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2017届高三数学(理)高考二轮复习课件 第1部分 专题6 第1讲 算法、复数、推理与证明

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第一讲 算法、复数、推理与证明

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第一讲 算法、复数、推理与证明

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考点一

算法

试题

解析

1.(2016· 高考全国Ⅱ卷)中国古代有计算多项式
考点一

值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框 图.执行该程序框图,若输入的 x=2,n=2, 依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=( C ) A.7 C.17 B.12 D.34

考点二
考点三

第一讲 算法、复数、推理与证明

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考点一

试题

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考点一

先判断循环结束的条件,再逐次执行程序,直至程序结束,确定 输出 s 的值.

考点二
考点三

因为输入的 x=2,n=2,所以 k=3 时循环终止,输出 s.根据程序 框图可得循环体中 a, s, k 的值依次为 2,2,1(第一次循环); 2,6,2(第 二次循环);5,17,3(第三次循环).所以输出的 s=17.

第一讲 算法、复数、推理与证明

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考点一

试题

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考点一

2.(2016· 高考全国Ⅰ卷)执行如图所示的 程序框图,如果输入的 x=0,y=1,n=1, 则输出 x,y 的值满足( C ) A.y=2x C.y=4x B.y=3x D.y=5x

考点二
考点三

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考点一

试题

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执行程序框图,直至输出 x,y 的值. 输入 x=0,y=1,n=1,
考点一

运行第一次,x=0,y=1,不满足 x2+y2≥36; 1 运行第二次,x= ,y=2,不满足 x2+y2≥36; 2 3 运行第三次,x= ,y=6,满足 x2+y2≥36, 2 3 输出 x= ,y=6. 2
?3 ? 由于点?2,6?在直线 y=4x 上,故选 C. ? ?

考点二
考点三

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考点二

复数

试题

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考点一

3.(2016· 高考全国Ⅱ卷)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内对 应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( A ) A.(-3,1) C.(1,+∞) B.(-1,3) D.(-∞,-3)

考点二
考点三

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考点二

试题

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考点一

根据复数对应的点在第四象限,列出实数 m 满足的条件,化简得 到实数 m 的取值范围.
?m+3>0, 由题意知? 即-3<m<1.故实数 m 的取值范围为(-3,1). m - 1<0 , ?

考点二
考点三

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考点二

试题

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考点一

4.(2016· 高考全国Ⅰ卷)设(1+i)x=1+yi,其中 x,y 是实数,则 |x+yi|=( B ) A.1 C. 3 B. 2 D.2

考点二
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考点二

试题

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考点一

利用两复数相等的充要条件:实部与实部、虚部与虚部分别相等, 求出 x,y,再利用复数模的定义求解.

考点二
考点三

∵(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi. 又∵x,y∈R,∴x=1,y=x=1. ∴|x+yi|=|1+i|= 2,故选 B.

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考点三

推理与证明

试题

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考点一

考点二
考点三

5.(2016· 高考山东卷)观察下列等式: ? ? π? 2π? ? ?-2 ? ? -2 4 ?sin 3 ? +?sin 3 ? =3× 1×2; ? ? ? ? ? ? ? ? π? 2π? 3π? 4π? ? ?-2 ? ? -2 ? ?-2 ? ?-2 4 sin sin sin sin + + + = ×2×3; ? ? ? ? ? ? ? 5? 5? 5? 5? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? 2π? 3π? 6π? ? ?-2 ? ? -2 ? ?-2 ? ? -2 4 sin sin sin sin + + +?+ = ×3×4; ? ? ? ? 7? 7? 7? 7? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2π? ? ? x? 3π? 8π? ? ?-2 ? ?-2 ? ? -2 ? ?-2 4 ?sin 9 ? +sin? 9 ? +?sin 9 ? +?+?sin 9 ? = ×4×5; 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 照此规律, 4 ? ? ? ? ? ? ? ? π 2π 3π 2 n π n(n+1) ? ?-2 ? ?-2 ? ?-2 ? ? -2 3 sin sin sin sin + + +?+ = __________. ? ? ? ? 2n+1? 2n+1? 2n+1? 2n+1? ? ? ? ? ? ? ? ?

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考点三

试题

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根据已给出的等式归纳推理求解.
考点一

4 4 通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的 是个固定数, 后 3 3 面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 π 的系 4 数的一半, 后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以, 3 4 4 所求结果为 ×n×(n+1),即 n(n+1). 3 3

考点二
考点三

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考点三

试题

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考点一

6.(2015· 高考江苏卷节选)设 a1,a2,a3,a4 是各项为正数且公差 为 d(d≠0)的等差数列.

考点二
考点三

(1)证明:2a1,2a2,2a3,2a4 依次构成等比数列.
3 4 (2)是否存在 a1,d,使得 a1,a2 2,a3,a4依次构成等比数列?并说

明理由.

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考点三

试题

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2an+1 (1)证明:因为 =2an+1-an=2d(n=1,2,3)是同一个常数, 2an
考点一

所以 2a1,2a2,2a3,2a4 依次构成等比数列. (2)令 a1+d=a,则 a1,a2,a3,a4 分别为 a-d,a,a+d,a+

考点二
考点三

2d(a>d,a>-2d,d≠0).
3 4 假设存在 a1,d,使得 a1,a2 2,a3,a4依次构成等比数列,

则 a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.
? 1 d 3 6 4? ? ?, - < t <1 , t ≠ 0 令 t= , 则 1=(1-t)(1+t) , 且(1+t) =(1+2t) 2 a ? ?

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考点三

试题

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考点一

化简得 t3+2t2-2=0(*),且 t2=t+1.将 t2=t+1 代入(*)式, 1 得 t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则 t=- . 4 1 显然 t=- 不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立, 4
3 4 因此不存在 a1,d,使得 a1,a2 2,a3,a4依次构成等比数列.

考点二
考点三

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考点三

根据上面所做题目,请填写诊断评价
考点一

考点 诊 断 考点一 评 价 考点二 考点三

错题题号

错因(在相应错因中画√)

知识性 方法性 运算性

审题性

考点二
考点三

※ 用自己的方式诊断记录 减少失误从此不再出错

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考点一

算法

[经典结论· 全通关]
考点一

算法的两种基本逻辑结构 (1)循环结构分为当型和直到型两种.

考点二
考点三

(2)当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断,当 条件满足时执行循环体,不满足时则停止. (3)直到型循环在执行了一次循环体后,对控制循环的条件进行判 断,当条件不满足时执行循环体,满足则停止.

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考点一

试题

通解

优解

[自主突破· 提速练] 1. (2016· 临沂模拟 )执行如图所示的程序框图,则输出的结果为
考点一

( B )

考点二
考点三

A.32 C.21

B.25 D.15

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考点一

试题

通解

优解

可以利用程序框图逐步处理.
考点一

第一次循环:A≤9,S=0+1=1,A=1+2=3; 第二次循环:A≤9,S=1+3=4,A=3+2=5; 第三次循环:A≤9,S=4+5=9,A=5+2=7; 第四次循环:A≤9,S=9+7=16,A=7+2=9; 第五次循环:A≤9,S=16+9=25,A=9+2=11; 第六次循环:A=11>9,输出 S.故输出的结果为 25.故选 B.

考点二
考点三

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考点一

试题

通解

优解

考点一

由 S=S+A 可知,该程序框图的功能是求和,由 A=1,A=A +2 可知,A 的值构成一个首项为 1,公差为 2 的等差数列.由 A≤9 可知,该数列的最后一项是 9.故该程序框图的功能是求

考点二
考点三

等差数列 1,3,5,7,9, 这 5 项的和, 所以 S=1+3+5+7+9=25, 故选 B.

第一讲 算法、复数、推理与证明

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考点一

试题

解析

2.(2016· 高考全国Ⅲ卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的 a =4,b=6,那么输出的 n=( B )
考点一

A.3 C.5

B.4 D.6

考点二
考点三

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考点一

试题

解析

根据循环结构的特点,逐步运算,直到满足条件时输出结果. 程序运行如下:
考点一

开始 a=4,b=6,n=0,s=0. 第 1 次循环:a=2,b=4,a=6,s=6,n=1; 第 2 次循环:a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2; 第 3 次循环:a=2,b=4,a=6,s=16,n=3; 第 4 次循环:a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4. 此时,满足条件 s>16,退出循环,输出 n=4.故选 B.

考点二
考点三

第一讲 算法、复数、推理与证明

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考点一

试题

解析

3. (2016· 高考四川卷 )秦九韶是我国南宋时期的 数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的
考点一

《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算 法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序 框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一 个实例.若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( B ) A.9 C.20 B.18 D.35

考点二
考点三

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考点一

试题

解析

考点一

阅读程序框图,根据循环控制条件,逐步分析求解. 由程序框图知,初始值:n=3,x=2,v=1,i=2,

考点二
考点三

第一次执行:v=4,i=1; 第二次执行:v=9,i=0; 第三次执行:v=18,i=-1. 结束循环,输出当前 v 的值 18.故选 B.

第一讲 算法、复数、推理与证明

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考点一

考点一

程序框图中的填充框图问题,最常见的要求补充循环结构 的判断条件,求解时最易出现失误、解决、此类问题和方 法:创造函数的判断条为“i>n?”或“i<n?”,然后找 出运算结果与条件的关系,反解出条件即可.

考点二
考点三

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考点二

复数
[经典结论· 全通关] 1.复数 z=a+bi(a,b∈R)的分类 (1)z 是实数?b=0; (2)z 是虚数?b≠0; (3)z 是纯虚数?a=0 且 b≠0. 2.共轭复数 复数 a+bi(a,b∈R)的共轭复数是 a-bi(a,b∈R). 3.复数的四则运算法则 (1)(a+bi)± (c+di)=(a± c)+(b± d)i; (2)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i; ac+bd bc-ad (3)(a+bi)÷ (c+di)= 2 + i(a,b,c,d∈R). c +d2 c2+d2

考点一

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考点二

试题

通解

优解

[自主突破· 提速练]
考点一

1 3 1. (2016· 德州模拟)已知 i 是虚数单位, 复数 z 满足 z=- + i, 2 2
? z ? ? 则? ?1+z2?=( A ) ? ?

考点二
考点三

A.1 C. 3

B. 2 D.2

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考点二

试题

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考点一

? 1 1 3 3 1 3 ?2 1 2 由 z=- + i?1+z =1+?- + i? = - i,且 z =- - 2 2 2 2 ? 2 2 ? 2 ?1 3 ?2 1 3 ? + i? - - i z 2 2 3 1 3 ?2 2 ? i,所以 = =- = - i,所以 2 ?1 1+z2 1 3 3 ??1 3? 2 2 ? - i?? + i? - i 2 2 ?2 2 ??2 2 ? ? z ? ? ? ?1+z2?= ? ? ?1?2 ? 3?2 ? ? +?- ? =1. ?2? ? 2 ?

考点二
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考点二

试题

通解

优解

考点一

考点二
考点三

? 1 1 3 3 3? 1 由 z=- + i?1+z2=1+?- + i?2= - i,从而|1+z2| 2 2 2 ? 2 2 ? 2 ? z ? ?1 ? 1 |z| 3? 3? ? =? - i?=1, 又|z|=|z|=?- + i?=1, 所以? = ?1+z2? |1+z2| 2 ? ?2 2 ? ? 2 ? ?

=1.

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考点二

试题

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考点一

4i 2.(2016· 高考全国Ⅲ卷)若 z=1+2i,则 =( C ) z z -1 A.1 C.i B.-1 D.-i

考点二
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考点二

试题

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考点一

利用共轭复数的概念及复数的运算法则求解. 因为 z=1+2i, 则 z =1-2i, 所以 z z =(1+2i)(1-2i)=5, 则 4i = =i.故选 C. 4 4i z z -1

考点二
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考点二

试题

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考点一

a+3i 3.(2016· 河北衡水中学模拟)若复数 z= +a 在复平面上对应 i 的点在第二象限,则实数 a 可以是( A ) A.-4 C.1 B.-3 D.2

考点二
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考点二

试题

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考点一

考点二
考点三

a+3i 若 z= +a=(3+a)-ai 在复平面上对应的点在第二象限, 则 i a<-3,选 A.

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考点二

考点一

记住以下结论,可提高运算速度
考点二
考点三

1+i 1-i a+bi (1)(1± i) =± 2i;(2) =i;(3) =-i;(4) =b-ai; i 1-i 1+i
2

(5)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N)

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考点三

推理与证明

[经典结论· 全通关]
考点一

1.推理 (1)归纳是由特殊到一般的推理, 类比是由特殊到特殊的推理, 演 绎推理是由一般到特殊的推理. (2)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明; 演绎推理得到的结论一定正确. (3)演绎推理是证明数学结论、 建立数学体系的重要思维过程. 数 学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.

考点二
考点三

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考点三

2.证明的两种方法
考点一

(1)直接证明:①综合法;②分析法. (2)间接证明:反证法. 3.与反证法有关的命题题型 (1)易导出与已知矛盾的命题; (2)否定性命题; (3)唯一性命题; (4)“至少”“至多”型命题;(5)一些基本定理;(6)必然性命 题等.

考点二
考点三

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考点三

试题

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[师生共研· 析重点]
考点一

[例 1]用反证法证明命题“设 a、b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( A )

考点二
考点三

A.方程 x3+ax+b=0 没有实根 B.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0 恰好有两个实根

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考点三

试题

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考点一

考点二
考点三

至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程 x3 +ax+b=0 没有实根”.

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试题

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考点一

1 3 1 1 5 1 1 [例 2](2016· 贵阳模拟)已知不等式 1+ < ,1+ + < ,1+ + + 4 2 4 9 3 4 9 1 7 < ,照此规律总结出第 n 个不等式为 16 4 2n+1 1 1 1 1 1+ 2+ 2+?+ 2+ 2< 2 3 n ? n + 1 ? n+1 __________________________________ .

考点二
考点三

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考点三

试题

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考点一

1 2×2-1 1 1 由 已知 ,三 个不 等式 可以 写成 1 + 2 < ,1+ 2+ 2 2 2 2 3 < 2×3-1 1 1 1 2×4-1 ,1+ 2+ 2+ 2< ,所以照此规律可得到第 n 3 2 3 4 4

考点二
考点三

2?n+1?-1 2n+1 1 1 1 1 个不等式为 1+ 2+ 2+?+ 2+ < = . 2 3 n ?n+1?2 n+1 n+1

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试题

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考点一

[例 3](2016· 高考全国Ⅱ卷)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我 与乙的卡片上相同的数字不是 2”, 乙看了丙的卡片后说: “我与 丙的卡片上相同的数字不是 1”, 丙说: “我的卡片上的数字之和
1和 3 . 不是 5”,则甲的卡片上的数字是________

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考点三

试题

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先确定丙的卡片上的数字,再确定乙的卡片上的数字,进而确
考点一

定甲的卡片上的数字. 解法一 由题意得丙的卡片上的数字不是 2 和 3. 若丙的卡片上的数字是 1 和 2, 则由乙的说法知乙的卡片上的数 字是 2 和 3,则甲的卡片上的数字是 1 和 3,满足题意; 若丙的卡片上的数字是 1 和 3, 则由乙的说法知乙的卡片上的数 字是 2 和 3,则甲的卡片上的数字是 1 和 2,不满足甲的说法. 故甲的卡片上的数字是 1 和 3.

考点二
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考点三

试题

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考点一

解法二 因为甲与乙的卡片上相同的数字不是 2, 所以丙的卡片 上必有数字 2.又丙的卡片上的数字之和不是 5, 所以丙的卡片上 的数字是 1 和 2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是 1, 所以乙 的卡片上的数字是 2 和 3,所以甲的卡片上的数字是 1 和 3.

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考点三

试题

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考点一

考点二
考点三

?a+mb?2 a2+mb2 ?≤ [例 4]已知 m>0,a,b∈R,求证:? . 1+m ? 1+m ?

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考点三

试题

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考点一

∵m>0,∴1+m>0. 所以要证原不等式成立, 只需证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0 显然成立, 故原不等式得证.

考点二
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考点三

考点一

考点二
考点三

在进行归纳推理与类比推理时,得出的结论不一定正确,但 是具体到问题时,首选归纳或类比出的结论.

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考点三

试题

解析

考点一

[巩固训练· 增分练] a1+2a2+3a3+?+nan 数列{an}是正项等差数列,若 bn= ,则数列 1+2+3+?+n {bn}也为等差数列.类比上述结论,若数列{cn}是正项等比数列, 类比写出数列{dn},使数列{dn}也为等比数列.

考点二
考点三

第一讲 算法、复数、推理与证明

课前自主诊断

课堂对点补短

限时规范训练

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考点三

试题

解析

考点一

根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的各项 与对应下标的积的和除以下标的和,那么根据已知等比数列类 比构造新的等比数列,乘积变为乘方,除法变为开方,故答案

考点二
考点三



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