a n ?1 ? d d ? q(a n ? ) ,或消常数项转化为 an? 2 ? an?1 ? q(an?1 ? an ) q ?1 q ?1

例:已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a n ? 2a n ?1 ? 1( n ? 2 ) ,求数列 ?a n ?的通项公式
2 ) 解: (法①)由 a n ? 2a n ?1 ? 1知 an ? 1 ? (a n?1 ? 1 ,又 a1 ? 1 ? 2 ,故:数列 ?a n ?是

首项为 2,公比为 2 的等比数列, a n ? 1 ? 2 n a n ? 2 n ? 1 (法②)由 a n ? 2a n ?1 ? 1知 a n ?1 ? 2a n ? 1, a n?1 ? a n ? 2(a n ? a n ?1 ) ( n ? 2 ) 故数列 ?a n ?1 ? a n ?是首项为 a 2 ? a1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列,即
a n ?1 ? a n ? 2 n ,再用累加法求得 a n ? 2 n ? 1

2、 倒数变换—如将一阶分式递推公式 a n ?1 ? 例:已知数列 ?a n ?中 a1 ? 1 , a n ?1 ? A: 2n ? 1 B: 2n ? 1

ban 1 d 1 c ? ? ? , 取倒数得 can ? d a n ?1 b a n b

an ,由这个数列的第 n 项为( 2a n ? 1

C



C:

1 2n ? 1

D:

1 2n ? 1

3、换元变换——如将一阶递推公式 a n ?1 ? qan ? d n 变换成

a n?1 q a n 1 ? ? ? d n?1 d d n d

令 bn ?

an q 1 ,则转化为一阶线性递推关系 bn?1 ? bn ? n d d d

例:已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a n ?1 ? 3a n ? 2 n ( n ? N ? ) , 求数列 ?a n ?的通项公式 解:由 a n ?1 ? 3a n ? 2 n 知
3 ∴ bn ? ( ) n 2
a n ?1 3 a n 1 a 3 3 ? ? n ? ,令 bn ? n ? 1 ,则 bn ?1 ? bn b1 ? n ?1 n 2 2 2 2 2 2 2

从而 a n ? 3 n ? 2 n
p

4、对数变换——如将一阶递推公式 a n ?1 ? can 取对数得 lg a n?1 ? p lg a n ? lg c

例:已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 2 , a n ? a n ?1 ( n ? 2 ) ,求数列 ?a n ?的通项公式
2

解:由 a n ? a n ?1 知 lg a n ? 2 lg a n ?1 ∴ lg a n ? lg a1 ? 2 n ?1 ? lg 2 ? 2 n ?1 ? lg 2 2
2

n ?1

故: a n ? 2 2 应用:

n ?1

1、 已知正数数列 ?a n ?中, 1 ? 2 , 且关于 x 的方程 x 2 ? a n?1 x ? a 有相等的实根 (1)求 a 2 , a3 的值 (2)求证:
1 1 1 2 ? ? ... ? ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 3

2a n ? 1 ? 0 n ? N? , 4

n ? N?

解: (1)由 ? ? a n?1 ? 2a n ? 1 ? 0 得 a n ?1 ? 2a n ? 1

又 a1 ? 2 ,则 a 2 ? 5, a3 ? 11
1 1 ? 1 ? a n 3 ? 2 n ?1

2 ) a n ? 1 ? 3 ? 2 n ?1 (2)由 a n ?1 ? 2a n ? 1得 an?1 ? 1 ? (an ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 3 2 2 2

1 1 ? ( )n 1 2 ? 2 ? (1 ? 1 ) ? 2 ? ? 1 3 3 3 2n 1? 2
2、已知数列 ?a n ?中 a1 ? 1 , a n ?1 ? 若 S 2 n?1 ? S n ? A:10 解:由 a n ?1 ?
1 an
2

1 an
2

? 4 ? 1 ,记 S n ? a1 ? a 2 ? ... ? a n
2 2

2

m 对任意的 n ? N ? 恒成立,则正整数 m 的最小值为( A ) 30

B:9
? 4 ? 1知

C:8
1 a n ?1
2

D:7
1 an
2

?

1 an
2

? 4,

?

1 a1
2

? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 3

an ?
2

1 4n ? 3

S 2 n ?1 ? S n ?

1 1 1 ? ? ... ? 4n ? 1 4 n ? 5 4(2n ? 1) ? 3

记 f ( n) ?

1 1 1 ? ? ... ? 4n ? 1 4n ? 5 4(2n ? 1) ? 3

则 f (n ? 1) ?

1 1 1 1 ? ? ... ? ? 4n ? 5 4n ? 9 4(2n ? 1) ? 3 4(2n ? 3) ? 3 1 1 1 1 ? ? ? ?0 4(2n ? 3) ? 3 4n ? 1 8n ? 9 4n ? 1

所以 f (n ? 1) ? f (n) ?

1 ? f (n) 关于 n 单调递减, f (n) 的最大值为 f( ) S 3 ? S1

1 1 2 1 14 2 2 2 2 ,则 a1 ? 1, a 2 ? , a3 ? , S 3 ? S1 ? a 2 ? a3 ? 4n ? 3 5 9 45 m 14 28 由题意知 ,m ? ,又 m ? N ? ,故: m 的最小值为 10 ? 30 45 3

又 a1 ? 1 , a n ?
2


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