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北京四中2011届高三上学期期末考试理科数学试题

时间:2012-01-29


2010— 学年度第一学期期末 北京四中 2010—2011 学年度第一学期期末 高三数学测试卷( 数学测试卷 高三数学测试卷(理)
试卷满分共计 150 分 考试时间:120 分钟 小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 选择题:

1.若



,则

( )

A. 2.等比数列 中,

B. ,前 3 项之和

C. ,则数列

D. 的公比为( )

A.1

B.

C.1 或

D.



3.曲线 A. D. 4.对任意复数 A. 5.若偶函数 A. D.

在点

处的切线方程为( ) B. C.

( B. 满足当 时, B.

), 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) C. ,则 C. D. ( )

6.已知函数

,下面结论错误的是( )

A.函数 C.函数 7.设

的最小正周期为 的图象关于 轴对称 ,若 ,且

B.函数 D.函数 ,则

在区间 是奇函数

上是增函数

的取值范围是( )

-1-

A.

B.

C.

D.

8.给出下列三个命题: ①若奇函数 对定义域内任意 都有 ,则 为周期函数;

②若函数 对称;

,

, 则函数



的图象关于直线

③函数 A.0 B.1

与 C.2

是同一函数。 其中真命题的个数是( ) D.3

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 填空题: 9. =__________。

10.若

为第三象限角,且 满足

,则 ,且

__________。 ,则实数 的取

11.若二次函数 值范围是___。 12.函数 13. 、

的单调减区间是__________,极小值是__________。 是等腰直角 斜边 上的三等分点,则 __________。

14.已知:数列 ②

满足





),



,则该数列前 10 项和为__________;

②若前 100 项中恰好含有 30 项为 0,则 的值为__________。 小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分 解答题:

-2-

15. (本小题满分 13 分)

已知: 函数

(其中



的图象与 轴的交点中, 相邻两个交点之间的距离为

, 且图象上一个最低点为



(1)求:

的解析式;

(2)当

,求:

的值域。

16.(本小题满分 13 分) 已知:函数 (1)求: (2)若 取值范围。 的单调区间; 时,设函数



图象上任意一点处的切线的倾斜角为 ,求: 的

17.(本小题满分 13 分) 已知:对于数列 ( ), ,定义 为数列 的一阶差分数列,其中

(1)若数列

的通项公式



),求:

的通项公式;

(2)若数列 项公式; ②求:

的首项是 1,且满足

, ①设

,求:数列

的通

的前 n 项和



-3-

18.(本小题满分 13 分) 已知:△ABC 中,角 A、B、C 所对的三边 a,b,c 成等比数列。

(1)求证:



(2)求函数

的值域。

19.(本小题满分 14 分) 已知:函数 的定义域为 。 (1)求: (3)如果 的取值范围。 的值; , (2)判断 的奇偶性并证明; ,且 在 上是增函数,求: ,且满足对于任意 ,都有

20.(本小题满分 14 分) 已知:二次函数 (1)求: 的解析式; 的图象过点 ,且 。

(2)若数列

满足

,且

,求:数列

的通项公式;

(3)对于(2)中的数列

,求证:①

;②



-4-

答案与分析

1.选 B。







2.选 C。





3.选 B。 4.选 D。(A)错误, (C)错误,



,切线方程: ,(B)错误,

。 ,



(D)正确,

5.选 C。

,则











6.选 D。 7.选 A。 ∵ 8.选 C。①正确,奇函数 ∴ ,∴ ,则 ,∴

,显然函数 或 ,即 ,则

是奇函数是错误的。 , 。

,4 是周期;

②正确, 与



, 即

-5-

互为反函数;

③错误,



9.





10.





为第三象限角,∴

,∵

,∴

∴ 11. 轴为 , ∵ 。 或

,则 。 ∵ 满足

。 ,∴二次函数 图像的对称

,∴二次函数

图像的开口向下,则由

得出



12.



。 定义域:



,令





,当

时,

; 当

时,

,则函数单调

减区间是





-6-

13.

。 过

作 ,



,则





中点。 设

,则

, 14.9;6 或 7。 ①若 其和为 9;

。 ,则该数列前 10 项为:1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,

②若前 100 项中恰好含有 30 项为 0,则前 10 项中不能有 0,通过赋值得到, 1、6、5、1、4、3、1、2、1、1、0、1、1、0、…, 1、7、6、1、5、4、1、3、2、1、1、0、1、1、0、…,满足题目要求。

15.解:(1)由最低点为

,得

,由 轴上相邻的两个交点之间的距离





=









由点

在图像上的







,∴

, ∴



(2) ∵

, ∴





=

,即

时,

取得最大值 2;



,即

时,

取得最小值-1,



的值域为

16. (1) 解: 函数的定义域为 令 或 ,则





-7-

[

- ↓ 由此:函数 , ,

0 极大

+ ↑ ,

- ↓ ;

0 极小 函数

+ ↑ 的单调减区间:

的单调增区间:

(2)令



),

,则

在区间

上是增函数,

所以 。 17.解: (1)依题意 (2)①由

, 根据导数的几何意义可知:





, ∴



,∴

,且





是首项为

,公差为

的等差数列





,∴







⑴ - ⑵ 得



18 . 解 : ( 1 ) ∵ a 、 b 、 c 成 等 比 数 列 , ∴



由余弦定理得:

-8-





,∴



(2)由



∵ 是 。

,∴





,即原函数的值域

19.(1)解:令 (2)证明:令 令 为偶函数, (3)∵ ∴ ∵

,则 ,则 , , 则

, , , 即 , ∴

, 即为 上是增函数,

, (1)

∴(1)等价于不等式组:









,∴

20 . 解 : ( 1 ) 由

,∴

解得

,即



(2)∵

,∴
-9-

,由叠加得







(3)①







时,

②∵



),











- 10 -


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