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《三角形的证明》优质复习课件

时间:2014-08-15


上册第一章复习 ┃ 知识归纳

┃知识归纳┃
1.等腰三角形的性质

性质(1):等腰三角形的两个底角 相等 .
性质(2):等腰三角形顶角的 平分线 、底边上的 中线 、底边

上的高互相重合.
2.等腰三角形的判定 (1)定义:有两条边 相等 的三角形是等腰三角形. (2)等角对等边:有两个角 相等 的三角形是等腰三角形.

上册第一章复习 ┃ 知识归纳 3.用反证法证明的一般步骤

(1)假设命题的结论不成立;
(2)从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果; (3)由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 4.等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形;

上册第一章复习 ┃ 知识归类 (2)三边相等的三角形叫做等边三角形;

(3)三个角相等的三角形是等边三角形;
(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形. 5.直角三角形的性质 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直 角边等于斜边的 一半 . 6.勾股定理及其逆定理 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 .

上册第一章复习 ┃ 知识归类 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那 么这个三角形是 直角 三角形. 7.线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 相等 . 判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线 段的 垂直平分线 上. [点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相 等的所有点的集合.

上册第一章复习 ┃ 知识归类 8.三线共点

三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 三角形三个顶点的距离 相等 .
9.角平分线的性质定理及判定定理

,并且这一点到

性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 判定定理:在一个角的内部,且到角的两边 距离 点,在这个角的平分线上.

.

相等的

上册第一章复习 ┃ 知识归类

[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线,所以它的逆 定理必须加上“在角的内部”这个条件.
10.三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边 的距离 相等 .

上册第一章复习 ┃ 考点攻略

┃考点攻略┃
? 考点一
例1

线段垂直平分线的性质的应用

如图 S1 - 1 ,在△ ABC 中, DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E ,

∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=________. 50°

上册第一章复习 ┃ 考点攻略

[解析] 根据线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的 点到线段两端点的距离相等,所以 EA = EC , ∠ A = ∠ ACE = 30°,又∠ACB=80°,故∠BCE=80°—30°=50°.

上册第一章复习 ┃ 考点攻略

方法技巧 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线, 注意利用“线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ” 解决问 题.同时,我们在求一些边长、周长或角的度数时,如果能恰当地 运用线段垂直平分线性质, 可以大大简化解题过程, 同学们在学习 中要注意到这一点!

上册第一章复习 ┃ 考点攻略 ? 考点二 例2 全等三角形的证明

如图S1-2,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同

一直线上,下面有四个条件,请你从中选三个作为题设,余下的 一个作为结论,写出一个正确的命题,并加以证明.
①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF,④BE=CF.

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解:答案不惟一,命题一:在△ABC和△DEF中,B,E,C, F在同一直线上,AB=DE,AC = DF,BE=CF.求证:∠ABC =∠DEF.

命题二:在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一直线上, AB=DE,∠ABC=∠DEF,BE=CF.求证:AC=DF.

下面证明命题一:
已知:如题图,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一

直线上,AB=DE,AC = DF,BE=CF.
求证:∠ABC=∠DEF.

上册第一章复习 ┃ 考点攻略 证明:在△ABC和△DEF中, ∵BE=CF,∴BC=EF.

又∵AB=DE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).

∴∠ABC=∠DEF.

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方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样, 设计新颖, 能培养 同学们的逆向思维能力、 创新能力和综合运用知识的能力. 解答条 件开放型试题,需要执果索因,逆向推理,逐步探求结论成立的条 件.同时要注意挖掘图形中的隐含条件,如对顶角、公共角、公共 边等,然后合理选择全等三角形的知识解决.另外,要注意这类题 的答案往往不唯一,只要合理即可.

上册第一章复习 ┃ 考点攻略 ? 考点三 勾股定理的应用

2 例 3 如图 S1-3,已知圆柱体底面圆的半径为 ,高为 2, π AB,CD 分别是两底面圆的直径,AD,BC 是母线,若一只小虫从 A 点出发,从侧面爬行到 C 点,求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号).

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[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用,此问题看上 去是一个曲面上的路线问题,但实际上能通过圆柱的侧面展开而 转化为平面上的路线问题,值得注意的是,在剪开圆柱侧面时, 要从 A 开始并垂直于 AB 剪开,这样展开的侧面才是个矩形,才 能得到直角,再利用勾股定理解决此问题.

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解:将圆柱的侧面展开,如图S1-4,圆柱的底面周长为2πr

=2×π×=4,取其一半: ×4=2,圆柱的高为2,根据勾
股定理,得AC2=22+22=8,所以AC=2 .

图 S1-4

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方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题, 也是把立体图形转化为平面图形的问题, 即将原图形的侧面展开转 化为平面图形问题——即“展曲为平”问题,特别要注意圆柱、圆 锥的侧面展开问题.这种由三维立体和二维平面的相互转化,充分 体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、 图形识别能 力、 理解能力的要求, 是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型.

上册第一章复习 ┃ 考点攻略 ? 考点四 例4 等腰三角形的判别

已知:在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的

中点.
(1) 如图 S1- 4, E, F分别是 AB, AC上的点,且 BE= AF, 求证:△DEF为等腰直角三角形; (2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其 他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的

结论.

上册第一章复习 ┃ 考点攻略

图S1-5

[ 解析 ] 要证明△ DEF 为等腰三角形,需要证 DE = DF. 连接 AD,利用全等可得这一结论.至于在延长线上,可利用同样的 方法.

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解:(1)证明:连接AD,如图S1-6:
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点, ∴AD⊥BC,BD=AD, ∴∠B=∠DAC=45°, 又BE=AF,

∴△BDE≌△ADF(SAS),
∴ED=FD,∠BDE=∠ADF, ∴△DEF为等腰直角三角形.
图 S1-6

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,

上册第一章复习 ┃ 考点攻略 (2)若E,F分别是AB,CA延长线上的点,如图S1-7所示: 连接AD,

∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC,

∴∠DAC=∠ABD=45°,
∴∠DAF=∠DBE=135°. 又AF=BE, ∴△DAF≌△DBE(SAS),
图S1-7

上册第一章复习 ┃ 考点攻略

∴FD=ED,∠FDA=∠EDB,
∴∠ EDF = ∠ EDB + ∠ FDB = ∠ FDA + ∠ FDB = ∠ ADB = 90°, ∴△DEF仍为等腰直角三角形.

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方法技巧 等腰三角形的应用体现在利用等腰三角形的性质与判定上, 尤 其是“三线合一”的性质用来对线段或角进行转化, 从而摆脱用全 等三角形证明线段相等或角相等的思维定势, 更简捷地说明两线段 或角相等.在中考中,等腰三角形常与其他知识结合,综合性强, 多以证明或计算题出现.

上册第一章复习 ┃ 考点攻略 ? 考点五 例5 角平分线与“截长补短”

如图 S1 - 8 , AD∥BC ,点 E 在线段 AB 上,∠ ADE =

∠CDE,∠DCE=∠ECB.
求证:CD=AD+BC.

图S1-8

上册第一章复习 ┃ 考点攻略

[解析] 结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的 “截长”,即在 CD 上截取 CF = CB ,只要再证 DF = DA 即可,这 就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的.

上册第一章复习 ┃ 考点攻略

证明:在CD上截取CF=BC,如图S1-9, 在△FCE与△BCE中, ∴△FCE≌△BCE(SAS),

∴∠2=∠1.
∵AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°. 又∠ADE=∠CDE, 图S1-9

上册第一章复习 ┃ 考点攻略

∴∠DCE+∠CDE=90°, ∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°, ∴∠3=∠4. 在△FDE与△ADE中,

∴△FDE≌△ADE(ASA),∴DF=DA.
∵CD=DF+CF,∴CD=AD+BC.

上册第一章复习 ┃ 考点攻略

方法技巧 “截长补短法”是解决这一类问题的一种特殊方法,利用此 种方法常可使思路豁然开朗.掌握好“截长补短法”对于更好的 理解数学中的化归思想有较大的帮助.

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

1.以下命题中,是真命题的是( D )

A.两条直线只有相交和平行两种位置关系
B.同位角相等

C.两边和一角对应相等的两个三角形全等
D.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

2.下列说法中,正确的是( C )
A.等腰三角形边上的中线也是高 B.等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 C.等边三角形每条角平分线都平分对边 D.直角三角形一边上的中线等于这边的一半

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

3.在直角三角形中,一条直角边长为a,另一条边长为2a,

那么它的三个内角之比为( D )
A.1∶2∶3 B.2∶2∶1 C.1∶1∶2 D.以上都不对

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

4.如图 S1 - 9,△ ABC中,∠ ACB= 90°, BA 的垂直平分 线交 CB 边于 D ,若 AB = 10 , AC = 5 ,则图中等于 60°的角的个 数为( D ) A.2 B.3 C.4 D.5

图S1-10

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

5.如图S1-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°, DE是AB的中垂线,垂足为D,交BC于点E,若BE=4,则AC= ________. 2

图S1-11

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

6.若点P是△ABC内一点,PD⊥AB于D,PE⊥BC于E, PF⊥AC于F,且PD=PE=PF,则点P是△ABC的( C ) A.三条高的交点 B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点
D.三条中垂线的交点

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

7.在平面内,到A,B,C三点距离相等的点有( D ) A.只有一个 C.有三个或三个以上 B.有两个 D.有一个或没有

上册第一章复习 ┃ 习题讲析
8.小明家有一块△ABC的土地,如图S1-12所示,其三边长

AB=70米,BC=90米,AC=50米,现要把△ABC分成面积比为
5∶7∶9的三部分,分别种植不同的农作物,请你设计一种方
案.

图S1-12

上册第一章复习 ┃ 习题讲析 解:如图S1-13所示,分别作∠ACB和∠ABC的平分线,相
交于点D,连接AD,则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC=5∶7∶9.

图S1-13

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

9. 如图 S1 - 14 ,在四边形 ABCD 中, AD∥BC , E 为 CD 的中

点,连结AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:(1)FC=AD; (2)AB=BC+AD.

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

证明:(1)因为E是CD的中点,所以DE=CE.
因为AD∥BC,所以∠ADE=∠FCE,∠DAE=∠CFE.所以 △ADE≌△FCE.所以FC=AD. (2)因为△ADE≌△FCE,所以AE=FE.又因为BE⊥AE,所 以BE是线段 AF的垂直平分线,所以AB=FB.因为 FB=BC+ FC

=BC+AD.所以AB=BC+AD.

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

10.如图 S1-15①,点C为线段AB上一点,△ ACM,△CBN

是等边三角形,直线 AN , MC 交于点 E ,直线 BM , CN 交于 F 点.
(1)求证:AN=BM; (2)求证:△CEF为等边三角形;

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

上册第一章复习 ┃ 习题讲析

解:(1)证明:易证△CMB≌△CAN,则AN=BM.
(2) 证 明 : ∵ △ CMB≌△CAN , ∴ ∠ ANC = ∠ MBC. 又 ∵∠MCN=∠FCB=60°, BC=CN, ∴△ECN≌△FCB,∴CE=CF. 又∵∠ECF=60°,∴△ECF是等边三角形. (3)如图②所示, (1)小题的结论仍然成立, (2)小题不成立.


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《三角形的证明》优质复习课件 - 上册第一章复习 ┃ 知识归纳 ┃知识归纳┃ 1

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