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利用导数解决恒成立问题

时间:2019-03-10

利用导数求函数最值 ●基础知识总结和逻辑关系
一、 函数的单调性
求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的 f ( x) 的定义区间; 2) 求 f '( x) ,令 f '( x) ? 0 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根; 3) 把函数 f ( x) 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 f ( x) 的定义区间分成若干个小区间; 4) 确定 f '( x) 在各个区间内的符号,由 f '( x) 的符号判定函数 f ? x ? 在每个相应小区 间内的单调性.

二、

函数的极值

求函数的极值的三个基本步骤
1) 2) 3) 求导数 f '( x) ; 求方程 f '( x) ? 0 的所有实数根; 检验 f '( x) 在方程 f '( x) ? 0 的根左右的符号,如果是左正右负(左负右正) ,则 f ( x) 在这个根处取得极大(小)值.

三、
1) 2)

求函数最值

求函数 f ( x) 在区间 ( a , b) 上的极值; 将极值与区间端点函数值 f (a) , f (b) 比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就 是最小值.

四利用导数证明不等式 1) 利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于 (或小于) 0 时, 则该函数在该区间上单调递增 (或 递减).因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数 的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的 .即把证明不等式转化为证明函数的 单调性.具体有如下几种形式:

① 直接构造函数, 然后用导数证明该函数的增减性; 再利用函数在它的同一单调递增 (减) 区间,自变量越大,函数值越大(小) ,来证明不等式成立. ② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目 的. 2) 利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式. 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时, 根据不等式的特点, 有时可以构 造函数,用导数求出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得 该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.

●解题方法总结和题型归类

利用导数研究含参变量函数的恒成立问题
1) 其中关键是根据题目找到给定区间上恒成立的不等式,转化成 最值问题。 2) 首先找不等式。一般来说,有以下五类题型:

① 在某个区间上“单调递增减” :表明 f ?( x) ? 0 ( f ?( x) ? 0 )恒成立; ② “无极值点”,表明 f ?( x) ? 0 恒成立或 f ?( x) ? 0 恒成立; ③“曲线 y ? f ( x) 在曲线 y ? g ( x) 上方(下方) ” : 表明 f ( x) ? g ( x) ? 0 ( f ( x) ? g ( x) ? 0 )恒成立; ③ “无零点”:表明 f ( x) ? 0 恒成立或 f ( x) ? 0 恒成立; ⑤标志词: “任意”, “所有”, “均有”, “恒成立”等等,此时题干 已给出不等式 例 1:设函数 f(x)=ax3-3x+1 (x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,
则实数 a 的值为? 【解析】若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 3 1 3 1 当 x>0, 即 x∈(0,1]时, f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥ 2- 3.设 g(x)= 2- 3, 则 g′(x) x x x x



3?1-2x? , x4

1? ?1 ? ?1? 所以 g(x)在区间? ?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减,因此 g(x)max=g?2?= 4,从而 a≥4. 3 1 当 x<0,即 x∈[-1,0)时,同理 a≤ 2- 3. x x g(x)在区间[-1,0)上单调递增, ∴g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4, 综上可知 a=4. 【点评】首选考虑参量分离。得到 a ? F ( x) 或 a ? F ( x) ,然后求 F ( x) 的最值 【答案】a=4. 【难度】***
2 【题】设函数 f ( x ) = ( x ? a) ln x , a ∈R

(Ⅰ)若 x = e 为 y ? f ( x) 的极值点,求实数 a ; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ∈(0,3 e ],恒有 f ( x ) ≤4 e 成立. 注: e 为自然对数的底数. 【难度】****
2

例 2:已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex (x∈R,e 为自然对数的底数).
(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, 所以 f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex =(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,因为 ex>0, 所以-x2+2>0,解得- 2<x< 2. 所以函数 f(x)的单调递增区间是[- 2, 2]. (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, 所以 f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)都成立. 因为 f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex =[-x2+(a-2)x+a]ex, 所以[-x2+(a-2)x+a]ex≥0 对 x∈(-1,1)都成立. 因为 ex>0,所以-x2+(a-2)x+a≥0 对 x∈(-1,1)都成立,

x2+2x ?x+1?2-1 1 即 a≥ = =(x+1)- 对 x∈(-1,1)都成立. x+1 x+1 x+1 1 1 令 y=(x+1)- ,则 y′=1+ >0. x+1 ?x+1?2 1 所以 y=(x+1)- 在(-1,1)上单调递增, x+1 1 3 3 所以 y<(1+1)- = ,即 a≥ . 2 1+1 2 3 因此 a 的取值范围为 a≥ . 2 【点评】 (1)数在某区间上单调递增(减)时,函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零 恒成立,转化为不等式恒成立问题解决. (2)在形式上的二次函数问题中,极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况, 这样的问题在导数单调性的讨论中是经常遇到的,值得特别注意. 【答案】a 的取值范围为 a≥ 【难度】*** 3 2

x? ? a l n x ? 2 ( a ? 0 ) 例 3:已知函数 f() .
(Ⅰ)若曲线 y? f (x )在点 P ( 1 , f( 1 ) )处的切线与直线 y?x?2垂直, 求函数 y? f (x )的单调区间; (Ⅱ)若对于 ? 成立,试求 a 的取值范围; x ? ( 0 ,? ? )都有 f() x? 2 ( a ? 1 ) 【解析】(I) 直线 y ? x ? 2 的斜率为 1.函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

2 x

2 a 2 a ? ,所以 f ?(1) ? ? 2 ? ? ?1 ,所以 a ? 1 . 2 x x 1 1 2 x?2 所以 f ( x) ? ? ln x ? 2 . f ?( x) ? . x x2
因为 f ?( x) ? ? 由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 2 ;由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? 2 . 所以 f ( x ) 的单调增区间是 (2, ??) ,单调减区间是 (0, 2) .???4 分

2 a ax ? 2 2 2 ? ? 由 f ?( x) ? 0 解得 x ? ; 由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ? . , 2 2 x x x a a 2 2 所以 f ( x ) 在区间 ( , ? ?) 上单调递增,在区间 (0, ) 上单调递减. a a 2 2 所以当 x ? 时,函数 f ( x ) 取得最小值, ymin ? f ( ) . 因为对于 ?x ? (0, ??) 都有 a a
(II) f ?( x) ? ?

f ( x) ? 2(a ? 1) 成立,
所以 f ( ) ? 2( a ? 1) 即可.则

2 a

2 2 2 2 ? a ln ? 2 ? 2(a ? 1) . 由 a ln ? a 解得 0 ? a ? . 2 a e a a

所以 a 的取值范围是 (0,

2 ) .?????8 分 e

【点评】 此题直接求最值。 此时不等式一般形如 f ( x) ? A 或 f ( x) ? A , 直接求 f ( x)

的最值。
【答案】 a 的取值范围是 (0, 【难度】***

2 ) e

例 4:已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? mx.
(I)当 m ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间;
2 (II)求函 数 f ( x) 的极值; (III)若函数 f ( x ) 在区间 ? ?0, e ? 1? ? 上恰有两个零点,

求 m 的取值范围. 【解析】 (I)依题意,函数 f ( x ) 的定义域为 ?? 1,??? , 当 m ? 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,

? f ?( x) ?

1 ? 1 ???2 分 1? x 1 ?x ? 1 ? 0 ,即 ?0 由 f ?( x) ? 0 得 1? x 1? x 解得 x ? 0 或 x ? ?1 , 又? x ? ?1 ,? x ? 0

? f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) .???4 分
(II) f ?( x) ?

1 ? m , ( x ? ?1) 1? x

(1) m ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立

f ( x) 在 (?1, ? ?) 上单调递增,无极值.
(2) m ? 0 时,由于 所以 f ( x) 在 ? ? 1,

??6 分

1 ? 1 ? ?1 m

? ?

1 ? ?1 ? ? 1? 上单调递增,在 ? ? 1, ? ? ? 上单调递减, m ? ?m ?

从而 f ( x)极大值 ? f (

1 ? 1) ? m ? ln m ? 1 .?9 分 m

(III)由(II)问显然可知,
2 当 m ? 0 时, f ( x ) 在区间 ? ?0, e ? 1? ? 上为增函数, 2 ? 在区间 ? ?0, e ? 1? ? 不可能恰有两个零点.???10 分

当 m ? 0 时,由(II)问知 f ( x)极大值 = f (

1 ? 1) , m

又 f (0) ? 0 ,? 0 为 f ( x ) 的一个零点.??11 分

? f (e2 ? 1) ? 0 ? 2 ? 若 f ( x) 在 ? 1 ?0, e ? 1? ? 恰有两个零点,只需 ? 2 ?0 ? ? 1 ? e ? 1 m ? ?2 ? m(e2 ? 1) ? 0 2 ? ? 2 ? m ? 1 ???13 分 即? 1 e ? 1 ? m ? 1 ? ? e2
【点评】①首先考虑参量分离。得到 a ? F ( x) 或 a ? F ( x) ,然后求 F ( x) 的

最值。②直接求最值。此时不等式一般形如 f ( x) ? A 或 f ( x) ? A ,直接 求 f ( x) 的最值。
【答案】?

2 ? m ?1 e ?1
2

【难度】****

例 5:已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?
(Ⅰ)当 0 ? a ?

1? a ?1 . x

1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 2 1 2 (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 ,当 a ? 时,若对任意 x ? (0, 2) , f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 4
实数 b 的取值范围.

1 1 ? a ?ax 2 ? x ? (1 ? a) 【解析】 : (Ⅰ) f ( x) ? ? a ? 2 ? x x x2
/

?2 分

??

[ax ? (1 ? a)]( x ? 1) ( x ? 0) x2

令 f / ( x) ? 0

1? a , x2 ? 1 ???3 分 a 1 当 a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单减 ??4 分 2 1 1? a ? 1, 当 0 ? a ? 时, 2 a 1? a , ??) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单减, 在 (0,1) 和 ( a 1? a ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单增 在 (1, ??6 分 a 1 1? a 1 3 ? 3 , f ( x) ? ln x ? x ? ?1 (Ⅱ)当 a ? 时, 4 a 4 4x
得 x1 ? 由(Ⅰ)知,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上是单减,在 (1, 2) 上单增 所以函数 f ( x ) 在 (0, 2) 的最小值为 f (1) ? ?

1 ????8 分 2

若对任意 x1 ? (0, 2) ,当 x2 ?[1, 2] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立, 只需当 x ? [1, 2] 时, g max ( x) ? ?

1 即可 2

1 ? g (1) ? ? ? ? 2 所以 ? ,????11 分 ? g (2) ? ? 1 ? ? 2
代入解得

b?

11 4 11 , ?? ) . 4
??13 分

所以实数 b 的取值范围是 [

【点评】注意如果条件改为“ f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”恒成立,怎么样解答,还可以移项构造新函 数吗? 【答案】 b 的取值范围是 [ 【难度】****

11 , ?? ) 4

例 6:设 l 为曲线 C: y ?
(I)求 l 的方程;

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方

【解析】 (Ⅰ)设 f ? x ? ?
所以 f ' ?1? ? 1 .

ln x 1 ? ln x ,则 f ' ? x ? ? . x x2

所以 L 的方程为 y ? x ? 1 . (Ⅱ)令 g ? x ? ? x ? 1 ? f ? x ? ,则除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方等价于

g ? x ?>0 ? ?x ? 0,x ? 1? .

g ? x ? 满足 g ?1? =0 ,且

g? ? x? ? 1 ? f ? ? x? =

x2 ? 1 ? ln x . x2

ln x<0, 当 0<x<1 时, x 2 ? 1<0, 所以 g ? ? x ?<0, 故 g ? x ? 单调递减; ln x>0, 当 x>1 时, x 2 ? 1>0, 所以 g ? ? x ?>0, 故 g ? x ? 单调递减.

所以 g ? x ?>g ?1? =0 ? ?x ? 0,x ? 1? . 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方.

【点评】 构造函数, 转化直接求最值。 此时不等式一般形如 f ( x) ? A 或 f ( x) ? A , 直接求 f ( x) 的最值。 【答案】 (Ⅰ) y ? x ? 1 【难度】**
【题】 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x . (Ⅰ) 当 a=1 时, 求曲线 y=f(x)在点(1, f(1))
2

处的切线方程; (Ⅱ) 当 a>0 时, 函数 f(x)在区间[1, e]上的最小值为-2, 求 a 的取值范围; (Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , x1 ? x2 ,且 f ( x1 )+2x1 ? f ( x2 )+2x2 恒成立,求 a 的取 值范围.: 【难度】***

【题】 己知函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2a x 2 ? (a ? 1) x ? 5 是 R 上的单调增函数, 求实数 a 的 3

取值范围. 【难度】***

【题】已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 x0 和 b 的值;

1 2 x ? 2ex ? 3e 2 ln x ? b 在 ( x0 ,0) 处的切线斜率为零. 2

(Ⅱ)求证:在定义域内 f ( x) ≥ 0 恒成立; 【难度】*** 【题】已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx. (a, b ? R) 3

(I)若 f '(0) ? f '(2) ? 1 ,求函数 f ( x ) 的解析式; (II)若 b ? a ? 2 ,且 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 【难度】**** 【题】 (2015 北京理)已知函数 f ? x ? ? ln

1? x . 1? x (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程;

? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ;: (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? 【难度】****


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