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数学:2010年高三名校大题天天练(十)

时间:2015-03-28


数学:2010 年高三名校大题天天练(十)
1.(12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c, 设向量m ? (a ? b, c),

n ? (a ? c, a ? b), 且m // n
(1)求角 B;

f ( x) ? 2 3 cos 2
(2)设

x x x ? 2 sin cos ? 3 , 求f ( A) 2 2 2 的取值范围。

2.(本小题满分 12 分)已知点列 M 1

( x1 ,0) ,M 2 ( x2 , 2) ,…,M n ( xn , n) ,…,且 M n M n?1 与

an ? (?c, cn?1 ) 垂直,其中 c 是不等于零的实常数, n 是正整数,设 x1 ? 1 ,求数列 ?xn ? 的通
项公式,并求其前 n 项和 S n 。

3.(本小题满 分 12 分)在△ABC 中, 3 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 3 . (I)求∠C 的大小; (Ⅱ)设角 A,B,C 的对边依次为 a, b, c ,若 c ? 2 ,且△ABC 是锐角三角形, 求 a ? b 的取值范围.
2 2

1 1 f ? x ? ? ? x3 ? ax 2 ? 2ax 3 2 4. (本小题满分 12 分)已知 a ? R ,函数 .
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 R 上单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f(x)在

??1,1? 上单调递增,求 a 的取值范围.

y ? f ( x)( x ? R)满足 f ( x) ? f (1 ? x) ?
5. (本小题满分 12 分)已知函数

1 . 2

1 2 an满足an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? n n (1)若数列
求数列

? f(

n ?1 ) ? f (1) n ,

{an }(n ? N*) 的通项公式;
? bnbn ?1

1 {bn }满足anbn ? , S n ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? 4 (2)若数列
则实数 k 为何值时,不等式

,

2kSn ? bn 恒成立.

1 1? t y ? (x ? ), ( x ? 0) 2 x 6. (本小题满分 14 分)已知函数 y ?| x | ?1 , y ? x ? 2 x ? 2 ? t ,
2
3 2 的最小值恰好是方程: x ? ax ? bx ? c ? 0 的三个根,其中 0 ? t ? 1.

(1)求证: a ? 2b ? 3 ;
2

(2)设

( x1, M ) 、 ( x2 , N ) 是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的两个极值点。
2 3 ,求函数 f ( x) 的解析式;

①若

| x1 ? x2 |?

②求|M-N|的取值范围。

7(本题 12 分)已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (I)求 f(x)的单调递减区间; (II)若 f(x)在区间[-2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

8(本题 12 分)旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (1)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率 (2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率. (3)求选择甲线路旅游团数的期望.
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

9(本题 14 分)4 已知函数 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? bx ? c. 2
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(1)若 f ( x) 有极值,求 b 的取值范围;

(2)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值时,当 x ? [?1,2]时, f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围;

10. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x2 ? x ? 2 ?1 , x ? R (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求函数的最小值.

11. (本小题满分 14 分)

已知 a>0,函数 f ( x) ? x ? ax 在 x ? ?1 , ? ?? 是一个单调函数, (1)求实数 a 的取值范围;
3

(2)设 x0 ? 1 , f ? x0 ? ? 1 ,且 f ? ? f ? x0 ? ? ? ? x0 ,试证明: f ? x0 ? ? x0

12(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) )处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ )求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ )求函数 y ? f ( x) 的单调区间.
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

1.解: (1)? m // n

? (a ? b)(a ? b) ? c(a ? c)
? cos B ? a2 ? c2 ? b2 1 ? 2ac 2
?B ?

?
3

整理得: a ? c ? b ? ac
2 2 2

f ( x) ? 3 (1 ? cos x) ? sin x ? 3 ? 2 sin( x ?
(2)由已知:

?
3

)

? f ( A) ? 2 sin( A ?

?
3

) ? A ? (0, 2? ) 3 ?A?

A?C ?
由(1)知:

2? 3

?

? ( ,? ) 3 3

?

? sin( A ?

?
3

) ? (0,1]

? f ( A) 取值范围为 (0,2]

2、解:由题意得

M n M n?1 ? ( xn?1 ? xn ,1) ,

M n M n?1 与 an ? (?c, cn?1 ) 垂直,? M n M n?1 ? an ? 0


?c( xn?1 ? xn ) ? cn?1 ? 0,

c ? 0,? xn?1 ? xn ? cn …
? xn ? ( xn ? xn?1 ) ? ( xn?1 ? xn?2 ) ???? ? ( x2 ? x1 ) ? x1

当 c ? 1 时,

xn ? n ,
n(n ? 1) . 2

此时

Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?

当 c ? 1 时,

xn ? c

n ?1

?c

n?2

1 ? cn ? ??? ? c ? 1 ? 1? c

n c ? c n?1 1 ? c 1 ? c2 1 ? cn n 1 2 n ? ? . Sn ? ? ? ??? ? ? ? (c ? c ? ??? ? c ) 2 1 ? c (1 ? c ) 1 ? c 1 ? c 1 ? c 1 ? c 1 ? c 此时
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tan A ? tan B ?? 3 1 3.解: (1)依题意: ? tan A tan B ,即

tan( A ? B) ? ? 3 ,
?
3,

又 0 ? A ? B ? ? ,∴

A? B ?

2? 3

,∴
?

C ?? ? A? B ?
? A?

?
2

(2)由三角形是锐角三角形可得 6



a b c ? ? sin A sin B sin C∴ 由正弦定理得

a?

c 4 ? sin A ? sin A b ? 4 sin B ? 4 sin( 2? ? A) sin C 3 3 3 3 ,

a 2 ? b2 ?
∴ ∵

16 2? 16 8 ? [sin 2 A ? sin 2 ( ? A)] ? ? sin(2 A ? ) 3 3 3 3 6 ,
? ? 5? ? 2A ? ? 6 6 6,

? ? ? A? 6 2 ,∴



1 ? ? sin(2 A ? )≤1 2 6

20 2 2 ? a ? b ≤8 即3 。

1 1 f ? x ? ? ? x3 ? x 2 ? 2 x 3 2 4、. 解: (Ⅰ) 当 a ? 1 时, ,

? f ?( x) ? ? x2 ? x ? 2 .

2 ? 令 f ( x) ? 0 ,即 ? x ? x ? 2 ? 0 ,

2 即 x ? x ? 2 ? 0 , 解得 ?1 ? x ? 2 .

? 函数 f(x)的单调递增区间是 ? ?1, 2? .
? (Ⅱ) 若函数 f(x)在 R 上单调递减,则 f ( x) ≤ 0 对 x ?R 都成立,
即 ? x ? ax ? 2a ≤ 0 对 x ?R 都成立, 即 x ? ax ? 2a ≥ 0 对 x ?R 都成立.
2 2

?? ? a 2 ? 8a ≤ 0 ,

解得 ?8 ≤ a ≤ 0 .

? 当 ?8 ≤ a ≤ 0 时, 函数 f(x)在 R 上单调递减.

(Ⅲ)∵函数 f(x)在[-1,1]上单调递增,

? f ?( x) ≥ 0 对 x ? ??1,1? 都成立,? ? x 2 ? ax ? 2a ≥ 0 对 x ? ??1,1? 都成立.
2 x ? ??1,1? g ? x ? ? x ? ax ? 2a 即 x ? ax ? 2a ≤ 0 对 都成立.…… 8 分 令 ,则

2

1 ? a? , ? g 1 ? 1 ? a ? 2 a ? 0, ? ? ? ? 3 ? ? ? ? g ? ?1? ? 1 ? a ? 2a ? 0. 解得 ? ?a ? 1.

? a ? 1.
1 2 n ?1 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) n n n 5 解: (1)∵ a n ? f (1) ? f ( n ?1 n?2 1 )? f( ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n n







1 n ?1 1 f( )? f( )? n 2 ∵ n

∴①+②,得

(2)∵ ∴

an ?

n ?1 1 1 , a n bn ? ,? bn ? 4 4 n ?1

S n ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? ? ? bn bn?1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??? ? 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 ?

?

1 1 n ? ? 2 n ? 2 2(n ? 2)

kn 1 kn 2 ? (1 ? k )n ? 2 ? 2kSn ? bn ? ? ? n ? 2 n ?1 (n ? 1)(n ? 2)
由条件,可知当 kn ? (1 ? k )n ? 2 ? 0 恒成立时即可满足条件
2

设 f (n) ? kn ? (1 ? k )n ? 2
2

当 k>0 时,又二次函数的性质知 kn ? (1 ? k )n ? 2 ? 0 不可能成立
2

当 k=0 时,f(n)=-n-2<0 恒成立;

n??
当 k<0 时,由于对称轴直线

? (1 ? k ) 1 1 1 ? ? ?? 2k 2k 2 2

∴f(n)在 [1,??) 上为单调递减函数 ∴只要 f(1)<0,即可满足 kn ? (1 ? k )n ? 2 ? 0 恒成立
2

f (1) ? k ? (1 ? k ) ? 2 ? 0, 得k ?
∴由 综上知,k≤0,不等式

3 , 又k ? 0 2 ,∴k<0

2kSn ? bn 恒成立

6.解(1)三个函数的最小值依次为 1, 1 ? t , 1 ? t 。 由 f (1) ? 0 得 c ? ?a ? b ? 1.

? f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ? x3 ? ax2 ? bx ? (a ? b ? 1)
= ( x ?1)[ x ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1)] ,
2

故方程 x ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1) ? 0 的两根为 1 ? t , 1 ? t
2

由韦达定理,消去 t 可得 a ? 2b ? 3
2

(2)①依题意得

x1 , x2 是方程 f / ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ? 0 的根,
2a b , x1 x2 ? 3 3

故有

x1 ? x2 ? ?
2

且 ? ? (2a) ?12b ? 0 得 b ? 3.



| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ?
2

2 a 2 ? 3b 2 3 ? b 2 ? 3 3 =3 ,

解得 b ? 2, a ? 2b ? 3 ? 7. 再结合韦达定理知 ?3 ? a ? 1 ,www.ks5u.com

?a ? ? 7, c ? 7 ? 3 ? f ( x) ? x3 ? 7 x2 ? 2x ? 7 ? 3
② =
3 3 2 | M ? N |?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| ( x1 ? x2 ) ? a( x12 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) |

| x1 ? x2 | ? | ( x1 ? x2 )2 ? x1x2 ? a( x1 ? x2 ) ? b |

3 2 3?b 2a b 2a 4 | (? )2 ? ? a ? (? ) ? b |? (3 ? b) 2 3 3 3 3 27 =

由(2) (a ? 1) ? ( 1 ? t ? 1 ? t ) ? 2 ? 2 1 ? t
2 2

2

0 ? t ? 1,?2 ? (a ? 1)2 ? 4 ,
??2 ? a ? 1 ? ? 2 ? ?3 ? a ? ? 2 ? 1 或 2 ? a ? 1 ? 2 ? 2 ?1 ? a ? 1

?3 ? 2 2 ? a2 ? 9 ? 2 ? b ? 3 或3-2 2 ? a2 ? 1 ? ? 2 ? b ? ?1 ,
? 0 ?| M ? N |?
3 3 4 32 4 (3 ? 2) 2 . ?| M ? N |? (3 ? 2) 2 27 27 或 27

7(本题 12 分) 解: (I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令 f ‘(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) , (3,+∞) . (II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上 f ‘(x)>0,所以 f(x)在[-1, 2]上单调递增, 又由于 f(x)在[-2,-1]上单调递减, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值, 于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
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8(本题 12 分) 解: (1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=
3 A4 3 ? 3 8 4

(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:P2=

2 2 C4 ? C32 ? A2 9 ? 3 16 4

(3)设选择甲线路旅游团数为ξ ,则ξ =0,1,2,3
33 27 P(ξ =0)= 3 ? 64 4
1 C3 ?3 9 ? 3 64 4 1 C3 ? 32 27 ? P(ξ =1)= 64 43

P(ξ =2)=

P(ξ =3)=

3 C3 1 ? 3 64 4

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

∴ξ 的分布列为:

ξ

0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

P
∴期望 Eξ =0×
27 27 9 1 3 +1× +2× +3× = 64 64 64 64 4
3

9(本题 14 分)4 已知函数 f ( x) ? x ?

1 2 x ? bx ? c. 2

(1)若 f ( x) 有极值,求 b 的取值范围; (2)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值时,当 x ? [?1,2]时, f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围; 解: (1) f ' ? x ? ? 3x2 ? x ? b , 令 f ' ?x ? ? 0 , 由 ? ? 0 得 1-12b>0 即 b ? (2)

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

1 12

3-1+b=0,得 b=-2, f ? x ? 在x ? 1处取得极值? f ' ?1? ? 0 ∴

令 f ' ?x? ? 0 ,得 x1 ? ?

2 , x2 ? 1 , 3

可以计算得到 f ?x ?max ? 2 ? c , 所以 2 ? c ? c ,得到 c ? 2 或 c ? ?1 10. (本小题满分 14 分) 解: (1) f (2) ? 3 , f (?2) ? 7 ,
2

由于 f (?2) ? f (2) ,且 f (?2) ? ? f (2) , 故 f ( x ) 在 x ? R 上既不是奇函数也不是偶函数;

? x 2 ? x ? 3, x ? 2 , f ( x) ? ? 2 x ? x ? 1, x ? 2 ? 当 x ? 2 时, f ( x) ? x2 ? x ? 3 在 [2, ??) 上单调递增,最小值为 f (2) ? 3 , 1 2 3 1 3 2 当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ? ,在 (??, 2) 内的最小值为 f ( ) ? , 2 4 2 4 3 故函数 f ( x ) 在 x ? R 上的最小值为 . 4
(2) 11. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) y' ? f ' ( x) ? 3x ? a ,
2

若 f ( x) 在 [1,??) 上是单调递减函数,则 y ' ? 0 ,即 a ? 3x 在 x ? [1, ??) 上恒成立,
2

当 x ? [1, ??) 时, 3x ? 3 ,此时实数 a 不存在
2

若 f ( x) 在 [1,??) 上是单调递增函数,则 y ' ? 0 ,即 a ? 3x 在 x ? [1, ??) 上恒成立,
2

当 x ? [1, ??) 时, 3x ? 3 ,又
2

a ? 0 ,? 0 ? a ? 3

(Ⅱ) 用反证法证明:假设 f ( x0 ) ? x0 ,则 f ( x0 ) ? x0 或 f ( x0 ) ? x0 , 若 1 ? x0<f ( x0 ) ,则 f ( x0 )<f ( f ( x0 )) ? x0 矛盾, 若 1 ? f ( x0 )<x0 ,则 f ( f ( x0 ))<f ( x0 ) ,即 x0<f ( x0 ) 矛盾, 故假设不成立,即 f ( x0 ) ? x0 成立. 12(本题 10 分) 解:(Ⅰ)由 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,2),d=2 知,所以

又 x0 ? 1 , f ? x0 ? ? 1 ,且由(Ⅰ)可知 f ( x) 在 [1,??) 上为单调增函数,

f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 , f ? (x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0,知 ?3 ? 2b ? c ? 6, ?b ? c ? 0, -6-f(-1)+7=0,即 f(-1)=1, f ? (-1)=6,∴ ? 即? 解得 b=c=-3. ??1 ? b ? c ? 2 ? 1, ?2b ? c ? ?3,
故所求的解析式为 f(x)=x3-3x2-3x+2, (Ⅱ) f ? (x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 x1=1- 2 ,x2=1+ 2 , 当 x<1- 2 或 x>1+ 2 时, f ? (x)>0;当 1- 2 <x<1+ 2 时, f ? (x)<0 ∴f(x)=x3-3x2-3x+2 在(1+ 2 ,+∞)内是增函数,在(-∞, 1- 2 )内是增函数,在(1- 2 ,1+ 2 )内是 减函数.
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