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2008年苍南县“姜立夫”杯数学竞赛高二试卷

时间:2011-10-01


年苍南县“姜立夫杯” 2008 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二试卷
考生注意事项: 考生注意事项: 道题目, 分钟. 1 本卷共有 17 道题目,全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟. 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校 姓名和准考证号. 填写好自己的学校、 2 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 3 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 本卷解答一律不准使用计算器 使用计算器. 4 本卷解答一律不准使用计算器. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分,每小题有且仅有一个正确的答案) 选择题( 小题, 小题有且仅有一个正确的答案)
1.若函数 y = log a x ? ax + 1 有最小值,则 a 的取值范围是
2

(

)

( D. a ≥ 2



A. 0 < a < 1

B. 0 < a < 2, a ≠ 1

C. 1 < a < 2

2. 设 a = sin(sin 2008 0 ) , b = sin(cos 2008 0 ) , c = cos(sin 2008 0 ) , d = cos(cos 2008 0 ) ,则

a, b, c, d 的大小关系是
A. a < b < c < d C. c < d < b < a B. b < a < d < c D. d < c < a < b
*





3. 函数 f ( x) 是 (0, +∞ ) 上的单调递增函数, n ∈ N 时, f ( n) ∈ N * , f [ f ( n)] = 3n , f (1) 当 且 则 的值等于 ( A.1 B.2 C.3 D.4 4.5 名志愿者随意进入 3 个不同的奥运场馆参加接待工作,则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 ( A. ) )

3 5

B.

1 15

C.

5 8

D.

50 81


5.已知圆 ( x ? 3) 2 + y 2 = 4 和过原点的直线 y = kx 的交点为 P、Q,则|OP|·|OQ|的值为( A.

5 1+ k 2

B. 1 + k

2

C.10

D.5

6 . 已 知 f ( x) = x + 1 + x + 2 + L + x + 2007 + x ? 1 + x ? 2 + L + x ? 2007 ( x ∈ R ) 且 ,

f (a 2 ? 3a + 2) = f (a ? 1), 则 a 的值有
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.无数个





7. 设函数 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + 6 x + 14 ,且 f ( a ) = 1 , f (b) = 19 ,则 a + b = A.2 B.1 C.0 D. ? 2





8.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 2 7 和

4 3 ,M 、 N 分别为 AB 、CD 的中点,每两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:

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1

①弦 AB 、 CD 可能相交于点 M ③ MN 的最大值为 5 其中真命题为 A.①③④ B.①②③

②弦 AB 、 CD 可能相交于点 N ④ MN 的最小值为 1 ( C.①②④ D.②③④ )

个小题, 请将正确的答案填在横线上) 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上) 填空题(
9 . 已 知 平 面 上 三 个 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |= 3,| BC |= 4,| CA |= 5 , 则

uuu r

uuu r

uuu r

uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r AB·BC + BC ·CA + CA· AB = ____________.
10.右图的发生器对于任意函数 f ( x ) , x ∈ D 可制造出一 系列的数据,其工作原理如下:①若输入数据 x0 ? D , 则发生器结束工作;②若输入数据 x0 ∈ D 时,则发生 器输出 x1 ,其中 x1 = f ( x0 ) ,并将 x1 反馈回输入端.现 定义 f ( x ) = 2 x + 1 , D = (0,50) .若输入 x0 = 1 ,那么, 当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 11.已知函数 y = f ( x) 的图象如图,则满足 f ( .
输入 x 0

x0 = x1
输出 x1

x1 = f ( x0 ) x0 ∈ D
否 结束 是

(第 10 题图)

2x2 ? x ? 1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x + 20)) ≤ 0 的 2 x ? 2x +1

x 的取值范围为

. y

O

1

x

(第 11 题) 12. 从 m 个男生, n 个女生( 10 ≥ m > n ≥ 4 )中任选 2 个人当组长,假设事件 A 表示选出的 2 个人性别相同,事件 B 表示选出的 2 个人性别不同.若 A 的概率和 B 的概率相等,则 ( m, n ) 的可能值为 13.若关于 x, y 的方程组 ? 为 . . .

? ax + by = 1 有解,且所有的解都是整数,则有序数对 ( a, b ) 的数目 2 2 ? x + y = 10

14.已知数列 {a n } 满足 a1 = 0 , a n +1 = a n + 1 + 2 1 + a n ( n = 1,2, L) ,则 a n =___

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2

三、解答题(本大题共 3 小题,第 15 题 8 分,第 16、17 题各 12 分,满分 32 分. 要求写出 解答题( 小题, 16、 要求写出 必要的解答过程) 必要的解答过程)
15.已知函数 f ( x ) =

3 sin x cos x + cos 2 x + a ( a 为常数) .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期,并指出其单调减区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 ?0, ? 上恰有两个 x 的值满足 f ( x ) = 2 ,试求实数 a 的取值范围.

? ?

π?
2?

16.已知数列 {an } 中 a1 = 1 ,.关于 x 的方程 x ? an +1 sin(cos x) + (2an + 1)sin1 = 0 有唯一解.
2

(1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn = nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 sn ; (3) 设 cn = [1 +

1 ]n ,求证: cn < 3 . log 2 (an + 1)

17. 是否存在一个二次函数 f (x ) , 使得对任意的正整数 k , x = 55L 5 时, 当 都有 f ( x) = 55L 5 1 3 2 1 3 2
k个 5 2 k个 5

成立?请给出结论,并加以证明.

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