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2018版高中数学北师大版必修一学案:第一章 章末复习课 含答案 精品

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学习目标 1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合 的基本运算.

1.集合元素的三个特性:____________,____________,____________.

2.元素与集合有且只有两种关系:________,________.

3 . 已 经 学 过 的 集 合 表 示 方 法 有 __________ , __________ , __________ ,

____________________. 4.集合间的关系与集合的运算

符号

定义

Venn 图

子集

A?B

x∈A?x∈B

真子集

AB

A?B 且存在 x0∈B 但 x0?A

并集 交集

A∪B A∩B

{x|x∈A 或 x∈B} {x|x∈A 且 x∈B}

补集

?UA(A?U)

{x|x∈U 且 x?A}

5.常用结论 (1)??A; (2)A∪?=________;A∪A=________;A∪B=A?__________. (3)A∩?=________;A∩A=________;A∩B=A?__________. (4)A∪(?UA)=________;A∩(?UA)=________;

?U(?UA)=________.
类型一 集合的概念及表示法 例 1 下列表示同一集合的是( ) A.M={(2,1),(3,2)},N={(1,2)} B.M={2,1},N={1,2} C.M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x2+1,x∈N} D.M={(x,y)|y=x2-1,x∈R},N={y|y=x2-1,x∈R} 反思与感悟 要解决集合的概念问题,必须先弄清集合中元素的性质,明确是数集,还是点 集等. 跟踪训练 1 设集合 A={(x,y)|x-y=0},B={(x,y)|2x-3y+4=0},则 A∩B=________. 类型二 集合间的基本关系 例 2 若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,求由 a 的可能取值组成的集 合.
反思与感悟 (1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则,然后对于每一类情况都要给出问题 的解答. (2)对于两集合 A,B,当 A?B 时,不要忽略 A=?的情况. 跟踪训练 2 下列说法中不正确的是________.(只需填写序号) ①若集合 A=?,则??A; ②若集合 A={x|x2-1=0},B={-1,1},则 A=B; ③已知集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},若 A?B,则 a>2. 类型三 集合的交、并、补运算 命题角度1 用符号语言表示的集合运算 例 3 设全集为 R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求?R(A∪B)及(?RA)∩B.

反思与感悟 求解用不等式表示的数集间的集合运算时,一般要借助于数轴求解,此法的特

点是简单直观,同时要注意各个端点的画法及取到与否.

跟踪训练 3 已知集合 U={x|0≤x≤6,x∈Z},A={1,3,6},B={1,4,5},则 A∩(?UB)等于( )

A.{1}

B.{3,6}

C.{4,5}

D.{1,3,4,5,6}

命题角度2 用图形语言表示的集合运算

例 4 设全集 U=R,A={x|0<x<2},B={x|x<1}.则图中阴影部分表示的集合为________.

反思与感悟 解决这一类问题一般用数形结合思想,借助于 Venn 图和数轴,把抽象的数学 语言与直观的图形结合起来. 跟踪训练 4 学校举办了排球赛,某班 45 名同学中有 12 名同学参赛,后来又举办了田径赛, 这个班有 20 名同学参赛,已知两项都参赛的有 6 名同学,两项比赛中,这个班共有多少名 同学没有参加过比赛?

类型四 关于集合的新定义题 例 5 设 A 为非空实数集,若对任意的 x,y∈A,都有 x+y∈A,x-y∈A,且 xy∈A,则称 A 为封闭集. ①集合 A={-2,-1,0,1,2}为封闭集; ②集合 A={n|n=2k,k∈Z}为封闭集;

③若集合 A1,A2 为封闭集,则 A1∪A2 为封闭集; ④若 A 为封闭集,则一定有 0∈A. 其中正确结论的序号是________. 反思与感悟 新定义题是近几年高考中集合题的热点题型,解答这类问题的关键在于阅读理 解,也就是要在准确把握新信息的基础上,利用已有的知识来解决问题. 跟踪训练 5 设数集 M={x|m≤x≤m+34},N={x|n-13≤x≤n},且 M,N 都是集合{x|0≤x≤1} 的子集,如果 b-a 叫作集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”,那么集合 M∩N 的“长度”的最 小值是( )
12 1 5 A.3 B.3 C.12 D.12

1.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( )

A.2 个

B.4 个

C.6 个

D.8 个

2.下列关系中正确的个数为( )

① 22∈R;②0∈N*;③{-5}?Z.

A.0 B.1 C.2 D.3

3.设全集 U=R,集合 A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则集合(?UA)∩B 等于( )

A.{x|0<x<2}

B.{x|0<x≤2}

C.{x|0≤x<2}

D.{x|0≤x≤2}

4.设全集 I={a,b,c,d,e},集合 M={a,b,c},N={b,d,e},那么(?IM)∩(?IN)等

于( )

A.?

B.{d}

C.{b,e}

D.{a,c}

5.已知 P={y|y=a2+1,a∈R},Q={m|m=x2-4x+5,x∈R},则 P 与 Q 的关系不正确的

是( )

A.P?Q

B.P?Q

C.P=Q

D.P∩Q=?

1.要注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系,二是集合与集合的包含关系. 2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时,要注意利用集合中元素的互异性这一性

质进行检验,忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.

答案精析

知识梳理

1.确定性 互异性 无序性 2.∈ ? 3.列举法 描述法 Venn 图 常用数集字母代号

5.(2)A A A?B (3)? A A?B (4)U ? A

题型探究

例 1 B [A 选项中 M,N 两集合的元素个数不同,故不可能相同; B 选项中 M,N 均为含有 1,2 两个元素的集合,由集合中元素的无序性可得 M=N; C 选项中 M,N 均为数集,显然有 M N; D 选项中 M 为点集,即抛物线 y=x2-1 上所有点的集合,而 N 为数集,即抛物线 y=x2-1 上点的纵坐标,故选 B.] 跟踪训练 1 {(4,4)}

解析 由???x-y=0,

得???x=4,

??2x-3y+4=0, ??y=4.

∴A∩B={(4,4)}. 例 2 解 由题意得,P={-3,2}.

当 a=0 时,S=?,满足 S?P;

当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解为 x=-1a,

为满足 S?P,可使-1a=-3,或-1a=2,

即 a=13,或 a=-12.

故所求集合为???0,13,-12???. 跟踪训练 2 ③

解析 ?是任何集合的子集,故①正确;

∵x2-1=0,∴x=±1,∴A={-1,1}, ∴A=B,故②正确; 若 A?B,则 a≥2,故③错误. 例 3 解 把全集 R 和集合 A、B 在数轴上表示如下:

由图知,A∪B={x|2<x<10}, ∴?R(A∪B)={x|x≤2 或 x≥10}, ∵?RA={x|x<3 或 x≥7}. ∴(?RA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}. 跟踪训练 3 B [∵U={0,1,2,3,4,5,6}, B={1,4,5}, ∴?UB={0,2,3,6}, 又∵A={1,3,6},∴A∩(?UB)={3,6},故选 B.] 例 4 {x|1≤x<2} 解析 图中阴影部分表示的集合为 A∩(?UB),因为?UB={x|x≥1},画出数轴,如图所示, 所以 A∩(?UB)={x|1≤x<2}.
跟踪训练 4 解 设 A={x|x 为参加排球赛的同学},B={x|x 为参加田径赛的同学},则 A∩B ={x|x 为参加两项比赛的同学}.画出 Venn 图(如图),

则没有参加过比赛的同学有 45-(12+20-6)=19(名). 答 这个班共有 19 名同学没有参加过比赛. 例 5 ②④ 解析 ①集合 A={-2,-1,0,1,2}中,-2-2=-4 不在集合 A 中,所以不是封闭集;②设 x,y∈A,则 x=2k1,y=2k2,k1,k2∈Z,故 x+y=2(k1+k2)∈A,x-y=2(k1-k2)∈A,xy =4k1k2∈A,故②正确;③反例是:集合 A1={x|x=2k,k∈Z},A2={x|x=3k,k∈Z}为封闭 集,但 A1∪A2 不是封闭集,故③不正确;④若 A 为封闭集,则取 x=y,得 x-y=0∈A.故填 ②④.

跟踪训练 5

C

[方法一

??m≥0, 由已知可得???m+43≤1,

???n-13≥0, ??n≤1,

解得 0≤m≤14,13≤n≤1. 取字母 m 的最小值 0,字母 n 的最大值 1,

可得 M={x|0≤x≤34},N={x|23≤x≤1},所以 M∩N={x|0≤x≤34}∩{x|23≤x≤1}={x|23≤x≤34},

此时得集合 M∩N 的“长度”为34-23=112.

方法二 集合 M 的“长度”为34,集合 N 的“长度”为13.
由于 M,N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集,
而{x|0≤x≤1}的“长度”为 1,
由此可得集合 M∩N 的“长度”的最小值是(34+13)-1=112.]
当堂训练
1.B 2.C 3.C 4.A 5.D
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